2018-2019學年高中數學 第三章 變化率與導數 3.3 計算導數作業(yè)1 北師大版選修1 -1.doc

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3.3 計算導數 [基礎達標] 1.已知函數f(x)＝，則f′(2)＝(　　) A．4 B. C．－4 D．－ 解析：選D.f(x)＝x－2，f′(x)＝－2x－3，f′(2)＝－22－3＝－2－2＝－. 2.已知函數f(x)＝cos x，f′(x)＝－1，則x＝(　　) A. B．－ C.＋2kπ，k∈Z D．－＋2kπ，k∈Z 解析：選C.f′(x)＝－sin x，則sin x＝1， ∴x＝＋2kπ，k∈Z. 曲線y＝xn(n∈N＋)在x＝2處的導數為12，則n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C.∵y′＝nxn－1，∴函數y＝xn(x∈N＋)在x＝2處的導數為n2n－1＝12，∴n＝3. 已知f(x)＝ln x，則f(1)＋f′(1)＝(　　) A．1 B．－2 C．0 D．2 解析：選A.f(1)＝ln 1＝0，f′(x)＝，f′(1)＝1， ∴f(1)＋f′(1)＝0＋1＝1. 若對任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，則f(x)＝(　　) A．x4 B．x4－2 C．4x3－5 D．x4＋2 解析：選B.設f(x)＝xn＋c，則f′(x)＝nxn－1＝4x3，∴n＝4，∴f(1)＝1＋c＝－1，∴c＝－2，故f(x)＝x4－2. 設正弦曲線y＝cos x上一點P，以點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是________． 解析：kl＝(cos x)′＝－sin x∈[－1，1]，又傾斜角范圍是[0，π)，∴傾斜角范圍是[0，]∪[，π)． 答案：[0，]∪[，π) 若指數函數f(x)＝ax(a＞0，a≠1)滿足f′(1)＝ln 27，則f′(－1)＝________． 解析：f′(x)＝axln a，f′(1)＝aln a＝3ln 3，∴a＝3，故f′(－1)＝3－1ln 3＝. 答案： 8.已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，則x＝________． 解析：f′(x)＝2x，g′(x)＝，由題意2x－＝1，即2x2－x－1＝0，∴x＝1或x＝－(舍)． 答案：1 9.求曲線y＝與拋物線y＝的交點坐標，并分別求在交點處的兩曲線的切線的斜率． 解：由，得＝，∴x3＝1， ∴x＝1，∴y＝1，∴兩曲線的交點坐標為(1，1)． 由y＝，得y′＝(x－1)′＝－x－2， ∴該曲線在點(1，1)處的切線的斜率k1＝y(tǒng)′|x＝1＝－1. 又由y＝，得y′＝(x)′＝x－， ∴該曲線在點(1，1)處的切線的斜率k2＝y(tǒng)′|x＝1＝. 10.若曲線f(x)＝acos x與曲線g(x)＝x2＋bx＋1在交點(0，m)處有公切線，求a－b的值． 解：依題意得：f′(x)＝－asin x， g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)， 即－asin 0＝20＋b，∴b＝0. m＝f(0)＝g(0)＝1，即m＝a＝1，因此a－b＝1. [能力提升] 設f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，則f2 014(x)等于(　　) A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x 解析：選B.f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)＝cos x， f2(x)＝f′1(x)＝－sin x，f3(x)＝f′2(x)＝－cos x. f4(x)＝f′3(x)＝sin x. ∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x. 2.設函數f(x)＝D是由x軸和曲線y＝f(x)及該曲線在點(1，0)處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則z＝x－2y在D上的最大值為________． 解析：f(x)在(1，0)處的切線方程為y＝x－1，如圖，可行域為陰影部分，易求出目標函數z＝x－2y的最優(yōu)解(0，－1)，即z的最大值為2. 答案：2 3.已知直線x－2y－4＝0與拋物線y2＝x相交于A、B兩點，O是坐標原點，試在拋物線的弧上求一點P，使△ABP的面積最大． 解： 設P(x0，y0)，過點P與AB平行的直線為l，如圖．由于直線x－2y－4＝0與拋物線y2＝x相交于A、B兩點，所以|AB|為定值，要使△ABP的面積最大，只要P到AB的距離最大，而P點是拋物線的弧上的一點，因此點P是拋物線上平行于直線AB的切線的切點，由圖知點P在x軸上方，y＝，y′＝，由題意知kAB＝. ∴kl＝＝，即x0＝1，∴y0＝1.∴P(1，1)． 4．討論關于x的方程ln x＝kx的解的個數． 解：如圖，方程ln x＝kx的解的個數就是直線y＝kx與曲線y＝ln x的交點的個數． 設直線y＝kx與y＝ln x相切于P(x0，ln x0)，則kx0＝ln x0. ∵(ln x)′＝，∴k＝，kx0＝1＝ln x0. ∴x0＝e，k＝. 結合圖像可知：當k≤0或k＝時，方程ln x＝kx有一解． 當0時，方程ln x＝kx無解．