2018高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第1-2節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算學(xué)案 理 蘇教版選修2-2.doc

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第1-2節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 一、學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1. 了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)數(shù)的概念。 2. 熟記常函數(shù)C，冪函數(shù)xn（n為有理數(shù)），三角函數(shù)sinx，cosx，指數(shù)函數(shù)ex，ax，對(duì)數(shù)函數(shù)lnx，logax的導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個(gè)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則； 3. 掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 二、重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念、常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 三、考點(diǎn)分析： 1. 導(dǎo)數(shù)既是研究函數(shù)性態(tài)的有力工具，又是進(jìn)行理性思維訓(xùn)練的良好素材。導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義，及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是每年高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一。 2. 考綱要求：理解導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義，能利用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 1. 導(dǎo)數(shù)的概念：設(shè)函數(shù)在處附近有定義，當(dāng)自變量在處有增量時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地有增量，如果當(dāng)時(shí)，趨于常數(shù)A，稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并把A叫做在處的導(dǎo)數(shù)，記作或 2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，也就是說(shuō)，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是。相應(yīng)地，切線方程為。 3. 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算： （1）基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：；；； ；；；；。 （2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則： 設(shè)均可導(dǎo)，則 ；； （C為常數(shù)）； （3）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)，且 知識(shí)點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念 例1 已知函數(shù)在=附近有意義且可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)為，若=2，則趨于（ ） A. 2 B. C. D. 思路分析：本題是導(dǎo)數(shù)概念題，注意自變量的增量為。 解題過(guò)程：原式=，故選D。 解題后反思：對(duì)導(dǎo)數(shù)概念問(wèn)題，注意要準(zhǔn)確地從函數(shù)增量的式子中找出自變量的增量，緊扣函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的概念：函數(shù)增量與自變量增量的比的極限值就是這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)解題，本題中自變量的增量為。 知識(shí)點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的幾何意義 例2 曲線=在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為（ ） A. B. =0 C. =0 D. =0 思路分析：先求函數(shù)在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)即切線斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線方程。 解題過(guò)程：∵==， ∴曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率==， ∴曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為,即，故選B。 解題后反思：對(duì)曲線的切線問(wèn)題，注意利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，注意過(guò)某一點(diǎn)的切線與在某一點(diǎn)的切線的區(qū)別。 例3 求函數(shù)=過(guò)點(diǎn)P（1,）的切線方程。 思路分析：先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線方程，再利用切點(diǎn)既在曲線上又在切線上，列出切點(diǎn)坐標(biāo)的方程，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出切線方程。 解題過(guò)程：設(shè)切點(diǎn)Q（,）,求導(dǎo)得=，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得曲線在點(diǎn)Q（,）處的切線斜率==， ∴曲線在點(diǎn)（1,－１）處的切線方程為：=， 又∵點(diǎn)Q（,）既在切線上，又在函數(shù)圖像上， ∴，解得，或， ∴切線方程為=0或=0。 解題后反思：注意過(guò)某點(diǎn)的切線與在某點(diǎn)的切線的區(qū)別,要掌握過(guò)某點(diǎn)的曲線的切線方程求法。 知識(shí)點(diǎn)三：導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義 例4 設(shè)球的半徑為時(shí)間t的函數(shù)，若球的體積以均勻速度c增長(zhǎng)，則球的表面積的增長(zhǎng)速度與球的半徑 A. 成正比，比例系數(shù)為c B. 成正比，比例系數(shù)為2c C. 成反比，比例系數(shù)為c D. 成反比，比例系數(shù)為2c 思路分析：求出球的表面積的導(dǎo)數(shù)，觀察其與球的半徑的關(guān)系。 解題過(guò)程：由題意可知球的體積為=，則==，由此可得=，而球的表面積為=， ∴==[]’====，故選D； 解題后反思：注意利用題中條件，球的體積以均勻速度c增長(zhǎng)即球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)。 知識(shí)點(diǎn)四：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 例5 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ； ； ； 。 思路分析：解答本題的突破口是要分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)和特征，挖掘量的隱含條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解題過(guò)程：（1） （2）。 ∴； （3）令，，， ∴ ； （4）∵， ∴ 解題后反思：（1）本題分別考查了導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法，以及抽象函數(shù)求導(dǎo)的思想方法和代數(shù)式等價(jià)化簡(jiǎn)的運(yùn)算能力。 （2）對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)的基本原則，求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用，在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先必須注意變換的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤。 對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的順序復(fù)合而成的，分清其間的復(fù)合關(guān)系，再按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。 （3）對(duì)復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，函數(shù)的解析式能化簡(jiǎn)的要盡量化簡(jiǎn)，應(yīng)盡量少用甚至不用乘積的求導(dǎo)法則，應(yīng)在求導(dǎo)前，先用代數(shù)、三角恒等變形對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再用函數(shù)的四則運(yùn)算法則的求導(dǎo)公式求導(dǎo)數(shù)。 例6 （1）若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________。 （2）已知函數(shù)在R上滿足=，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是___________________。 思路分析：（1）本題是函數(shù)存在斜率為0的切線問(wèn)題，先求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)為0恒有解的問(wèn)題，通過(guò)參變分離求出參數(shù)范圍。 （2）先求，因是復(fù)合函數(shù)，故根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則等式兩邊求導(dǎo)，再將=1代入，即可求出，代入點(diǎn)斜式即可求得切線方程。 解題過(guò)程：（1）由題知函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得， 又因?yàn)榇嬖诖怪庇谳S的切線， 所以=0恒有解，即=（）恒有解， ∴＜0， ∴實(shí)數(shù)的取值范圍是（，0）。 （2）令=1得，=，即=，解得=1， 對(duì)=兩邊同求導(dǎo)得，=， 將=1代入上式得，=，即=，解得=2， ∴在點(diǎn)處的切線方程為=，即。 解題后反思：對(duì)含參數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，應(yīng)注意函數(shù)的定義域。 （全國(guó)高考）曲線在點(diǎn)（0,2）處的切線與直線和圍成的三角形的面積為（ ） A. B. C. D. 1 思路分析：利用導(dǎo)數(shù)求出點(diǎn)（0，2）處的切線方程，然后分別求出與直線y＝0與y＝x的交點(diǎn)問(wèn)題即可解決。 解答過(guò)程：切線方程是：,在直角坐標(biāo)系中作出示意圖，即得。 解題后反思：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是。 1. 理解和掌握求導(dǎo)法則和公式的結(jié)構(gòu)規(guī)律是靈活進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算的前提條件。具體解題時(shí)，還應(yīng)結(jié)合函數(shù)本身的特點(diǎn)，才能準(zhǔn)確有效地進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，調(diào)動(dòng)思維的積極性，在解決新問(wèn)題時(shí)，觸類旁通，得心應(yīng)手。 2．熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。 3. 對(duì)于一個(gè)復(fù)合函數(shù)，一定要理清其中的復(fù)合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)。 下節(jié)課我們將學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，那么導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是指它在哪些方面的應(yīng)用呢？請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本，并且進(jìn)行思考。