（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專(zhuān)題十一 直線與圓講義 理（重點(diǎn)生含解析）.doc

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專(zhuān)題十一 直線與圓 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 ___________ ____________ 直線方程、圓的方程、點(diǎn)到直線的距離T6 2017 圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離、雙曲線的幾何性質(zhì)T15 圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題、雙曲線的幾何性質(zhì)T9 平面向量基本定理、直線與圓位置關(guān)系T12 直線與圓的方程、直線與拋物線位置關(guān)系T20 2016 拋物線、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程T10 圓的方程、點(diǎn)到直線的距離T4 點(diǎn)到直線的距離、弦長(zhǎng)問(wèn)題T16 縱向把握趨勢(shì) 卷Ⅰ3年2考，涉及圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)．預(yù)計(jì)2019年會(huì)以選擇題的形式考查圓方程的求法及應(yīng)用 卷Ⅱ3年2考，涉及圓的方程、點(diǎn)到直線的距離、雙曲線的幾何性質(zhì)，題型為選擇題，難度適中．預(yù)計(jì)2019年會(huì)以選擇題的形式考查直線與圓的綜合問(wèn)題 卷Ⅲ3年4考，涉及直線方程、圓的方程、點(diǎn)到直線的距離、弦長(zhǎng)問(wèn)題、直線與拋物線的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)等，既有選擇、填空題，也有解答題，難度適中．預(yù)計(jì)2019年會(huì)以選擇題或填空題的形式考查直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)要注意圓與橢圓、雙曲線、拋物線的綜合問(wèn)題 橫向把握重點(diǎn) 1.圓的方程近幾年成為高考全國(guó)卷命題的熱點(diǎn)，需重點(diǎn)關(guān)注．此類(lèi)試題難度中等偏下，多以選擇題或填空題形式考查． 2.直線與圓的方程偶爾單獨(dú)命題，單獨(dú)命題時(shí)有一定的深度，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在壓軸題的位置，難度較大，對(duì)直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問(wèn)題上. 直線的方程 [題組全練] 1．已知p：直線x－y－1＝0與直線x－my＋2＝0平行，q：m＝1，則p是q的(　　) A．充要條件　　　　　　　 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　由于兩直線平行的充要條件是＝≠，即m＝1.故選A. 2．已知直線x＋y－1＝0與直線2x＋my＋3＝0平行，則它們之間的距離是(　　) A．1 B. C．3 D．4 解析：選B　由題意可知＝≠，解得m＝2，所以兩平行線之間的距離d＝＝. 3．已知點(diǎn)M是直線x＋y＝2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P(，－1)，則|PM|的最小值為(　　) A. B．1 C．2 D．3 解析：選B　|PM|的最小值即點(diǎn)P(，－1)到直線x＋y＝2的距離，又＝1.故|PM|的最小值為1. 4．設(shè)A，B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，且|MA|＝|MB|，若直線MA的方程為x－y＋1＝0，則直線MB的方程是(　　) A．x＋y－7＝0 B．x－y＋7＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0 解析：選A　法一：由|MA|＝|MB|知，點(diǎn)M在A，B的垂直平分線上．由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，且直線MA的方程為x－y＋1＝0，得M(3,4)．由題意知，直線MA，MB關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，故直線MA上的點(diǎn)(0,1)關(guān)于直線x＝3的對(duì)稱點(diǎn)(6,1)在直線MB上，∴直線MB的方程為x＋y－7＝0. 法二：由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，且直線MA的方程為x－y＋1＝0，得M(3,4)，代入四個(gè)選項(xiàng)可知只有A項(xiàng)滿足題意，選A. 5.如圖所示，射線OA，OB與x軸正半軸的夾角分別為45和30，過(guò)點(diǎn)P(1,0)作直線分別交OA，OB于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線x－2y＝0上時(shí)，直線AB的方程為_(kāi)___________． 解析：由題意可得kOA＝tan 45＝1，kOB＝tan 150＝－，所以直線lOA：y＝x，lOB：y＝－x，設(shè)A(m，m)，B(－n，n)(m≠0，n≠0)，則AB的中點(diǎn)C，當(dāng)m＝1時(shí)，n＝－，A(1,1)，B，C，故點(diǎn)C不在直線x－2y＝0上，不滿足題意，當(dāng)m≠1時(shí)，n≠－，由點(diǎn)C在直線x－2y＝0上，且A，P，B三點(diǎn)共線得解得m＝，所以A(，)，又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，所以lAB：y＝(x－1)，即直線AB的方程為(3＋)x－2y－3－＝0. 答案：(3＋)x－2y－3－＝0 [系統(tǒng)方法] 解決直線方程問(wèn)題的2個(gè)注意點(diǎn) (1)求解兩條直線平行的問(wèn)題時(shí)，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的可能性． (2)要注意幾種直線方程的局限性．點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線不能與x軸垂直．而截距式方程不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線. 