2019年高考數(shù)學(xué) 考點分析與突破性講練 專題21 不等式及解法 理.doc

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專題21 不等式及解法 一、 考綱要求： 1.了解現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實際背景. 2.會從實際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型. 3.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系. 4.會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的程序框圖． 二、概念掌握及解題上的注意點： 1.比較兩個數(shù)(式)大小的兩種方法 2．與充要條件相結(jié)合問題．用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用． 3．與命題真假判斷相結(jié)合問題．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法． 4.解一元二次不等式的一般方法和步驟 ( 1))化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式. ( 2))判：計算對應(yīng)方程的判別式，根據(jù)判別式判斷方程有沒有實根(無實根時，不等式解集為R或?). ( 3))求：求出對應(yīng)的一元二次方程的根. (4))寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集. 5.解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟： (1))二次項中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項系數(shù)為正的形式. (2))判斷方程的根的個數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系. (3))確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式. 三、高考考題題例分析： 例1.(2017山東卷)若，且，則下列不等式成立的是 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 例2.(2017天津卷)已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】不等式為(*)， 當(dāng)時，(*)式即為，， 又（時取等號）， （時取等號）， 所以， 當(dāng)時，(*)式為，， 又（當(dāng)時取等號）， （當(dāng)時取等號）， 所以， 綜上．故選A． 例3.(2016高考新課標(biāo)1)若,則( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】：用特殊值法,令,,得,選項A錯誤,,選項B錯誤,,選項C正確,,選項D錯誤,故選C． 例4.(2015高考山東卷)不等式的解集是（ ） （A）（-∞，4） （B）（-∞，1） （C）（1，4） （D）（1，5） 【答案】A 例5.(2015高考江蘇卷)不等式的解集為________. 【答案】（-1,2） 【解析】由題意得：，解集為（-1,2） 例6．（2018課標(biāo)卷III）設(shè)a=log0.20.3，b=log20.3，則（　?。? A．a(chǎn)+b＜ab＜0 B．a(chǎn)b＜a+b＜0 C．a(chǎn)+b＜0＜ab D．a(chǎn)b＜0＜a+b 【答案】B 【解析】：∵a=log0.20.3=，b=log20.3=， ∴=， ， ∵，， ∴ab＜a+b＜0． 故選：B． 例7.（2018天津卷）已知a=log2e，b=ln2，c=log，則a，b，c的大小關(guān)系為（　?。? A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【答案】D 不等式及解法練習(xí) 一、 選擇題 1．已知a，b是實數(shù)，則“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的 (　　) A．充分不必要條件　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】　?又當(dāng)ab＞0時，a與b同號，結(jié)合a＋b＞0知a＞0且b＞0，故“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的充要條件． 2．若a，b∈R，且a>b，則下列不等式恒成立的是 (　　) A．a(chǎn)2>b2 B．>1 C．2a>2b D．lg(a－b)>0 【答案】C 【解析】　取a＝－1，b＝－2， 排除A，B，D．故選C． 3．已知集合A＝，B＝{0,1,2,3}，則A∩B＝ (　　) A．{1,2}　　　　　　 B．{0,1,2} C．{1} D．{1,2,3} 【答案】A　 【解析】∵A＝＝{x|0＜x≤2}， ∴A∩B＝{1,2}，故選A． 4．已知x，y∈R，那么“x＞y”的充要條件是 (　　) A．2x＞2y B．lg x＞lg y C．＞ D．x2＞y2 【答案】A　 5．關(guān)于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是 (　　) A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 【答案】C 【解析】關(guān)于x的不等式ax－b＜0即ax＜b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b＜0， ∴不等式(ax＋b)(x－3)＞0可化為 (x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3， ∴所求不等式的解集是(－1,3)．故選C． 6.設(shè)a，b均為實數(shù)，則“a＞|b|”是“a3＞b3”的 (　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】a＞|b|能推出a＞b，進而得a3＞b3；當(dāng)a3＞b3時，有a＞b，但若b＜a＜0，則a＞|b|不成立，所以“a＞|b|”是“a3＞b3”的充分不必要條件，故選A． 7.已知m∈R，a＞b＞1，f(x)＝，則f(a)與f(b)的大小關(guān)系是 (　　) A．f(a)＞f(b) B．f(a)＜f(b) C．f(a)≤f(b) D．不確定 【答案】　C 【解析】∵f(a)＝，f(b)＝， ∴f(a)－f(b)＝－＝m2 ＝m2＝m2， 當(dāng)m＝0時，f(a)＝f(b)； 當(dāng)m≠0時，m2＞0， 又a＞b＞1，∴f(a)＜f(b)． 綜上，f(a)≤f(b)． 8已知實數(shù)a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．