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專題檢測（二十一） “選填”壓軸小題的4大搶分策略
A組——選擇題解題技法專練
1．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，α，β∈(0，π)，則α－β的值為( )
A．－ B．－
C. D.
解析：選D 令β＝，則有sin α＝－cos α?tan α＝－，α∈(0，π)，
所以α＝，從而α－β＝.
2．已知0
；當x→0時，可推得a<1，故選A.
4．雙曲線x2－y2＝1的左焦點為F，點P為左支下半支異于頂點A的任意一點，則直線PF斜率的變化范圍是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：選C 如圖所示，當P→A時，PF的斜率k→0.
當PF⊥x軸時，PF的斜率不存在，即k→∞.
當P在無窮遠處時，PF的斜率k→1.
結合四個備選項得C項正確．
5．已知θ∈[0，π)，若對任意的x∈[－1,0]，不等式x2cos θ＋(x＋1)2sin θ＋x2＋x>0恒成立，則θ的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析：選A 令x＝－1，不等式化為cos θ>0；
令x＝0，不等式化為sin θ>0.
又0≤θ<π，所以0<θ<.
當－10.
設＝t(t<0)，
則t2cos θ＋t＋sin θ>0對t<0恒成立．
設f(t)＝t2cos θ＋t＋sin θ＝cos θ2＋sin θ－，
則f(t)min＝sin θ－>0，即sin 2θ>.
又0<2θ<π，所以<2θ<，故<θ<.
6．在對角線AC1＝6的正方體ABCDA1B1C1D1中，正方形BCC1B1所在平面內的動點P到直線D1C1，DC的距離之和為4，則的取值范圍是( )
A．[－2,1] B．[0,1]
C．[－1,1] D.
解析：選A 法一：依題意可知CC1＝2，
點P到點C1與C的距離之和為4，
從而可得點P在以C1C為y軸，C1C的中點為原點的橢圓4x2＋y2＝4上．設P(x0，y0)，
則＝(x0，y0－)(x0，y0＋)＝x＋y－3＝ y－2(－2≤y0≤2)．
由此可得－2≤≤1，故選A.
法二：由四個備選項可知，B、C、D都是A的子集．
于是，由“若A則B把A拋，A，B同真都去掉”可知，應著重考查“－2”與“1”的值能否取到．
又由條件易知，點P在以C1C為y軸，C1C的中點為原點的橢圓4x2＋y2＝4上．
由此可得，當y＝0時，可取到－2，
當x＝0時，可取到1.故選A.
7.如圖所示，A是函數f(x)＝2x的圖象上的動點，過點A作直線平行于x軸，交函數g(x)＝2x＋2的圖象于點B，若函數f(x)＝2x的圖象上存在點C使得△ABC為等邊三角形，則稱A為函數f(x)＝2x的圖象上的“好位置點”，則函數f(x)＝2x的圖象上的“好位置點”的個數為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：選B 設A(x,2x)，B(x－2,2x)，若△ABC為等邊三角形，則C(x－1,2x－1)，且AC＝AB＝2，即＝2，即22x－2＝3，又y＝22x－2單調遞增，所以方程有唯一解x＝＋1，即函數f(x)＝2x的圖象上的“好位置點”的個數為1.
8．函數f(x)的定義域為R，若f(x＋1)與f(x－1)都是奇函數，則( )
A．f(x)是偶函數 B．f(x)是奇函數
C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函數
解析：選D 法一：因為f(x＋1)是奇函數，
所以f(x)＝f(x－1＋1)＝－f[－(x－1)＋1]＝－f(－x＋2)，
又因為f(x－1)是奇函數，則－f(－x＋2)＝－f[(－x＋3)－1]＝f(x－3－1)＝f(x－4)，
所以f(x)＝f(x－4)．
所以f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)是奇函數，因而選D.
法二：令f(x)＝sin πx，
則f(x＋1)＝sin[π(x＋1)]＝－sin πx，
f(x－1)＝sin[π(x－1)]＝－sin πx.
所以，當f(x＋1)，f(x－1)都是奇函數時，f(x)不是偶函數，排除A.
令f(x)＝cos x，則
f(x＋1)＝cos＝－sinx，
f(x－1)＝cos＝sin x，
且f(x＋2)＝cos＝－cosx，
所以，當f(x＋1)，f(x－1)都是奇函數時，f(x)不是奇函數，且f(x)≠f(x＋2)，排除B、C，故選D.
9．已知函數f(x)＝x(1＋a|x|)，若關于x的不等式f(x＋a))，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則以AF為直徑的圓的方程為(x－m)(x＋2)＋y2＝0.
由
消去y，得 x2－(m－2)x－2m－1＝0.