圓的方程 [題組全練] 1．圓心在直線2x－y－7＝0上的圓C與y軸交于A(0，－4)，B(0，－2)兩點(diǎn)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 B．(x－2)2＋(y－3)2＝5 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 解析：選D　法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 故解得 半徑r＝＝， 故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 法二：利用圓心在直線2x－y－7＝0上來(lái)檢驗(yàn)，只有D符合，即(x－2)2＋(y＋3)2＝5的圓心為(2，－3)，22＋3－7＝0，其他三個(gè)圓心(－2，－3)，(2,3)，(－2,3)均不符合題意，故選D. 2．已知圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax＋by－2＝0對(duì)稱，則ab的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　將圓的方程配方得(x－1)2＋(y－2)2＝4，若圓關(guān)于已知直線對(duì)稱，即圓心(1,2)在直線2ax＋by－2＝0上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤. 3．(2019屆高三豫南十校聯(lián)考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0，)在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為_(kāi)___________． 解析：設(shè)C(a,0)(a＞0)，由題意知＝，解得a＝2，所以r＝＝3，故圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9. 答案：(x－2)2＋y2＝9 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________． 解析：由題意得，半徑等于＝ ＝ ≤ ≤，當(dāng)且僅當(dāng)m＝1時(shí)取等號(hào)，所以半徑最大為，所求圓為(x－1)2＋y2＝2. 答案：(x－1)2＋y2＝2 [系統(tǒng)方法] 求圓的方程的2種方法 (1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程． (2)待定系數(shù)法： ①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值； ②若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇設(shè)圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值． 直線(圓)與圓的位置關(guān)系 [多維例析] 角度一　直線(圓)與圓位置關(guān)系的判定及應(yīng)用 　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y＝2x－4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上． (1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程． (2)若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍． [解]　(1)因?yàn)閳A心在直線l：y＝2x－4上，也在直線y＝x－1上，所以解方程組得圓心C(3,2)，又因?yàn)閳A的半徑為1，所以圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝1. 又因?yàn)辄c(diǎn)A(0,3)，顯然過(guò)點(diǎn)A，圓C的切線的斜率存在，設(shè)所求的切線方程為y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0， 所以＝1，解得k＝0或k＝－， 所以所求切線方程為y＝3或y＝－x＋3， 即y－3＝0或3x＋4y－12＝0. (2)因?yàn)閳AC的圓心在直線l：y＝2x－4上，所以設(shè)圓心C(a,2a－4)，又因?yàn)閳AC的半徑為1，則圓C的方程為(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1， 設(shè)M(x，y)，又因?yàn)閨MA|＝2|MO|， 則有＝2， 整理得x2＋(y＋1)2＝4，設(shè)為圓D，圓心D(0，－1)． 所以點(diǎn)M既在圓C上，又在圓D上，即圓C與圓D有交點(diǎn)， 所以2－1≤ ≤2＋1， 解得0≤a≤. 故圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍是. 角度二　已知直線(圓)與圓的位置關(guān)系求參數(shù)值(范圍) 　(1)設(shè)直線x－y－a＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△AOB為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A． B． C．3 D．9 (2)已知點(diǎn)M(－2,0)，N(2,0)，若圓x2＋y2－6x＋9－r2＝0(r＞0)上存在點(diǎn)P(不同于點(diǎn)M，N)，使得PM⊥PN，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是(　　) A．(1,5) B．[1,5] C．(1,3] D．[1,3] [解析]　(1)由題意知，圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑為2，則△AOB的邊長(zhǎng)為2，所以△AOB的高為，即圓心到直線x－y－a＝0的距離為，所以＝，解得a＝. (2)將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)，若要使圓上一點(diǎn)P滿足PM⊥PN，則需圓經(jīng)過(guò)M，N兩點(diǎn)之間，即r∈[1,5]．