2019年高考數(shù)學 考點分析與突破性講練 專題38 離散型隨機變量及其分布列、均值與方差 理.doc

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專題38 離散型隨機變量及其分布列、均值與方差 一、考綱要求： 1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性. 2.理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應用． 3.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念. 4.會求簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能利用離散型隨機變量的均值、方差概念解決一些簡單實際問題． 二、概念掌握及解題上的注意點： 1.求離散型隨機變量X的分布列的步驟： (1）找出隨機變量X的所有可能取值xi(i＝1，2，3，…，n)； (2）求出各個取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3）列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確. 2.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，超幾何分布的特征： (1）考察對象分兩類； (2）已知各類對象中個體的個數(shù)； (3）從中抽取若干個個體，考察抽取到的某類個體個數(shù)X的概率分布. 3.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型. 4.求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟 (1）理解X的意義，寫出X可能取的全部值. (2）求X取每個值時的概率. (3）寫出X的分布列. (4）由均值的定義求E(X). (5）由方差的定義求D(X). 5.利用均值、方差進行決策的兩個方略 (1）當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷. (2）若兩隨機變量均值相同或相差不大.則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進而進行決策. 三、高考考題題例分析： 例1.（2018全國卷I） 某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗．設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0＜p＜1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立． （1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f （p）的最大值點p0． （2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用． （i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX； （ⅱ）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？ 【答案】見解析 （2）（i）由（1）知p=0.1， 令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，依題意知Y～B（180，0.1）， X=202+25Y，即X=40+25Y， ∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+251800.1=490． （ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，由這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元， ∵E（X）=490＞400， ∴應該對余下的產(chǎn)品進行檢驗． 例2.（2018北京卷）電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表： 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數(shù) 140 50 300 200 800 510 好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值． 假設所有電影是否獲得好評相互獨立． （Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率； （Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率； （Ⅲ）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等．用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡．“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關系． 【答案】見解析 （Ⅱ）設事件B表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，恰有1部獲得好評”， 第四類獲得好評的有：2000.25=50部， 第五類獲得好評的有：8000.2=160部， 則從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率： P（B）==0.35． （Ⅲ）由題意知，定義隨機變量如下： ξk=， 則ξk服從兩點分布，則六類電影的分布列及方差計算如下： 第一類電影： ξ1 1 0 P 0.4 0.6 E（ξ1）=10.4+00.6=0.4， D（ξ1）=（1﹣0.4）20.4+（0﹣0.4）20.6=0.24． 第二類電影： ξ2 1 0 P 0.2 0.8 E（ξ2）=10.2+00.8=0.2， D（ξ2）=（1﹣0.2）20.2+（0﹣0.2）20.8=0.16． 第三類電影： ξ3 1 0 P 0.15 0.85 E（ξ3）=10.15+00.85=0.15， D（ξ3）=（1﹣0.15）20.15+（0﹣0.85）20.85=0.1275． 第五類電影： ξ5 1 0 P 0.2 0.8 E（ξ5）=10.2+00.8=0.2， D（ξ5）=（1﹣0.2）20.2+（0﹣0.2）20.8=0.16． 第六類電影： ξ6 1 0 P 0.1 0.9 E（ξ6）=10.1+00.9=0.1， D（ξ5）=（1﹣0.1）20.1+（0﹣0.1）20.9=0.09． ∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關系為： Dξ6＜Dξ3＜Dξ2=Dξ5＜Dξ4＜Dξ1． 例6.　(2017山東卷節(jié)選)在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示． (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列． 【答案】(1) ；(2)見解析 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 例7. (2017天津卷)從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，. (1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望； (2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率． 【答案】(1) ；(2) 【解析】　(1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＋＋＝， P(X＝2)＝＋＋＝， P(X＝3)＝＝. 所以，隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 例8. (2016四川卷)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是________． 【答案】　 【解析】法一：先求出成功次數(shù)X的分布列，再求均值． 