2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計案例 3.1 獨立性檢驗學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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3.1 獨立性檢驗 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解22列聯(lián)表的意義.2.了解統(tǒng)計量χ2的意義.3.通過對典型案例分析，了解獨立性檢驗的基本思想和方法． 知識點一　22列聯(lián)表 思考　山東省教育廳大力推行素質(zhì)教育，增加了高中生的課外活動時間，某校調(diào)查了學(xué)生的課外活動方式，結(jié)果整理成下表： 體育 文娛 合計 男生 210 230 440 女生 60 290 350 合計 270 520 790 如何判定“喜歡體育還是文娛與性別是否有聯(lián)系”？ 　 　 梳理　(1)22列聯(lián)表的定義 對于兩個研究對象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值，即類A和類B；Ⅱ也有兩類取值，即類1和類2.我們得到如下列聯(lián)表所示的抽樣數(shù)據(jù)： Ⅱ 類1 類2 合計 Ⅰ 類A a b 類B c d 合計 a＋b＋c＋d (2)χ2統(tǒng)計量的求法 公式χ2＝. 知識點二　獨立性檢驗 獨立性檢驗的概念 用χ2統(tǒng)計量研究兩變量是否有關(guān)的方法稱為獨立性檢驗． 知識點三　獨立性檢驗的步驟 1．獨立性檢驗的步驟 要判斷“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，可按下面的步驟進(jìn)行： (1)提出假設(shè)H0：__________________； (2)根據(jù)22列聯(lián)表及χ2公式，計算________的值； (3)查對臨界值，作出判斷． 其中臨界值如表所示： P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 表示在H0成立的情況下，事件“_____________________________________”發(fā)生的概率． 2．推斷依據(jù) (1)若χ2＞10.828，則有99.9%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”． (2)若χ2＞6.635，那么有99%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”． (3)若χ2＞2.706，那么有90%的把握認(rèn)為“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”． (4)若χ2≤2.706，那么就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，但也不能作出結(jié)論“H0成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系． 類型一　22列聯(lián)表 例1　在一項有關(guān)醫(yī)療保健的社會調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)調(diào)查的男性為530人，女性為670人，其中男性中喜歡吃甜食的為117人，女性中喜歡吃甜食的為492人，請作出性別與喜歡吃甜食的列聯(lián)表． 　 　 　 反思與感悟　分清類別是列聯(lián)表的作表關(guān)鍵步驟．表中排成兩行兩列的數(shù)據(jù)是調(diào)查得來的結(jié)果． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)下面是22列聯(lián)表： y1 y2 合計 x1 a 21 73 x2 2 25 27 合計 b 46 100 則表中a，b的值分別為________，________. (2)某學(xué)校對高三學(xué)生作一項調(diào)查后發(fā)現(xiàn)：在平時的模擬考試中，性格內(nèi)向的426名學(xué)生中有332名在考前心情緊張，性格外向的594名學(xué)生中有213名在考前心情緊張．作出22列聯(lián)表． 　 　 　 　 　 　 類型二　由χ2進(jìn)行獨立性檢驗 例2　對196個接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行3年的跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示． 又發(fā)作心臟病過 未發(fā)作過心臟病 合計 心臟搭橋手術(shù) 39 157 196 血管清障手術(shù) 29 167 196 合計 68 324 392 試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作過心臟病的影響有沒有差別． 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　獨立性檢驗的關(guān)注點 在22列聯(lián)表中，如果兩個分類變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，關(guān)系越強． 跟蹤訓(xùn)練2　某省進(jìn)行高中新課程改革已經(jīng)四年了，為了解教師對新課程教學(xué)模式的使用情況，某一教育機構(gòu)對某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人．老教師對新課程教學(xué)模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學(xué)模式贊同的有24人，不贊同的有6人． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個22列聯(lián)表； (2)判斷是否有99%的把握說明對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡有關(guān)系． 　 　 　 　 　 類型三　獨立性檢驗的綜合應(yīng)用 例3　電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖如圖． 將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”． (1)根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表，并據(jù)此資料推斷“體育迷”與性別是否有關(guān)？ 非體育迷 體育迷 合計 男 女 10 55 合計 (2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的概率分布，均值E(X)和方差V(X)． 附：χ2＝. P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.01 x0 2.706 3.841 6.635 　 　 　 　 　 反思與感悟　獨立性檢驗的步驟 第一步，假設(shè)兩個分類變量X與Y無關(guān)系；第二步，找相關(guān)數(shù)據(jù)，列出22列聯(lián)表；第三步，由公式χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)計算出χ2的值；第四步，將χ2的值與臨界值進(jìn)行比較，進(jìn)而作出統(tǒng)計推斷．這些臨界值，在高考題中常會附在題后，應(yīng)適時采用． 