當(dāng)r＝1時(shí)，(x－3)2＋y2＝1經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,0)，圓(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)上不存在點(diǎn)P，使得PM⊥PN；當(dāng)r＝5時(shí)，(x－3)2＋y2＝25經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－2,0)，同理圓(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)上不存在點(diǎn)P，使得PM⊥PN.故選A. [答案]　(1)B　(2)A [系統(tǒng)方法] 1．直線(圓)與圓位置關(guān)系問(wèn)題的求解思路 (1)研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過(guò)圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn)，兩圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較． (2)求過(guò)圓外一定點(diǎn)的切線方程的基本思路： 首先將直線方程設(shè)為點(diǎn)斜式，然后利用圓心到直線的距離等于半徑求斜率，最后若求得的斜率只有一個(gè)，則存在一條過(guò)切點(diǎn)與x軸垂直的切線． 2．弦長(zhǎng)的求解方法 幾何法 根據(jù)半徑，弦心距，弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形，構(gòu)成三者間的關(guān)系r2＝d2＋(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離) 公式法 根據(jù)公式：l＝|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，x1，x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，k為直線的斜率) 距離法 求出交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求解 [綜合訓(xùn)練] 1．在圓(x－1)2＋(y－1)2＝9上總有四個(gè)點(diǎn)到直線l：3x＋4y＋t＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(　　) A．(－17,1) B．(－15,3) C．(－17,3) D．(－15,1) 解析：選C　由圓上總有四個(gè)點(diǎn)到直線l：3x＋4y＋t＝0的距離為1，得圓心(1,1)到直線l的距離d＝＜r－1＝2，解得－17＜t＜3，即實(shí)數(shù)t的取值范圍是(－17,3)． 2．已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0交于M，N兩點(diǎn)．若＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MN|＝(　　) A．2 B．4 C. D．2 解析：選A　設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，圓C的方程可化為(x－2)2＋(y－3)2＝1，其圓心為(2,3)，將y＝kx＋1代入方程x2＋y2－4x－6y＋12＝0，整理得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，所以Δ＝16(k2＋2k＋1)－28(1＋k2)＝－12k2＋32k－12＞0，x1＋x2＝，x1x2＝.＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8，由題設(shè)可得＋8＝12，得k＝1，滿足Δ>0，所以直線l的方程為y＝x＋1.故圓心(2,3)恰在直線l上，所以|MN|＝2. 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4.若直線l過(guò)點(diǎn)A(4,0)，且被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2，則直線l的方程為_(kāi)_____________________． 解析：由于直線x＝4與圓C1不相交，所以直線l的斜率存在．設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，圓C1的圓心(－3,1)到直線l的距離為d，因?yàn)閳AC1被直線l截得的弦長(zhǎng)為2，所以d＝＝1.由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝，化簡(jiǎn)得k(24k＋7)＝0， 即k＝0或k＝－， 所以直線l的方程為y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0. 答案：y＝0或7x＋24y－28＝0 重難增分 點(diǎn)、直線與圓的綜合問(wèn)題 [考法全析] 一、曾經(jīng)這樣考 1．[與圓有關(guān)的范圍問(wèn)題](2014全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓 O：x2＋y2＝1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45，則x0的取值范圍是(　　) A．[－1,1]　　　　　　　 B. C．[－，] D. 解析：選A　法一：常規(guī)思路穩(wěn)解題 由題意可知M在直線y＝1上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線y＝1與圓x2＋y2＝1相切于點(diǎn)P(0,1)．當(dāng)x0＝0即點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí)，顯然圓上存在點(diǎn)N(1，0)符合要求；當(dāng)x0≠0時(shí)，過(guò)M作圓的切線，切點(diǎn)之一為點(diǎn)P，此時(shí)對(duì)于圓上任意一點(diǎn)N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45，只需∠OMP≥45.特別地，當(dāng)∠OMP＝45時(shí)，有x0＝1.結(jié)合圖形可知，符合條件的x0的取值范圍為[－1,1]． 法二：特殊思路妙解題 如圖，過(guò)O作OP⊥MN于點(diǎn)P， 則|OP|＝|OM|sin 45≤1， ∴|OM|≤，即≤， ∴x≤1，即－1≤x0≤1. [啟思維]　本題考查直線與圓的位置關(guān)系(圓的切線問(wèn)題)、存在性問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合法是解決此類(lèi)題目的最有效方法． 