由題意可知每次試驗不成功的概率為，成功的概率為，在2次試驗中成功次數(shù)X的可能取值為0,1,2，則P(X＝0)＝，P(X＝1)＝C＝， P(X＝2)＝＝. 所以在2次試驗中成功次數(shù)X的分布列為 X 0 1 2 P 則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值為 E(X)＝0＋1＋2＝. 法二：此試驗滿足二項分布，其中p＝，所以在2次試驗中成功次數(shù)X的均值為E(X)＝np＝2＝. 離散型隨機變量及其分布列、均值與方差練習題 一、選擇題 1．設某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(X＝0)等于(　　) A．0　　　　 B． C． D． 【答案】C 2．若離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 P 9c2－c 3－8c 則常數(shù)c的值為(　　) A．或 B． C． D．1 【答案】C 【解析】根據(jù)離散型隨機變量分布列的性質(zhì)知 得c＝. 3．在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 【答案】C 【解析】X服從超幾何分布，故P(X＝k)＝，k＝4. 4．若離散型隨機變量X的分布列為(　　) X 0 1 P 則X的數(shù)學期望E(X)＝(　　) A．2　　　　 B．2或 C． D．1 【答案】C 5．已知某一隨機變量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，則a的值為(　　) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A．5　　　　　　　　　 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由分布列性質(zhì)知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4， ∴E(X)＝40.5＋a0.1＋90.4＝6.3，∴a＝7. 6．已知隨機變量η滿足E(1－η)＝5，D(1－η)＝5，則下列說法正確的是(　　) A．E(η)＝－5，D(η)＝5 B．E(η)＝－4，D(η)＝－4 C．E(η)＝－5，D(η)＝－5 D．E(η)＝－4，D(η)＝5 【答案】D 【解析】因為E(1－η)＝1－E(η)＝5，所以E(η)＝－4.D(1－η)＝(－1)2D(η)＝5，所以D(η)＝5，故選D. 7．已知隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，則P(2＜X≤4)等于(　　) A． B． C． D． 【答案】B 8．若隨機變量X的分布列為 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 則當P(Xx2)＝β，P(Xx2)－P(X，則P的取值范圍是_______ 【答案】. 　 【解析】由已知得P(Y＝1)＝p，P(Y＝2)＝(1－p)p，P(Y＝3)＝(1－p)2， 則E(Y)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，解得p>或p<， 又p∈(0,1)，所以p∈. 三、解答題 17．有編號為1,2,3，…，n的n個學生，入坐編號為1,2,3，…，n的n個座位，每個學生規(guī)定坐一個座位，設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數(shù)為X，已知X＝2時，共有6種坐法． (1)求n的值． (2)求隨機變量X的概率分布列. 【答案】(1)4；(2)見解析 所以X的概率分布列為： X 0 2 3 4 P 18.端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗．設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個． (1)求三種粽子各取到1個的概率； (2)設X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列. 【答案】(1) ；(2)見解析 綜上知，X的分布列為 X 0 1 2 P 19．PM2.5是指懸浮在空氣中的直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．根據(jù)現(xiàn)行國家標準GB3 095—2 012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標． 從某自然保護區(qū)2015年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示： PM2.5日均值 (微克/立方米) [25,35] (35,45] (45,55] (55,65] (65,75] (75,85] 頻數(shù) 3 1 1 1 1 3 (1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率； (2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求ξ的分布列． 【答案】(1) ；(2)見解析。 【解析】　(1)記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達到一級”為事件A，則 P(A)＝＝. (2)依據(jù)條件，ξ服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)． ∴P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 因此ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 20．在一袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)，現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標號． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值． 【答案】(1)見解析；(2) 或 21．為吸引顧客，某公司在商場舉辦電子游戲活動．對于A，B兩種游戲，每種游戲玩一次均會出現(xiàn)兩種結果，而且每次游戲的結果相互獨立，具體規(guī)則如下：玩一次游戲A，若綠燈閃亮，獲得50分，若綠燈不閃亮，則扣除10分(即獲得－10分)，綠燈閃亮的概率為；玩一次游戲B，若出現(xiàn)音樂，獲得60分，若沒有出現(xiàn)音樂，則扣除20分(即獲得－20分)，出現(xiàn)音樂的概率為.玩多次游戲后累計積分達到130分可以兌換獎品． (1)記X為玩游戲A和B各一次所得的總分，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望； (2)設某人玩5次游戲B，求該人能兌換獎品的概率． 【答案】(1)見解析；(2) 所以X的分布列為 X 110 50 30 －30 P 故E(X)＝110＋50＋30－30＝32. (2)設某人玩5次游戲B的過程中，出現(xiàn)音樂n次(0≤n≤5，n∈N*)，則沒出現(xiàn)音樂5－n次， 依題意得60n－20(5－n)≥130，解得n≥， 所以n＝3或4或5. 設“某人玩5次游戲B能兌換獎品”為事件M， 則P(M)＝C＋C＋＝. 22.為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為，；兩人滑雪時間都不會超過3小時． (1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率； (2)設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學期望E(ξ)，方差D(ξ). 【答案】(1) ；(2)80， (2)設甲、乙所付費用之和為ξ，ξ可能取值為0,40,80,120,160，則： P(ξ＝0)＝＝； P(ξ＝40)＝＋＝； P(ξ＝80)＝＋＋＝； P(ξ＝120)＝＋＝； P(ξ＝160)＝＝. ξ的分布列為 ξ 0 40 80 120 160 P E(ξ)＝0＋40＋80＋120＋160＝80. D(ξ)＝(0－80)2＋(40－80)2＋(80－80)2＋(120－80)2＋(160－80)2＝.