2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 習(xí)題課 離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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習(xí)題課 離散型隨機(jī)變量的均值 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.進(jìn)一步熟練掌握均值公式及性質(zhì).2.能利用隨機(jī)變量的均值解決實(shí)際生活中的有關(guān)問題． 1．對均值的再認(rèn)識 (1)含義：均值是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù)，反映或刻畫的是隨機(jī)變量取值的平均水平． (2)來源：均值不是通過一次或多次試驗(yàn)就可以得到的，而是在大量的重復(fù)試驗(yàn)中表現(xiàn)出來的相對穩(wěn)定的值． (3)單位：隨機(jī)變量的均值與隨機(jī)變量本身具有相同的單位． (4)與平均數(shù)的區(qū)別：均值是概率意義下的平均值，不同于相應(yīng)數(shù)值的平均數(shù)． 2．均值的性質(zhì) X是隨機(jī)變量，若隨機(jī)變量η＝aX＋b(a，b∈R)， 則E(η)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 類型一　放回與不放回問題的均值 例1　在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)ξ的均值； (2)放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)η的均值． 　 　 　 　 反思與感悟　不放回抽樣服從超幾何分布，放回抽樣服從二項(xiàng)分布，求均值可利用公式代入計(jì)算． 跟蹤訓(xùn)練1　甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有m個(gè)球，乙袋中共有2m個(gè)球，從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為，從乙袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為P2. (1)若m＝10，求甲袋中紅球的個(gè)數(shù)； (2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個(gè)紅球的概率是，求P2的值； (3)設(shè)P2＝，若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個(gè)球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次．設(shè)ξ表示摸出紅球的總次數(shù)，求ξ的概率分布和均值． 　 　 　 　 　 　 　 類型二　與排列、組合有關(guān)的分布列的均值 例2　如圖所示，從A1(1,0,0)，A2(2，0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1 (0，0,1)，C2(0,0,2)這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)，將這3個(gè)點(diǎn)及原點(diǎn)O兩兩相連構(gòu)成一個(gè)“立體”，記該“立體”的體積為隨機(jī)變量V(如果選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，此時(shí)“立體”的體積V＝0)． (1)求V＝0的概率； (2)求均值E(V)． 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　解此類題的關(guān)鍵是搞清離散型隨機(jī)變量X取每個(gè)值時(shí)所對應(yīng)的隨機(jī)事件，然后利用排列、組合知識求出X取每個(gè)值時(shí)的概率，利用均值的公式便可得到． 跟蹤訓(xùn)練2　某地舉辦知識競賽，組委會(huì)為每位選手都備有10道不同的題目，其中有6道藝術(shù)類題目，2道文學(xué)類題目，2道體育類題目，每位選手從給定的10道題中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次抽取一道題，回答完一道題后，再抽取下一道題進(jìn)行回答． (1)求某選手在3次抽取中，只有第一次抽到的是藝術(shù)類題目的概率； (2)求某選手抽到體育類題目的次數(shù)X的均值． 　 　 　 　 　 　 　 　 類型三　與互斥、獨(dú)立事件有關(guān)的分布列的均值 例3　某學(xué)生需依次進(jìn)行身體體能和外語兩個(gè)項(xiàng)目的訓(xùn)練及考核．每個(gè)項(xiàng)目只有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，補(bǔ)考不及格者不能進(jìn)入下一個(gè)項(xiàng)目的訓(xùn)練(即淘汰)，若該學(xué)生身體體能考核合格的概率是，外語考核合格的概率是，假設(shè)每一次考核是否合格互不影響． 假設(shè)該生不放棄每一次考核的機(jī)會(huì)．用ξ表示其參加補(bǔ)考的次數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的均值． 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　若隨機(jī)變量取某一值的概率較為復(fù)雜或不好求時(shí)，可以利用分布列的性質(zhì)求其概率． 跟蹤訓(xùn)練3　甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，每局比賽甲勝的概率為，乙勝的概率為，沒有和棋，采用五局三勝制，規(guī)定某人先勝三局則比賽結(jié)束，求比賽局?jǐn)?shù)X的均值． 　 　 　 　 　 　 類型四　均值的實(shí)際應(yīng)用 例4　受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)．某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下： 品牌 甲 乙 首次出現(xiàn)故障時(shí)間x/年 02 02 轎車數(shù)量/輛 2 3 45 5 45 每輛利潤/萬元 1 2 3 1.8 2.9 將頻率視為概率，解答下列問題： (1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率； (2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的概率分布； (3)該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車的銷量相當(dāng)，由于資金限制，因此只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車．若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的轎車？請說明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　解答概率模型的三個(gè)步驟 (1)審題，確定實(shí)際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些． (2)確定隨機(jī)變量的概率分布，計(jì)算隨機(jī)變量的均值． (3)對照實(shí)際意義，回答概率、均值等所表示的結(jié)論． 