2019屆高考數學 提分必備30個黃金考點 專題06 基本初等函數（指數函數、對數函數、冪函數、二次函數）學案 文.doc

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專題06 基本初等函數（指數函數、對數函數、冪函數、二次函數） 【考點剖析】 1.命題方向預測： 1.指數函數的概念、圖象與性質是近幾年高考的熱點． 2.通過具體問題考查指數函數的圖象與性質，或利用指數函數的圖象與性質解決一些實際問題是重點，也是難點，同時考查分類討論思想和數形結合思想． 3.高考考查的熱點是對數式的運算和對數函數的圖象、性質的綜合應用，同時考查分類討論、數形結合、函數與方程思想． 4.關于冪函數常以5種冪函數為載體，考查冪函數的概念、圖象與性質，多以小題形式出現，屬容易題． 5.二次函數的圖象及性質是近幾年高考的熱點；用三個“二次”間的聯系解決問題是重點，也是難點． 6.題型以選擇題和填空題為主，以分段函數形式，考查多個函數的性質，若與其他知識點交匯，則以解答題的形式出現. 2.課本結論總結： 指數與指數函數 1．分數指數冪 (1)規(guī)定：正數的正分數指數冪的意義是 (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數的負分數指數冪的意義是 (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義． (2)有理指數冪的運算性質：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指數函數的圖象與性質 對數與對數函數 1．對數的概念 如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中__a__叫做對數的底數，__N__叫做真數． 2．對數的性質與運算法則 (1)對數的運算法則 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④logamMn＝logaM. (2)對數的性質 ①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)． (3)對數的重要公式 ①換底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推廣logablogbclogcd＝logad. 3．對數函數的圖象與性質 二次函數與冪函數 1．二次函數 (1)二次函數解析式的三種形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函數的圖象和性質 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 圖象 定義域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 單調性 在x∈上單調遞減；在x∈上單調遞增 在x∈上單調遞減在x∈上單調遞增 對稱性 函數的圖象關于x＝對稱 2.冪函數 (1)定義：形如y＝xα(α∈R)的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α是常數． (2)冪函數的圖象比較 (3)冪函數的性質比較 特征 函數 性質 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定義域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數 非奇非偶函數 奇函數 單調性 增 x∈[0，＋∞)時，增；x∈(－∞，0]時，減 增 增 x∈(0，＋∞) 時，減；x∈(－∞，0)時，減 3.名師二級結論： （1）根式與分數指數冪的實質是相同的，分數指數冪與根式可以相互轉化，通常利用分數指數冪進行根式的化簡運算． （2）指數函數的單調性是由底數a的大小決定的，因此解題時通常對底數a按：0＜a＜1和a＞1進行分類討論． （3）換元時注意換元后“新元”的范圍． （4）對數源于指數，指數式和對數式可以互化，對數的性質和運算法則都可以通過對數式與指數式的互化進行證明． （5）解決與對數有關的問題時，(1)務必先研究函數的定義域；(2)注意對數底數的取值范圍． （6）對數值的大小比較方法 化同底后利用函數的單調性、作差或作商法、利用中間量(0或1)、化同真數后利用圖象比較． （7）函數y＝f(x)對稱軸的判斷方法 1、對于二次函數y＝f(x)對定義域內所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函數y＝f(x)的圖象關于x＝對稱． 2、對于二次函數y＝f(x)對定義域內所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要條件是函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱(a為常數)． 4.考點交匯展示： (1)基本初等函數與集合交匯 例1.【2017山東，理1】設函數的定義域，函數的定義域為,則 （A）（1,2） （B） （C）（-2,1） （D）[-2,1) 【答案】D 【解析】由得，由得，故，選D. (2)基本初等函數與不等式交匯 例1.