2018版高中數(shù)學 第二章 概率 2.3.2 事件的獨立性學案 蘇教版選修2-3.doc

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2.3.2　事件的獨立性 學習目標　1.在具體情境中，了解兩個事件相互獨立的概念.2.能利用獨立事件同時發(fā)生的概率公式解決一些簡單的實際問題． 知識點一　事件的獨立性 甲箱里裝有3個白球、2個黑球，乙箱里裝有2個白球，2個黑球．從這兩個箱子里分別摸出1個球，記事件A＝“從甲箱里摸出白球”，事件B＝“從乙箱里摸出白球”． 思考1　事件A發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率嗎？ 　 思考2　P(A)，P(B)，P(AB)的值為多少？ 　 　 思考3　P(AB)與P(A)，P(B)有什么關系？ 　 梳理　事件獨立的定義 一般地，若事件A，B滿足________________，則稱事件A，B獨立． 知識點二　事件獨立的性質(zhì) 思考1　若A，B獨立，P(AB)與P(A)P(B)相等嗎？ 　 思考2　若A，B獨立，那么A與，與B，與相互獨立嗎？ 　 梳理　事件獨立的性質(zhì)及P(AB)的計算公式 性質(zhì) (1)若A，B獨立，且P(A)＞0，則B，A也獨立，即A與B____________. (2)約定任何事件與必然事件獨立，任何事件與不可能事件獨立，則兩個事件A，B相互獨立的充要條件是____________________ 概率計算公式 (1)若事件A與B相互獨立，則A與B同時發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率之積，即P(AB)＝P(A)P(B)． (2)推廣：若事件A1，A2，…，An相互獨立，則這n個事件同時發(fā)生的概率P(A1A2…An)＝__________________________ 結論 如果事件A與B相互獨立，那么______與______，______與______，______與______也都相互獨立 類型一　事件獨立性的判斷 例1　分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設事件A是“第一枚為正面”，事件B是“第二枚為正面”，事件C是“兩枚結果相同”，則下列事件具有相互獨立性的有________．(填序號) ①A，B；②A，C；③B，C. 反思與感悟　三種方法判斷兩事件是否具有獨立性 (1)定義法：直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響． (2)公式法：檢驗P(AB)＝P(A)P(B)是否成立． (3)條件概率法：當P(A)>0時，可用P(B|A)＝P(B)判斷． 跟蹤訓練1　一個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一個家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一個家庭中最多有一個女孩}．對下列兩種情形，討論A與B的獨立性： (1)家庭中有兩個小孩； (2)家庭中有三個小孩． 　 　 　 　 　 類型二　求相互獨立事件的概率 引申探究 1．在本例條件下，求恰有一列火車正點到達的概率． 2．若一列火車正點到達計10分，用ξ表示三列火車的總得分，求P(ξ≤20)．例2　小王某天乘火車從重慶到上海去辦事，若當天從重慶到上海的三列火車正點到達的概率分別為0.8,0.7，0.9，假設這三列火車是否正點到達互不影響．求： (1)這三列火車恰好有兩列正點到達的概率； (2)這三列火車至少有一列正點到達的概率． 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰好有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義． 一般地，已知兩個事件A，B，它們的概率分別為P(A)，P(B)，那么： (1)A，B中至少有一個發(fā)生為事件A＋B. (2)A，B都發(fā)生為事件AB. (3)A，B都不發(fā)生為事件 . (4)A，B恰有一個發(fā)生為事件A＋B. (5)A，B中至多有一個發(fā)生為事件A＋B＋ . 跟蹤訓練2　甲、乙兩人破譯一密碼，他們能破譯的概率分別為和，求兩人破譯時，以下事件發(fā)生的概率： (1)兩人都能破譯的概率； (2)恰有一人能破譯的概率； (3)至多有一人能破譯的概率． 　 　 　 　 　 　 　 類型三　相互獨立事件的綜合應用 例3　在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾要彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手． (1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率； (2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的概率分布． 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　概率問題中的數(shù)學思想 (1)正難則反：靈活應用對立事件的概率關系(P(A)＋P()＝1)簡化問題，是求解概率問題最常用的方法． (2)化繁為簡：將復雜事件的概率轉化為簡單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關系．“所求事件”分幾類(考慮加法公式，轉化為互斥事件)還是分幾步組成(考慮乘法公式，轉化為相互獨立事件)． (3)方程思想：利用有關的概率公式和問題中的數(shù)量關系，建立方程(組)，通過解方程(組)使問題獲解． 跟蹤訓練3　甲、乙、丙三臺機床各自獨立加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為. (1)分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率； (2)從甲、乙、丙三臺機床加工的零件中各取一個進行檢驗，求至少有一個一等品的概率． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1．甲、乙兩水文站同時做水文預報，若甲站、乙站各自預報準確的概率分別為0.8和0.7，那么在一次預報中，甲、乙預報都準確的概率為________． 2．打靶時，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時射擊，則他們同時中靶的概率是________________________________________________________________________． 3．甲袋中有8個白球，4個紅球；乙袋中有6個白球，6個紅球．從每袋中任取一個球，則取得同色球的概率為________________________________________________________________________． 4．在某道路的A，B，C三處設有交通燈，這三盞燈在1分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這段道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為________________________________________________________________________． 5．甲、乙兩名籃球運動員分別進行一次投籃，如果兩人投中的概率都是0.6，計算： (1)兩人都投中的概率； (2)其中恰有一人投中的概率； (3)至少有1人投中的概率． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1．