跟蹤訓(xùn)練3　某地區(qū)甲校高二年級有1 100人，乙校高二年級有900人，為了統(tǒng)計兩個學(xué)校高二年級在學(xué)業(yè)水平考試中的數(shù)學(xué)學(xué)科成績，采用分層抽樣的方法在兩校共抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，如下表：(已知本次測試合格線是50分，兩校合格率均為100%) 甲校高二年級數(shù)學(xué)成績： 分組 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 頻數(shù) 10 25 35 30 x 乙校高二年級數(shù)學(xué)成績： 分組 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 頻數(shù) 15 30 25 y 5 (1)計算x，y的值，并分別估計以上兩所學(xué)校數(shù)學(xué)成績的平均分；(精確到1分) (2)若數(shù)學(xué)成績不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面22列聯(lián)表，并回答能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異”？ 甲校 乙校 總計 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 　 　 　 　 1．在一項打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1 671人，經(jīng)過計算χ2＝27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認(rèn)為打鼾與患心臟病是________的．(填有關(guān)，無關(guān)) 2．為了考察長頭發(fā)與女性頭暈是否有關(guān)系，隨機抽查301名女性，得到如下所示的列聯(lián)表，試根據(jù)表格中已有數(shù)據(jù)填空． 經(jīng)常頭暈 很少頭暈 合計 長發(fā) 35 ① 121 短發(fā) 37 143 ② 合計 72 ③ ④ 則空格中的數(shù)據(jù)分別為：①________；②________；③________；④________. 3．在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是________．(填序號) ①若χ2＞6.635，我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺?。? ②從獨立性檢驗可知，有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病； ③若從χ2與臨界值的比較中得出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤． 4．某科研機構(gòu)為了研究中年人禿發(fā)與心臟病是否有關(guān)，隨機調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如表： 心臟病 無心臟病 禿發(fā) 20 300 不禿發(fā) 5 450 根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到χ2＝≈15.968，因為χ2>6.635，則斷定禿發(fā)與心臟病有關(guān)系，那么這種判斷出錯的可能性為________． 5．根據(jù)下表計算： 不看電視 看電視 男 37 85 女 35 143 χ2≈________.(保留3位小數(shù)) 1．列聯(lián)表 列聯(lián)表由兩個分類變量之間頻率大小差異說明這兩個變量之間是否有相關(guān)關(guān)系． 2．對獨立性檢驗思想的理解 獨立性檢驗的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法．先假設(shè)“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立，計算統(tǒng)計量χ2的值，如果χ2的值很大，說明假設(shè)不合理．χ2越大，兩個分類變量有關(guān)系的可能性越大． 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識點一 思考　可通過表格與圖形進(jìn)行直觀分析，也可通過統(tǒng)計分析定量判斷． 梳理　(1)a＋b　c＋d　a＋c　b＋d 知識點三 1．(1)Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系　(2)χ2　(3)χ2≥x0 題型探究 例1　解　作列聯(lián)表如下： 喜歡甜食 不喜歡甜食 合計 男 117 413 530 女 492 178 670 合計 609 591 1 200 跟蹤訓(xùn)練1　(1)52　54 解析　∵a＋21＝73，∴a＝52. 又∵a＋2＝b，∴b＝54. (2)解　作列聯(lián)表如下： 性格內(nèi)向 性格外向 合計 考前心情緊張 332 213 545 考前心情不緊張 94 381 475 合計 426 594 1 020 例2　解　假設(shè)病人又發(fā)作過心臟病與做過心臟搭橋手術(shù)還是血管清障手術(shù)沒有關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)得a＝39，b＝157，c＝29，d＝167，a＋b＝196，c＋d＝196，a＋c＝68，b＋d＝324，n＝392， 由公式得 χ2＝ ≈1.779. 因為χ2≈1.779<2.706，所以不能得出病人又發(fā)作過心臟病與做過心臟搭橋手術(shù)還是血管清障手術(shù)有關(guān)系的結(jié)論，即這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作過心臟病的影響沒有差別． 跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)22列聯(lián)表如下所示： 贊同 不贊同 總計 老教師 10 10 20 青年教師 24 6 30 總計 34 16 50 (2)假設(shè)“對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無關(guān)”． 由公式得χ2＝ ≈4.963<6.635， 所以沒有99%的把握認(rèn)為對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡有關(guān)． 例3　解　(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而22列聯(lián)表如下： 非體育迷 體育迷 合計 男 30 15 45 女 45 10 55 合計 75 25 100 將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算， 得χ2＝＝ ≈3.030. 因為2.706<3.030<3.841，所以在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)． (2)由頻率分布直方圖知，抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為. 由題意知，X～B(3，)，從而X的概率分布為 X 0 1 2 3 P 故E(X)＝np＝3＝， V(X)＝np(1－p)＝3＝. 跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)依題意知，甲校應(yīng)抽取110人，乙校應(yīng)抽取90人， ∴x＝10，y＝15， 估計兩個學(xué)校的平均分，甲校的平均分為 ≈75. 乙校的平均分為 ≈71. (2)數(shù)學(xué)成績不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，得到22列聯(lián)表如下： 甲校 乙校 總計 優(yōu)秀 40 20 60 非優(yōu)秀 70 70 140 總計 110 90 200 χ2＝≈4.714， 又4.714>3.841，故能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異”． 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．有關(guān)　2.86　180　229　301　3.③ 4．0.01　5.4.514