二、還可能這樣考 2．[與圓有關(guān)的最值問(wèn)題]已知從圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2外一點(diǎn)P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|＝|PO|，則當(dāng)|PM|取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)___________． 解析：如圖所示，連接CM，CP.由題意知圓心C(－1,2)，半徑r＝.因?yàn)閨PM|＝|PO|，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x＋y＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可．當(dāng)PO垂直于直線2x－4y＋3＝0時(shí)，即PO所在直線的方程為2x＋y＝0時(shí)，|PM|的值最小，此時(shí)點(diǎn)P為兩直線的交點(diǎn)，由解得故當(dāng)|PM|取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 答案： [啟思維]　本題考查圓的切線長(zhǎng)問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題一般放在由該點(diǎn)與切點(diǎn)的連線、半徑及該點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的直角三角形中求解． 3．[與圓有關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題]已知圓O：x2＋y2＝1，點(diǎn)P為直線＋＝1上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓O引兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(　　) A. B. C. D. 解析：選B　因?yàn)辄c(diǎn)P是直線＋＝1上的一動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)P(4－2m，m)． 因?yàn)镻A，PB是圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，所以O(shè)A⊥PA，OB⊥PB，所以點(diǎn)A，B在以O(shè)P為直徑的圓C上，即弦AB是圓O和圓C的公共弦． 所以圓C的方程為x(x－4＋2m)＋y(y－m)＝0，?、? 又x2＋y2＝1，?、? 所以②－①得，(2m－4)x－my＋1＝0，即公共弦AB所在的直線方程為(2x－y)m＋(－4x＋1)＝0， 令得 所以直線AB過(guò)定點(diǎn). [啟思維]　本題考查圓的切線問(wèn)題、兩圓公共弦所在直線的求法以及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．解決直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先將含參的直線方程化為以參數(shù)為主元的形式，再令參數(shù)主元的系數(shù)為0即可求得定點(diǎn)坐標(biāo)． 4．[與向量等知識(shí)的綜合問(wèn)題]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)M(1,0)的直線l與圓x2＋y2＝5交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，且＝2，則直線l的方程為_(kāi)___________． 解析：法一：由題意，設(shè)直線l的方程為x＝my＋1(m≠0)，與x2＋y2＝5聯(lián)立， 消去x并整理得(m2＋1)y2＋2my－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＝(1－x2，－y2)，＝(x1－1，y1)， y1＋y2＝－，① y1y2＝－.② 因?yàn)椋?，所以－y2＝2y1，③ 聯(lián)立①②③，可得m2＝1， 又點(diǎn)A在第一象限，所以y1＞0，則m＝1，所以直線l的方程為x－y－1＝0. 法二：由題意，設(shè)直線l的方程為x＝my＋1(m≠0)，即x－my－1＝0，所以圓心O到直線l的距離d＝. 又＝2，且|OM|＝1，圓x2＋y2＝5的半徑r＝， 所以＋＝2(－)，即3＝， 所以9＝5－，解得m2＝1， 又點(diǎn)A在第一象限，所以m＝1， 故直線l的方程為x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0 [啟思維]　本題將直線與圓的位置關(guān)系、共線向量問(wèn)題相綜合，考查直線方程的求法．直線與圓的綜合問(wèn)題常利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問(wèn)題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)代數(shù)的計(jì)算，使問(wèn)題得到解決． [增分集訓(xùn)] 1．(2018全國(guó)卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2,6] B．[4,8] C．[，3] D．[2，3] 解析：選A　設(shè)圓(x－2)2＋y2＝2的圓心為C，半徑為r，點(diǎn)P到直線x＋y＋2＝0的距離為d， 則圓心C(2,0)，r＝， 所以圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離為＝2， 可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝. 由已知條件可得|AB|＝2， 所以△ABP面積的最大值為|AB|dmax＝6， △ABP面積的最小值為|AB|dmin＝2. 綜上，△ABP面積的取值范圍是[2,6]． 2．(2017江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上．若≤20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________． 解析：設(shè)P(x，y)，則＝(－12－x，－y)(－x，6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20. 又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0， 所以點(diǎn)P在直線2x－y＋5＝0的上方(包括直線上)． 