【2017天津，文8】已知函數設，若關于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】 （當時取等號）， 所以， 綜上．故選A． 例2.【2018年浙江卷】已知λ∈R，函數f(x)=，當λ=2時，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是___________． 【答案】 (1,4) 當時，，此時，即在上有兩個零點；當時，，由在上只能有一個零點得.綜上，的取值范圍為. 【考點分類】 考向一 指數函數、對數函數 1.【2018年天津卷文】已知，則的大小關系為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由題意結合對數的性質，對數函數的單調性和指數的性質整理計算即可確定a,b,c的大小關系. 詳解：由題意可知：，即，，即， ，即，綜上可得：.本題選擇D選項. 2.【2017北京，理5】已知函數，則 （A）是奇函數，且在R上是增函數 （B）是偶函數，且在R上是增函數 （C）是奇函數，且在R上是減函數 （D）是偶函數，且在R上是減函數 【答案】A 3.【2018年新課標I卷文】已知函數，若，則________． 【答案】-7 【解析】 根據題意有，可得，所以，故答案是. 【方法規(guī)律】 1.求解與指數函數有關的復合函數問題，首先要熟知指數函數的定義域、值域、單調性等相關性質，其次要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷，最終將問題歸納為內層函數相關的問題加以解決． 2.對數式的化簡與求值的常用思路(1)先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后正用對數運算法則化簡合并． (2)先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算. 3．比較對數值大小時若底數相同，構造相應的對數函數，利用單調性求解；若底數不同，可以找中間量，也可以用換底公式化成同底的對數再比較． 4．利用對數函數的性質，求與對數函數有關的復合函數的值域和單調性問題，必須弄清三方面的問題，一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的． 【解題技巧】 1.圖像題要注意根據圖像的單調性和特殊點判斷 2.指數形式的幾個數字比大小要注意構造相應的指數函數和冪函數 3．判斷指數函數圖象上底數大小的問題，可以先通過令x＝1得到底數的值再進行比較． 4．指數函數y＝ax (a>0，a≠1)的性質和a的取值有關，一定要分清a>1與00的解集為________． 【答案】{x|2＜x＜3} 【解析】∵函數y＝lg(x2－2x＋3)有最小值，f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，∴0＜a＜1. ∴由loga(x2－5x＋7)>0，得0＜x2－5x＋7＜1， 解得2＜x＜3. ∴不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集為{x|2＜x＜3}． 【易錯點】指數函數和對數函數中注意討論底數a的大小，復合函數的單調性往往也和a的取值有關 考向二 冪函數、二次函數 1.【2018屆廣東省茂名市高三五大聯盟學校9月聯考】已知冪函數的圖象過點，則函數在區(qū)間上的最小值是( ) A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】由題設，故在上單調遞增，則當時取最小值，應選答案B. 2.【2018年天津卷文】已知a∈R，函數若對任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是__________． 【答案】［，2］ 【解析】 3.【2018屆浙江省杭州市第二中學6月熱身】已知函數，若存在實數，使得且同時成立，則實數的取值范圍是__________． 【答案】. 【解析】分析：從函數形式上看，中的符號容易判斷，當時，，當，，因此當，在有解；當時，在有解，故可求出的取值范圍． 【方法規(guī)律】 1.二次函數在閉區(qū)間上的最值與拋物線的開口方向、對稱軸位置、閉區(qū)間三個要素有關； 2.常結合二次函數在該區(qū)間上的單調性或圖象求解，在區(qū)間的端點或二次函數圖象的頂點處取得最值.二次函數、二次方程、二次不等式之間可以相互轉化．一般規(guī)律(1)在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于二次函數的圖象數形結合來解，一般從①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數值符號四個方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有關問題時，一般需借助于二次函數的圖象、性質求解． 3.