所以x1＋x2＝(m－2)．
所以＝
＝＝＝.
12．在我們學過的函數中有這樣一類函數：“對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在函數f(x)的定義域內，就有函數值f(a)，f(b)，f(c)也是某個三角形的三邊長”．下面四個函數：
①f(x)＝(x>0)；②f(x)＝x2(x>0)；
③f(x)＝sin x(0c，
∴a＋b＋2＞c，∴(＋)2>c，∴＋>，
即f(a)＋f(b)>f(c)，
∴f(x)＝(x>0)屬于這一類函數；
②舉反例：若a＝3，b＝3，c＝5，則a2＋b20)不屬于這一類函數；
③舉反例：若a＝，b＝，c＝，則sin a＝sin b＋sin c，
即f(a)＝f(b)＋f(c)＝＋＝1，
∴f(x)＝sin x(0，
∴f(b)＋f(c)＝cos b＋cos c>，而cos a<1，
即f(b)＋f(c)>f(a)，∴f(x)＝cos x屬于這一類函數．
綜上，屬于這一類函數的有2個，故選B.
B組——填空題解題技法專練
1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若b－c＝acos C，且4(b＋c)＝3bc，a＝2，則△ABC的面積S＝________.
解析：由正弦定理得sin B－ sin C＝sin Acos C，∵sin B＝sin(A＋C)，
∴sin(A＋C)－sin C＝sin Acos C，
即cos Asin C＝sin C.
又sin C≠0，∴cos A＝，
又A是△ABC的內角，∴A＝60，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
∴(b＋c)2－4(b＋c)＝12，
得b＋c＝6，∴bc＝8，
∴S＝bcsin A＝8＝2.
答案：2
2．已知函數f(x)是定義在(0，＋∞)上的可導函數，f′(x)為其導函數，當x>0且x≠1時，>0，若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的斜率為－，則f(1)＝________.
解析：因為當x>0且x≠1時，>0，
所以當x>1時，2f(x)＋xf′(x)>0；
當01時，g′(x)>0，函數g(x)＝x2f(x)單調遞增；
當00，解得0，0,20時，0－.設AB的中點P(x0，y0)，則x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝－x0＋b＝＋b.由點P在直線l1上，得＋b＝－＋t，于是t＝＋b>－＝.故l1在y軸上截距的取值范圍為.
答案：
14．(2019屆高三廣州調研)在平面直角坐標系xOy中，直線x＋y－2＝0與橢圓C：＋＝1(a>b>0)相切，且橢圓C的右焦點F(c,0)關于直線l：y＝x的對稱點E在橢圓C上，則△OEF的面積為________．
解析：聯立消去x，化簡得(a2＋2b2)y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0，
由Δ＝0，得2b2＋a2－8＝0.設F′為橢圓C的左焦點，
連接F′E，易知F′E∥l，所以F′E⊥EF，
又點F到直線l的距離d＝＝，所以|EF|＝，|F′E|＝2a－|EF|＝，
在Rt△F′EF中，|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，化簡得2b2＝a2，
代入2b2＋a2－8＝0，得b2＝2，a＝2，所以|EF|＝|F′E|＝2，
所以S△OEF＝S△F′EF＝1.
答案：1
15.(2019屆高三山西四校聯考)如圖，等邊△ABC的邊長為2，頂點B，C分別在x軸的非負半軸，y軸的非負半軸上移動，M為AB的中點，則的最大值為________．
解析：設∠OBC＝θ，因為BC＝2，所以B(2cos θ，0)，C(0,2sin θ)，
則＝(－2cos θ，2sin θ)，設＝(x，y)，因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，
所以解得
即＝(sin θ－cos θ，cos θ＋sin θ)，
則＝＋＝(sin θ＋cos θ，cos θ＋sin θ)，
因為M為AB的中點，
所以＝＋＝sin θ＋cos θ，cos θ＋sin θ，
所以＝＋sin 2θ＋＋sin 2θ＋cos2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋＝sin(2θ＋φ)＋其中cos φ＝，sin φ＝，
所以的最大值為＋.
答案：＋
16．已知函數f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在區(qū)間上的最大值為3，則
(1)m＝________；
(2)對任意a∈R，f(x)在[a，a＋20π]上的零點個數為________．
解析：(1)因為f(x)＝2sin＋1＋m，
當x∈時，≤2x＋≤，
所以當x＝時，f(x)取最大值3＋m，所以m＝0.
(2)易知函數f(x)是周期為π的周期函數，由圖可知，在每個周期內只有2個零點，而[a，a＋20π]有20個周期，故有40個零點，特別地，當a為零點時，a＋20π也是零點，由此可得，此時可有41個零點．所以填40或41.
答案：(1)0 (2)40或41
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