2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 3.1 獨(dú)立性檢驗(yàn)學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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3.1 獨(dú)立性檢驗(yàn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解22列聯(lián)表的意義.2.了解統(tǒng)計(jì)量χ2的意義.3.通過對典型案例分析，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法． 知識點(diǎn)一　22列聯(lián)表 思考　山東省教育廳大力推行素質(zhì)教育，增加了高中生的課外活動時(shí)間，某校調(diào)查了學(xué)生的課外活動方式，結(jié)果整理成下表： 體育 文娛 合計(jì) 男生 210 230 440 女生 60 290 350 合計(jì) 270 520 790 如何判定“喜歡體育還是文娛與性別是否有聯(lián)系”？ 　 　 梳理　(1)22列聯(lián)表的定義 對于兩個(gè)研究對象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值，即類A和類B；Ⅱ也有兩類取值，即類1和類2.我們得到如下列聯(lián)表所示的抽樣數(shù)據(jù)： Ⅱ 類1 類2 合計(jì) Ⅰ 類A a b 類B c d 合計(jì) a＋b＋c＋d (2)χ2統(tǒng)計(jì)量的求法 公式χ2＝. 知識點(diǎn)二　獨(dú)立性檢驗(yàn) 獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念 用χ2統(tǒng)計(jì)量研究兩變量是否有關(guān)的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)． 知識點(diǎn)三　獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟 1．獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟 要判斷“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，可按下面的步驟進(jìn)行： (1)提出假設(shè)H0：__________________； (2)根據(jù)22列聯(lián)表及χ2公式，計(jì)算________的值； (3)查對臨界值，作出判斷． 其中臨界值如表所示： P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 表示在H0成立的情況下，事件“_____________________________________”發(fā)生的概率． 2．推斷依據(jù) (1)若χ2＞10.828，則有99.9%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”． (2)若χ2＞6.635，那么有99%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”． (3)若χ2＞2.706，那么有90%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”． (4)若χ2≤2.706，那么就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，但也不能作出結(jié)論“H0成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系． 類型一　22列聯(lián)表 例1　在一項(xiàng)有關(guān)醫(yī)療保健的社會調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)調(diào)查的男性為530人，女性為670人，其中男性中喜歡吃甜食的為117人，女性中喜歡吃甜食的為492人，請作出性別與喜歡吃甜食的列聯(lián)表． 　 　 　 反思與感悟　分清類別是列聯(lián)表的作表關(guān)鍵步驟．表中排成兩行兩列的數(shù)據(jù)是調(diào)查得來的結(jié)果． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)下面是22列聯(lián)表： y1 y2 合計(jì) x1 a 21 73 x2 2 25 27 合計(jì) b 46 100 則表中a，b的值分別為________，________. (2)某學(xué)校對高三學(xué)生作一項(xiàng)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的426名學(xué)生中有332名在考前心情緊張，性格外向的594名學(xué)生中有213名在考前心情緊張．作出22列聯(lián)表． 　 　 　 　 　 　 類型二　由χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn) 例2　對196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行3年的跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示． 又發(fā)作心臟病過 未發(fā)作過心臟病 合計(jì) 心臟搭橋手術(shù) 39 157 196 血管清障手術(shù) 29 167 196 合計(jì) 68 324 392 試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作過心臟病的影響有沒有差別． 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)注點(diǎn) 在22列聯(lián)表中，如果兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，關(guān)系越強(qiáng)． 跟蹤訓(xùn)練2　某省進(jìn)行高中新課程改革已經(jīng)四年了，為了解教師對新課程教學(xué)模式的使用情況，某一教育機(jī)構(gòu)對某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人．老教師對新課程教學(xué)模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學(xué)模式贊同的有24人，不贊同的有6人． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)22列聯(lián)表； (2)判斷是否有99%的把握說明對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡有關(guān)系． 　 　 　 　 　 類型三　獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用 例3　電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖如圖． 將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”． (1)根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表，并據(jù)此資料推斷“體育迷”與性別是否有關(guān)？ 非體育迷 體育迷 合計(jì) 男 女 10 55 合計(jì) (2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的概率分布，均值E(X)和方差V(X)． 附：χ2＝. P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.01 x0 2.706 3.841 6.635 　 　 　 　 　 反思與感悟　獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟 第一步，假設(shè)兩個(gè)分類變量X與Y無關(guān)系；第二步，找相關(guān)數(shù)據(jù)，列出22列聯(lián)表；第三步，由公式χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)計(jì)算出χ2的值；第四步，將χ2的值與臨界值進(jìn)行比較，進(jìn)而作出統(tǒng)計(jì)推斷．這些臨界值，在高考題中常會附在題后，應(yīng)適時(shí)采用． 