又點(diǎn)P在圓x2＋y2＝50上， 由 解得x＝－5或x＝1， 結(jié)合圖象，可得－5≤x≤1， 故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[－5，1]． 答案：[－5，1] 3．已知直線l1：x－2y＝0的傾斜角為α，傾斜角為2α的直線l2與圓M：x2＋y2＋2x－2y＋F＝0交于A，C兩點(diǎn)，其中A(－1,0)，B，D在圓M上，且位于直線l2的兩側(cè)，則四邊形ABCD的面積的最大值是________． 解析：因?yàn)橹本€l1：x－2y＝0的傾斜角為α，所以tan α＝，所以直線l2的斜率k＝tan 2α＝＝＝，所以直線l2的方程為y－0＝(x＋1)，即4x－3y＋4＝0. 又A(－1,0)在圓M上，所以(－1)2－2＋F＝0，解得F＝1，所以圓M的方程為x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝1，所以圓心M(－1,1)，半徑r＝1. 所以圓心M到直線l2的距離d＝＝，所以|AC|＝ ＝， 即|AC|＝2＝. 因?yàn)锽，D兩點(diǎn)在圓上，且位于直線l2的兩側(cè)，則四邊形ABCD的面積可以看成是△ABC和△ACD的面積之和，如圖所示，當(dāng)BD垂直平分AC(即BD為直徑)時(shí)，兩三角形的面積之和最大，即四邊形ABCD的面積最大，此時(shí)AC，BD相交于點(diǎn)E，則四邊形ABCD的最大面積S＝|AC||BE|＋|AC||DE|＝|AC||BD|＝2＝. 答案： [專(zhuān)題跟蹤檢測(cè)](對(duì)應(yīng)配套卷P191) 一、全練保分考法——保大分 1．過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為(　　) A．2x＋y－5＝0　　　　　　 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0 解析：選B　∵過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條， ∴點(diǎn)(3,1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上， ∵圓心與切點(diǎn)連線的斜率k＝＝， ∴切線的斜率為－2， 則圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)， 即2x＋y－7＝0. 2．圓心在直線x＋2y＝0上的圓C與y軸的負(fù)半軸相切，圓C截x軸所得的弦長(zhǎng)為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．(x－2)2＋(y＋)2＝8 B．(x－)2＋(y＋2)2＝8 C．(x－2)2＋(y＋)2＝8 D．(x－)2＋(y＋2)2＝8 解析：選A　法一：設(shè)圓心為(r>0)，半徑為r.由勾股定理()2＋2＝r2，解得r＝2，∴圓心為(2，－)，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋)2＝8. 法二：四個(gè)圓的圓心分別為(2，－)，(，－2)，(2，－)，(，－2)，將它們逐一代入x＋2y＝0，只有A選項(xiàng)滿足． 3．已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度是2.則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 解析：選B　由題意知圓M的圓心為(0，a)，半徑R＝a，因?yàn)閳AM截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度為2，所以圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝＝(a>0)，解得a＝2，即圓M的圓心為(0,2)，又知圓N的圓心為(1,1)，半徑r＝1，所以|MN|＝，則R－r<0)，則r＝6＝4， 所以圓C的方程為(x－4)2＋y2＝16. 法二：設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1>0，x2>0)，由題設(shè)知x＋y＝x＋y. 又y＝2x1，y＝2x2，故x＋2x1＝x＋2x2， 即(x1－x2)(x1＋x2＋2)＝0， 由x1>0，x2>0，可知x1＝x2，故A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以圓心C在x軸上． 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(r,0)(r>0)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，于是2＝2r，解得r＝4，所以圓C的方程為(x－4)2＋y2＝16. 7．設(shè)M，N分別為圓O1：x2＋y2－12y＋34＝0和圓O2：(x－2)2＋y2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，則M，N兩點(diǎn)間的距離的取值范圍是________． 解析：圓O1的方程可化為x2＋(y－6)2＝2，其圓心為O1(0,6)，半徑r1＝.圓O2的圓心O2(2,0)，半徑r2＝2，則|O1O2|＝＝2，則|MN|max＝2＋2＋，|MN|min＝2－2－，故M，N兩點(diǎn)間的距離的取值范圍是[2－2－，2＋2＋]． 答案：[2－2－，2＋2＋] 8．過(guò)點(diǎn)P(－3,1)，Q(a,0)的光線經(jīng)x軸反射后與圓x2＋y2＝1相切，則a的值為_(kāi)_______． 解析：點(diǎn)P(－3,1)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為P′(－3，－1)， 所以直線P′Q的方程為x－(a＋3)y－a＝0， 由題意得直線P′Q與圓x2＋y2＝1相切， 所以＝1， 解得a＝－. 答案：－ 9．已知圓C過(guò)點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y＝x－1被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2，則過(guò)圓心且與直線l垂直的直線的方程為_(kāi)_______________． 解析：由題意，設(shè)所求的直線方程為x＋y＋m＝0，圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0)， 則由題意知2＋2＝(a－1)2， 解得a＝3或－1(舍去)， 故圓心坐標(biāo)為(3,0)， 因?yàn)閳A心(3,0)在所求的直線上， 所以3＋0＋m＝0， 解得m＝－3， 故所求的直線方程為x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0 10．