相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別 相互獨立事件 互斥事件 判斷方法 一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響 兩個事件不可能同時發(fā)生，即AB＝? 概率公式 A與B相互獨立等價于P(AB) ＝P(A)P(B) 若A與B互斥，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立 2.相互獨立事件同時發(fā)生的概率P(AB)＝P(A)P(B)，即兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積． 答案精析 問題導學 知識點一 思考1　不影響． 思考2　P(A)＝，P(B)＝， P(AB)＝＝. 思考3　P(AB)＝P(A)P(B)． 梳理　P(A|B)＝P(A) 知識點二 思考1　相等．因為P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(A)P(B)． 思考2　獨立． 梳理　相互獨立　P(AB)＝P(A)P(B)　P(A1)P(A2)…P(An)　A　　　B　　 題型探究 例1?、佗冖? 解析　利用古典概型概率公式計算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25. 可以驗證P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)． 所以根據(jù)事件相互獨立的定義，事件A與B相互獨立， 事件B與C相互獨立，事件A與C相互獨立． 跟蹤訓練1　解　(1)有兩個小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為 Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 它有4個基本事件，由等可能性知概率都為. 這時A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P(A)＝，P(B)＝， P(AB)＝. 由此可知P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件A，B不相互獨立． (2)有三個小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}． 由等可能性知這8個基本事件的概率均為，這時A中含有6個基本事件，B中含有4個基本事件，AB中含有3個基本事件． 于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝， 顯然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立， 從而事件A與B是相互獨立的． 例2　解　用A，B，C分別表示這三列火車正點到達的事件， 則P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9， 所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1. (1)由題意得A，B，C之間互相獨立，所以恰好有兩列火車正點到達的概率為 P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB) ＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P() ＝0.20.70.9＋0.80.30.9＋0.80.70.1 ＝0.398. (2)三列火車至少有一列正點到達的概率為 P2＝1－P( ) ＝1－P()P()P() ＝1－0.20.30.1＝0.994. 引申探究 1．解　恰有一列火車正點到達的概率為 P3＝P(A )＋P(B)＋P( C) ＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C) ＝0.80.30.1＋0.20.70.1＋0.20.30.9 ＝0.092. 2．解　事件“ξ≤20”表示“至多兩列火車正點到達”，其對立事件為“三列火車都正點到達”， 所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C) ＝1－0.80.70.9＝0.496. 跟蹤訓練2　解　記事件A為“甲獨立地破譯出密碼”，事件B為“乙獨立地破譯出密碼”． (1)兩個人都破譯出密碼的概率為 P(AB)＝P(A)P(B)＝＝. (2)恰有一人破譯出密碼分為兩類：甲破譯出乙破譯不出，乙破譯出甲破譯不出，即A＋B， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝＋ ＝. (3)至多有一人破譯出密碼的對立事件是兩人都破譯出密碼， ∴其概率為1－P(AB)＝1－＝. 例3　解　(1)設A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號歌手”， 則P(A)＝＝，P(B)＝＝. 因為事件A與B相互獨立， 所以觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝＝. (2)設C表示事件“觀眾丙選中3號歌手”， 則P(C)＝＝， 因為X可能的取值為0,1,2,3，且取這些值的概率分別為P(X＝0)＝P( )＝＝， P(X＝1)＝P(A )＋P(B)＋P( C) ＝＋＋＝＝， P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC) ＝＋＋＝， P(X＝3)＝P(ABC)＝ ＝. 所以X的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P 跟蹤訓練3　解　(1)設A，B，C分別為甲，乙，丙三臺機床各自加工的零件是一等品的事件． 由題意得 即 由①③得P(B)＝1－P(C)， 代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0， 解得P(C)＝或P(C)＝(舍去)． 將P(C)＝代入②，得P(B)＝， 將P(B)＝代入①，得P(A)＝. 故甲，乙，丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率分別是，，. (2)記D為從甲、乙、丙三臺機床加工的零件中各取一個進行檢驗，其中至少有一個一等品的事件， 則P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－＝. 故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個進行檢驗，至少有一個一等品的概率為. 當堂訓練 1．0.56　2.　3.　4. 5．解　(1)設A表示事件“甲投籃一次并且投中”，B表示事件“乙投籃一次并且投中”，則AB表示事件“兩人各投籃一次并且都投中”．由題意可知，事件A與事件B相互獨立，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.60.6＝0.36. (2)事件“兩人各投籃一次，恰好有一人投中”包括兩種情況：一種是甲投中，乙未投中(事件A發(fā)生)；另一種是甲未投中，乙投中(事件B發(fā)生)．根據(jù)題意得這兩種情況不可能同時發(fā)生，即事件A與B互斥，并且事件A與，與B相互獨立，故所求概率為 P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B) ＝0.6(1－0.6)＋(1－0.6)0.6 ＝0.48. (3)事件“兩人各投籃一次，至少有一人投中”的對立事件為“兩人各投籃一次，均未投中”，它的概率是P( )＝P()P()＝(1－0.6)(1－0.6)＝0.16. ∴至少有一人投中的概率為1－P( )＝1－0.16＝0.84.