跟蹤訓(xùn)練3　某地區(qū)甲校高二年級有1 100人，乙校高二年級有900人，為了統(tǒng)計(jì)兩個(gè)學(xué)校高二年級在學(xué)業(yè)水平考試中的數(shù)學(xué)學(xué)科成績，采用分層抽樣的方法在兩校共抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，如下表：(已知本次測試合格線是50分，兩校合格率均為100%) 甲校高二年級數(shù)學(xué)成績： 分組 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 頻數(shù) 10 25 35 30 x 乙校高二年級數(shù)學(xué)成績： 分組 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 頻數(shù) 15 30 25 y 5 (1)計(jì)算x，y的值，并分別估計(jì)以上兩所學(xué)校數(shù)學(xué)成績的平均分；(精確到1分) (2)若數(shù)學(xué)成績不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面22列聯(lián)表，并回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異”？ 甲校 乙校 總計(jì) 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) 　 　 　 　 1．在一項(xiàng)打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1 671人，經(jīng)過計(jì)算χ2＝27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認(rèn)為打鼾與患心臟病是________的．(填有關(guān)，無關(guān)) 2．為了考察長頭發(fā)與女性頭暈是否有關(guān)系，隨機(jī)抽查301名女性，得到如下所示的列聯(lián)表，試根據(jù)表格中已有數(shù)據(jù)填空． 經(jīng)常頭暈 很少頭暈 合計(jì) 長發(fā) 35 ① 121 短發(fā) 37 143 ② 合計(jì) 72 ③ ④ 則空格中的數(shù)據(jù)分別為：①________；②________；③________；④________. 3．在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中，下列說法正確的是________．(填序號) ①若χ2＞6.635，我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺??； ②從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺??； ③若從χ2與臨界值的比較中得出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤． 4．某科研機(jī)構(gòu)為了研究中年人禿發(fā)與心臟病是否有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如表： 心臟病 無心臟病 禿發(fā) 20 300 不禿發(fā) 5 450 根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2＝≈15.968，因?yàn)棣?>6.635，則斷定禿發(fā)與心臟病有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為________． 5．根據(jù)下表計(jì)算： 不看電視 看電視 男 37 85 女 35 143 χ2≈________.(保留3位小數(shù)) 1．列聯(lián)表 列聯(lián)表由兩個(gè)分類變量之間頻率大小差異說明這兩個(gè)變量之間是否有相關(guān)關(guān)系． 2．對獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的理解 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法．先假設(shè)“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”成立，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量χ2的值，如果χ2的值很大，說明假設(shè)不合理．χ2越大，兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大． 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識點(diǎn)一 思考　可通過表格與圖形進(jìn)行直觀分析，也可通過統(tǒng)計(jì)分析定量判斷． 梳理　(1)a＋b　c＋d　a＋c　b＋d 知識點(diǎn)三 1．(1)Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系　(2)χ2　(3)χ2≥x0 題型探究 例1　解　作列聯(lián)表如下： 喜歡甜食 不喜歡甜食 合計(jì) 男 117 413 530 女 492 178 670 合計(jì) 609 591 1 200 跟蹤訓(xùn)練1　(1)52　54 解析　∵a＋21＝73，∴a＝52. 又∵a＋2＝b，∴b＝54. (2)解　作列聯(lián)表如下： 性格內(nèi)向 性格外向 合計(jì) 考前心情緊張 332 213 545 考前心情不緊張 94 381 475 合計(jì) 426 594 1 020 例2　解　假設(shè)病人又發(fā)作過心臟病與做過心臟搭橋手術(shù)還是血管清障手術(shù)沒有關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)得a＝39，b＝157，c＝29，d＝167，a＋b＝196，c＋d＝196，a＋c＝68，b＋d＝324，n＝392， 由公式得 χ2＝ ≈1.779. 因?yàn)棣?≈1.779<2.706，所以不能得出病人又發(fā)作過心臟病與做過心臟搭橋手術(shù)還是血管清障手術(shù)有關(guān)系的結(jié)論，即這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作過心臟病的影響沒有差別． 跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)22列聯(lián)表如下所示： 贊同 不贊同 總計(jì) 老教師 10 10 20 青年教師 24 6 30 總計(jì) 34 16 50 (2)假設(shè)“對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無關(guān)”． 由公式得χ2＝ ≈4.963<6.635， 所以沒有99%的把握認(rèn)為對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡有關(guān)． 例3　解　(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而22列聯(lián)表如下： 非體育迷 體育迷 合計(jì) 男 30 15 45 女 45 10 55 合計(jì) 75 25 100 將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算， 得χ2＝＝ ≈3.030. 因?yàn)?.706<3.030<3.841，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)． (2)由頻率分布直方圖知，抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為. 由題意知，X～B(3，)，從而X的概率分布為 X 0 1 2 3 P 故E(X)＝np＝3＝， V(X)＝np(1－p)＝3＝. 跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)依題意知，甲校應(yīng)抽取110人，乙校應(yīng)抽取90人， ∴x＝10，y＝15， 估計(jì)兩個(gè)學(xué)校的平均分，甲校的平均分為 ≈75. 乙校的平均分為 ≈71. (2)數(shù)學(xué)成績不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，得到22列聯(lián)表如下： 甲校 乙校 總計(jì) 優(yōu)秀 40 20 60 非優(yōu)秀 70 70 140 總計(jì) 110 90 200 χ2＝≈4.714， 又4.714>3.841，故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異”． 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．有關(guān)　2.86　180　229　301　3.③ 4．0.01　5.4.514