2018高中數學 初高中銜接讀本 專題2.2 根與系數的關系韋達定理）精講深剖學案.doc

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第2講 根與系數的關系（韋達定理） 現(xiàn)行初中數學教材主要要求學生掌握一元二次方程的概念、解法及應用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數的關系，在高中教材中的二次函數、不等式及解析幾何等章節(jié)有著重要應用．本專題將對一元二次方程根的判別式、根與系數的關系等進行講述。 【知識梳理】 一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理） 一元二次方程的兩個根為： 所以：， 定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么： 說明：一元二次方程根與系數的關系由十六世紀的法國數學家韋達發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達定理”．上述定理成立的前提是． 【典例解析】1.已知方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值． 【分析】由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根．但由于我們學習了韋達定理，又可以利用韋達定理來解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數和常數項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值． 【解析】解法一： ∵2是方程的一個根， ∴522＋k2－6＝0， ∴k＝－7． 所以，方程就為5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－． 所以，方程的另一個根為－，k的值為－7． 解法二：設方程的另一個根為x1，則 2x1＝－， ∴x1＝－．由 （－）＋2＝－，得k＝－7． 所以，方程的另一個根為－，k的值為－7． 【解題反思】本題兩種解法進行比較，解法一將已知的根代入方程求解出k的值，再求另一個根；而解法二直接運用韋達定理，建立二元一次方程求解更加高效。 2. 若x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根． （1）求的值； （2）求的值； （3）x13＋x23． 【解析】∵x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根， ∴，． （1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝＝＋6＝， ∴| x1－x2|＝． （2）． （3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2] ＝(－)[(－)2－3()]＝－． 【解題反思】為了解題簡便，我們探討出一般規(guī)律： 設分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根，則運用根與系數的關系以下變形需掌握； ① ② ③ ④；或 【變式訓練】 1.若是方程的兩個根，試求下列各式的值； （1）； （2）； （3）； （4）； 【分析】本題若運用求根公式先求解，運算量太大，借助韋達定理是一條更加高效的解題思路； 【點評】掌握韋達定理的常見變形可幫助我們提升解題速度。 2.已知關于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有兩個實數根，并且這兩個實數根的平方和比兩個根的積 大21，求m的值． 【分析】本題可以利用韋達定理，由實數根的平方和比兩個根的積大21得到關于m的方程，從而解得m的值．但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數根，因此，其根的判別式應大于零． 【解析】設x1，x2是方程的兩根，由韋達定理，得； x1＋x2＝－2(m－2)，x1x2＝m2＋4． ∵x12＋x22－x1x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3 x1x2＝21， 即 [－2(m－2)] 2－3(m2＋4)＝21， 化簡，得 m2－16m－17＝0， 解得； m＝－1，或m＝17． 當m＝－1時，方程為x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，滿足題意； 當m＝17時，方程為x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－41293＜0，不合題意，舍去． 綜上，m＝17． 【點評】（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數根所對應的m的范圍，然后再由“兩個實數根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可． （2）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達定理解題時，還要考慮到根的判別式Δ是否大于或大于零．因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數根． 3.已知兩個數的和為4，積為－12，求這兩個數． 【分析】我們可以設出這兩個數分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個數．也可以利用韋達定理轉化出一元二次方程來求解． 解法二：由韋達定理可知，這兩個數是方程；x2－4x－12＝0的兩個根． 解這個方程，得；x1＝－2，x2＝6． 所以，這兩個數是－2和6． 【點評】從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達定理來解題）要比解法一簡捷．