c≥b＞a　　　 B．a(chǎn)＞c≥b C．c＞b＞a D．a(chǎn)＞c＞b 【答案】A　 9．已知0＜a＜b，且a＋b＝1，則下列不等式中正確的是 (　　) A．log2a＞0 B．2a－b＜ C．log2a＋log2b＜－2 D．2＋＜ 【答案】C　 【解析】由題意知0＜a＜1，此時log2a＜0，A錯誤；由已知得0＜a＜1,0＜b＜1，所以－1＜－b＜0，又a＜b，所以－1＜a－b＜0，所以＜2a－b＜1，B錯誤；因為0＜a＜b，所以＋＞2＝2，所以2＞22＝4，D錯誤；由a＋b＝1＞2，得ab＜，因此log2a＋log2b＝log2(ab)＜log2＝－2，C正確． 10．若集合A＝＝?，則實數(shù)a的值的集合是 (　　) A．{a|00在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是 (　　) A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞) C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6) 【答案】A 12.已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，對任意實數(shù)x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若當(dāng)x∈[－1,1]時，f(x)＞0恒成立，則b的取值范圍是(　　) A．(－1,0) B．(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．不能確定 【答案】C　 【解析】由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，即＝1，解得a＝2. 又因為f(x)開口向下， 所以當(dāng)x∈[－1,1]時，f(x)為增函數(shù)， 所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， f(x)＞0恒成立， 即b2－b－2＞0恒成立， 解得b＜－1或b＞2. 二、填空題 13．已知a，b為實數(shù)，且a≠b，a＜0，則a________2b－.(填“＞”“＜”或“＝”) 【答案】＜　 【解析】∵a≠b，a＜0，∴a－＝＜0，∴a＜2b－. 14．若0＜a＜1，則不等式(a－x)＞0的解集是________. 【答案】　 【解析】原不等式可化為(x－a)＜0， 由0＜a＜1得a＜，∴a＜x＜. 15．在R上定義運算：＝ad－bc.若不等式≥1對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的最大值為__________． 【答案】　 16．不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)對于任意的a，b∈R恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為________. 【答案】[－8,4]　 【解析】因為a2＋8b2≥λb(a＋b)對于任意的a，b∈R恒成立， 所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0對于任意的a，b∈R恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立， 由二次不等式的性質(zhì)可得， Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 三、解答題 17.解下列不等式： (1)3＋2x－x2≥0； (2)x2－(a＋1)x＋a<0. 【答案】(1) {x|－1≤x≤3}． 【解析】　(1)原不等式化為x2－2x－3≤0， 即(x－3)(x＋1)≤0， 故所求不等式的解集為{x|－1≤x≤3}． (2)原不等式可化為(x－a)(x－1)<0， 當(dāng)a>1時，原不等式的解集為(1，a)； 當(dāng)a＝1時，原不等式的解集為?； 當(dāng)a<1時，原不等式的解集為(a,1)． 18．若不等式ax2＋5x－2＞0的解集是. (1)求實數(shù)a的值； (2)求不等式ax2－5x＋a2－1＞0的解集． 【答案】(1) a＝－2. (2) 19．已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在實數(shù)m對所有的實數(shù)x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由. 【答案】不存在 【解析】　要使不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立，即函數(shù)f(x)＝mx2－2x－m＋1的圖象全部在x軸下方． 當(dāng)m＝0時，1－2x＜0，則x＞，不滿足題意； 當(dāng)m≠0時，函數(shù)f(x)＝mx2－2x－m＋1為二次函數(shù)， 需滿足開口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0無解，即 不等式組的解集為空集，即m無解． 綜上可知不存在這樣的實數(shù)m使不等式恒成立． 20.設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍． 【答案】 【解析】　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立． 有以下兩種方法： 法一：令g(x)＝m＋m－6，x∈[1,3]． 當(dāng)m>0時，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)， 所以g(x)max＝g(3)?7m－6<0， 所以m<，所以00)的最小值； (2)對于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，試求a的取值范圍． 【答案】(1) －2. (2) 【解析】　(1)依題意得y＝＝＝x＋－4. 因為x>0，所以x＋≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝時，即x＝1時，等號成立，所以y≥－2. 所以當(dāng)x＝1時，y＝的最小值為－2. (2)因為f(x)－a＝x2－2ax－1， 所以要使得“?x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”． 不妨設(shè)g(x)＝x2－2ax－1， 則只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可，所以 即 解得a≥，則a的取值范圍為. 22．已知函數(shù)f(x)＝的定義域為R． (1)求a的取值范圍； (2)若函數(shù)f(x)的最小值為，解關(guān)于x的不等式x2－x－a2－a＜0． 【答案】(1) [0,1] (2)f(x)＝＝， 由題意及(1)可知0＜a≤1， ∴當(dāng)x＝－1時，f(x)min＝， 由題意得，＝， ∴a＝， ∴不等式x2－x－a2－a＜0可化為x2－x－＜0． 解得－＜x＜， ∴不等式的解集為．