跟蹤訓(xùn)練4　某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定，小王到該銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試．若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定． (1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率； (2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X，求X的概率分布和均值． 　 　 　 　 　 　 　 　 1．某一供電網(wǎng)絡(luò)有n個(gè)用電單位，每個(gè)單位在一天中用電的機(jī)會(huì)是p，供電網(wǎng)絡(luò)中一天平均用電的單位個(gè)數(shù)是________． 2．今有兩臺(tái)獨(dú)立工作在兩地的雷達(dá)，每臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和0.85，設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)臺(tái)數(shù)為X，則E(X)＝________. 3．已知隨機(jī)變量ξ的概率分布為 ξ －1 0 1 P m 若η＝aξ＋3，E(η)＝，則a＝________. 4．兩封信隨機(jī)投入A、B、C三個(gè)空郵箱中，則A郵箱的信件數(shù)ξ的均值E(ξ)＝________. 5.現(xiàn)有一游戲裝置如圖，小球從最上方入口處投入，每次遇到黑色障礙物等可能地向左、右兩邊落下．游戲規(guī)則為：若小球最終落入A槽，得10張獎(jiǎng)票；若落入B槽，得5張獎(jiǎng)票；若落入C槽，得重投一次的機(jī)會(huì)，但投球的總次數(shù)不超過3次． (1)求投球一次，小球落入B槽的概率； (2)設(shè)玩一次游戲能獲得的獎(jiǎng)票數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的概率分布及均值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1．實(shí)際問題中的均值問題 均值在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，如體育比賽的安排和成績預(yù)測，消費(fèi)預(yù)測，工程方案的預(yù)測，產(chǎn)品合格率的預(yù)測，投資收益等，都可以通過隨機(jī)變量的均值來進(jìn)行估計(jì)． 2．概率模型的解答步驟 (1)審題，確定實(shí)際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些． (2)確定隨機(jī)變量的概率分布，計(jì)算隨機(jī)變量的均值． (3)對照實(shí)際意義，回答概率、均值等所表示的結(jié)論． 答案精析 題型探究 例1　解　(1)方法一　P(ξ＝0)＝ ＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝. ∴隨機(jī)變量ξ的概率分布如下表： ξ 0 1 2 P E(ξ)＝0＋1＋2＝. 方法二　由題意知，P(ξ＝k)＝ (k＝0,1,2)， ∴隨機(jī)變量ξ服從超幾何分布，n＝3，M＝2，N＝10， ∴E(ξ)＝＝＝. (2)由題意知1次取到次品的概率為 ＝， 隨機(jī)變量η服從二項(xiàng)分布η～B， ∴E(η)＝3＝. 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)設(shè)甲袋中紅球的個(gè)數(shù)為x， 依題意得x＝10＝4. (2)由已知，得＝， 解得P2＝. (3)ξ的所有可能值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＋C＝， P(ξ＝2)＝C＋2＝， P(ξ＝3)＝2＝. 所以ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝. 例2　解　(1)從6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)總共有C＝20種取法，選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)的取法有CC＝12種，因此V＝0的概率為P(V＝0)＝＝. (2)V的所有可能取值為0，，，，， 則P(V＝0)＝，P(V＝)＝＝， P(V＝)＝＝，P(V＝)＝＝， P(V＝)＝＝. 因此V的概率分布如下表： V 0 P E(V)＝0＋＋＋＋ ＝. 跟蹤訓(xùn)練2　解　從10道不同的題目中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次只抽取1道題，抽取方法的總數(shù)為CCC. (1)某選手在3次抽取中，只有第一次抽到的是藝術(shù)類題目的方法數(shù)為CCC， 所以這位選手在3次抽取的題目中，只有第一次抽到的是藝術(shù)類題目的概率為＝. (2)由題意可知X的取值可能為0,1,2. 則P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 故X的概率分布如下表： X 0 1 2 P E(X)＝0＋1＋2＝. 例3　解　ξ的可能取值為0,1,2. 設(shè)該學(xué)生第一次，第二次身體體能考核合格為事件A1，A2，第一次，第二次外語考核合格為事件B1，B2， 則P(ξ＝0)＝P(A1B1)＝＝， P(ξ＝2)＝P(1A21 B2)＋P(1A21 2) ＝＋ ＝. 根據(jù)分布列的性質(zhì)可知， P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝. 所以其概率分布如下表： ξ 0 1 2 P E(ξ)＝0＋1＋2＝. 跟蹤訓(xùn)練3　解　由題意，X的所有可能值是3,4,5. 則P(X＝3)＝C()3＋C()3＝， P(X＝4)＝C()2＋C()2＝， P(X＝5)＝C()2()2＋C()2()2＝. 所以X的概率分布如下表： X 3 4 5 P 所以E(X)＝3＋4＋5 ＝. 例4　解　(1)設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A，則P(A)＝＝. (2)依題意得X1的概率分布如下表： X1 1 2 3 P X2的概率分布如下表： X2 1.8 2.9 P (3)由(2)得E(X1)＝1＋2＋3＝＝2.86(萬元)，E(X2)＝1.8＋2.9＝2.79(萬元)．因?yàn)镋(X1)>E(X2)，所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車． 跟蹤訓(xùn)練4　解　(1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，則P(A)＝＝. (2)依題意，得X所有可能的取值是1,2,3，又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝1＝. 所以X的概率分布為 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1＋2＋3＝. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．np　2.1.75　3.2　4. 5．解　(1)由題意可知投一次小球，落入B槽的概率為()2＋()2＝. (2)落入A槽的概率為()2＝， 落入B槽的概率為， 落入C槽的概率為()2＝. X的所有可能取值為0,5,10， P(X＝0)＝()3＝， P(X＝5)＝＋＋()2＝. P(X＝10)＝＋＋()2＝. 所以X的概率分布為 X 0 5 10 P E(X)＝0＋5＋10＝.