(2018全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 解：(1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF| ＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設(shè)知＝8， 解得k＝1或k＝－1(舍去)． 因此l的方程為y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)， 所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)， 即y＝－x＋5. 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)， 則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 11．(2018成都模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Г：y＝x2－mx＋2m(m∈R)與x軸交于不同的兩點(diǎn)A，B，曲線Г與y軸交于點(diǎn)C. (1)是否存在以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)C？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． (2)求證：過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓過(guò)定點(diǎn)． 解：由曲線Г：y＝x2－mx＋2m(m∈R)， 令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)， 則可得Δ＝m2－8m>0， 解得m>8或m<0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m. 令x＝0，得y＝2m，即C(0,2m)． (1)若存在以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)C，則＝0， 得x1x2＋4m2＝0， 即2m＋4m2＝0， 所以m＝0(舍去)或m＝－. 所以m＝－， 此時(shí)C(0，－1)，AB的中點(diǎn)M即圓心， 半徑r＝|CM|＝， 故所求圓的方程為2＋y2＝. (2)證明：設(shè)過(guò)A，B兩點(diǎn)的圓的方程為 x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0， 將點(diǎn)C(0,2m)代入可得E＝－1－2m， 所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為 x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0， 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0. 令可得或 故過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓過(guò)定點(diǎn)(0,1)和. 12．(2019屆高三廣州調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C與y軸相切，且過(guò)點(diǎn)M(1，)，N(1，－)． (1)求圓C的方程； (2)已知直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且直線OA與直線OB的斜率之積為－2.求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：(1)因?yàn)閳AC過(guò)點(diǎn)M(1，)，N(1，－)， 所以圓心C在線段MN的垂直平分線上，即在x軸上， 故設(shè)圓心為C(a,0)，易知a>0， 又圓C與y軸相切，所以圓C的半徑r＝a， 所以圓C的方程為(x－a)2＋y2＝a2. 因?yàn)辄c(diǎn)M(1，)在圓C上， 所以(1－a)2＋()2＝a2，解得a＝2. 所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝4. (2)證明：記直線OA的斜率為k(k≠0)，則其方程為y＝kx. 聯(lián)立消去y，得(k2＋1)x2－4x＝0， 解得x1＝0，x2＝. 所以A. 由kkOB＝－2，得kOB＝－， 直線OB的方程為y＝－x， 在點(diǎn)A的坐標(biāo)中用－代換k，得B. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，＝，得k2＝2，此時(shí)直線l的方程為x＝. 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，≠，即k2≠2， 則直線l的斜率為 ＝＝＝. 故直線l的方程為y－＝， 即y＝， 所以直線l過(guò)定點(diǎn). 綜上，直線l恒過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為. 二、強(qiáng)化壓軸考法——拉開(kāi)分 1．已知圓C：x2＋y2＝1，點(diǎn)P(x0，y0)在直線l：3x＋2y－4＝0上，若在圓C上總存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使＋＝，則x0的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　如圖，∵＋＝， ∴OP與AB互相垂直平分， ∴圓心到直線AB的距離 <1， ∴x＋y<4.　① 又3x0＋2y0－4＝0， ∴y0＝2－x0， 代入①得x＋2<4， 解得00，－0，得b2<2＋2k2.① 由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.② 由k1k2＝＝＝3， 得(kx1＋b)(kx2＋b)＝3x1x2， 即(k2－3)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2＝0.③ 將②代入③，整理得b2＝3－k2.④ 由④得b2＝3－k2≥0，解得－≤k≤.⑤ 由①和④，解得k<－或k>.⑥ 要使k1，k2，k有意義，則x1≠0，x2≠0， 所以0不是方程(*)的根， 所以b2－2≠0，即k≠1且k≠－1.⑦ 由⑤⑥⑦，得k的取值范圍為 [－，－1)∪∪∪(1， ]．