冪函數y＝xα的圖象與性質由于α的值不同而比較復雜，一般從兩個方面考查 (1)α的正負：α>0時，圖象過原點和(1,1)，在第一象限的圖象上升；α<0時，圖象不過原點，在第一 象限的圖象下降，反之也成立． (2)曲線在第一象限的凹凸性：α>1時，曲線下凸；0<α<1時，曲線上凸；α<0時，曲線下凸． 4．二次函數、二次方程、二次不等式間相互轉化的一般規(guī)律： (1)在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于二次函數的圖象數形結合來解，一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數值符號四個方面分析． (2)在研究一元二次不等式的有關問題時，一般需借助于二次函數的圖象、性質求解． 5．冪函數y＝xα(α∈R)圖象的特征 α>0時，圖象過原點和(1,1)，在第一象限的圖象上升；α<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降，反之也成立． 【解題技巧】 1. 做二次函數類型題是注意數形結合的應用，畫出函數的草圖能幫助我們理清思路 2. 二次函數中如果含有參數，往往要進行分類討論 3.對于函數y＝ax2＋bx＋c，要認為它是二次函數，就必須滿足a≠0，當題目條件中未說明a≠0時，就要討論a＝0和a≠0兩種情況． 4.冪函數的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，至于是否出現在第二、三象限內，要看函數的奇偶性；冪函數的圖象最多只能同時出現在兩個象限內；如果冪函數圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點. 【易錯點睛】 1.注意冪函數與指數函數的聯系與區(qū)別 2.冪函數的增減與α的關系 3.對于函數y＝ax2＋bx＋c，要認為它是二次函數，就必須滿足a≠0，當題目條件中未說明a≠0時，就要討論a＝0和a≠0兩種情況． 【熱點預測】 1.【福建省閩侯第二中學、連江華僑中學等五校教學聯合體】設集合，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 2.【2018屆江西省新余市第四中學適應性考】設,則的大小順序是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， 因為 ，所以. 故答案為：D 3.下列函數中，在內單調遞減，并且是偶函數的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 4．【2019屆河南省信陽高級中學第一次大考】若x∈（，1），a＝lnx，b＝，c＝，則 A． b＞c＞a B． c＞b＞a C． b＞a＞c D． a＞b＞c 【答案】A 【解析】 由題意得， ∵， ∴， ∴． ∴． 故選A． 5．【2018屆北京市通州區(qū)高三上期中】函數的圖象與函數的圖象的交點個數是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出函數與的圖象，如圖所示，由圖象可知， 與圖象有個交點．故選． 6.【2018屆安徽省淮南市二?！恳阎瘮凳嵌x在上的奇函數，且在區(qū)間上單調遞增，若實數滿足，則的取值范圍是( ) A． B． C． D． 【答案】A 7.【2018屆廣西欽州市第三次檢測】定義運算：，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 令， 由于，所以， 所以，所以其最大值為，故選D． 8.【2018屆湖北省華中師范大學第一附屬中學5月押題】定義在上的函數為偶函數，記，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 9.【2017山東，理10】已知當時，函數的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】試題分析：當時， ， 單調遞減，且，單調遞增，且 ，此時有且僅有一個交點；當時， ，在 上單調遞增，所以要有且僅有一個交點，需 選B. 10.【2018屆廣東省汕頭市金山中學高三上期中】已知當≤時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 11.【2018年高考第二次適應與模擬】設函數，若，，則對任意的實數， 的最小值為_________________． 【答案】10 【解析】 作出的圖象，如圖，由且得 ，即，其中， 如圖圓，易知點在劣弧上，記，則表示點到射線上點的距離的平方，從圖中可知最小值為點到原點的距離的平方，即． 12.【2018屆重慶市合川區(qū)5月模擬】已知函數，若f(m)>1，則m的取值范圍是________． 【答案】(－∞，0)(2，＋∞) 【解析】 若則 或， 即或， 解得，或． 故答案為： ． 13.【2018屆寧夏銀川市唐徠回民中學四?！恳阎瘮担舴匠逃袃蓚€解，則實數的取值范圍是______． 【答案】 【解析】 14.函數 （1）求方程的解； （2）若函數的最小值為，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 （1）要使函數有意義，則有，解得： 函數可化為 由，得 即， 的解為.