2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率疑難規(guī)律方法學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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第二章 概率1求離散型隨機(jī)變量的概率分布的方法對(duì)離散型隨機(jī)變量概率分布的考查是概率考查的主要形式，那么準(zhǔn)確寫出概率分布顯得至關(guān)重要下面就談一下如何準(zhǔn)確求解離散型隨機(jī)變量的概率分布1弄清“隨機(jī)變量的取值”弄清“隨機(jī)變量的取值”是第一步確定隨機(jī)變量的取值時(shí)，要做到準(zhǔn)確無(wú)誤，特別要注意隨機(jī)變量能否取0的情形另外，還需注意隨機(jī)變量是從幾開始取值，每種取值對(duì)應(yīng)幾種情況例1從4張標(biāo)有1,2,3,4的卡片中任意取出兩張，若表示這兩張卡片之和，請(qǐng)寫出的可能取值及指出此時(shí)表示的意義分析從標(biāo)有1,2,3,4的四張卡片中取兩張，表示兩張卡片之和，則首先弄清共有幾種情況，再分別求和解的可能取值為3,4,5,6,7，其中3表示取出分別標(biāo)有1,2的兩張卡片；4表示取出分別標(biāo)有1,3的兩張卡片；5表示取出分別標(biāo)有1,4或2,3的兩張卡片；6表示取出分別標(biāo)有2,4的兩張卡片；7表示取出分別標(biāo)有3,4的兩張卡片2弄清事件類型計(jì)算概率前要確定事件的類型，同時(shí)正確運(yùn)用排列與組合知識(shí)求出相應(yīng)事件的概率例2以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)甲組乙組9909891110分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)Y的概率分布分析由莖葉圖可知兩組同學(xué)的植樹棵數(shù)，則可得分別從甲、乙兩組同學(xué)中隨機(jī)選取一名同學(xué)，兩同學(xué)的植樹總棵數(shù)的所有可能取值，由古典概型可求概率解由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵數(shù)是9,9,11,11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有4416(種)可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21.事件“Y17”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”，所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P(Y17).同理可得P(Y18)，P(Y19)，P(Y20)，P(Y21).所以隨機(jī)變量Y的概率分布為Y1718192021P3.注意驗(yàn)證隨機(jī)變量的概率之和是否為1通過驗(yàn)證概率之和是否為1，可以檢驗(yàn)所求概率是否正確，還可以檢驗(yàn)隨機(jī)變量的取值是否出現(xiàn)重復(fù)或遺漏例3盒中裝有大小相同的10個(gè)小球，編號(hào)分別為0,1,2，9，從中任取1個(gè)小球，規(guī)定一個(gè)隨機(jī)變量X，用“Xx1”表示小球的編號(hào)小于5；“Xx2”表示小球的編號(hào)等于5；“Xx3”表示小球的編號(hào)大于5，求X的概率分布解隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，x3，且P(Xx1)，P(Xx2)，P(Xx3).故X的概率分布如下.Xx1x2x3P點(diǎn)評(píng)隨機(jī)變量的概率分布是我們進(jìn)一步解決隨機(jī)變量有關(guān)問題的基礎(chǔ)，因此準(zhǔn)確寫出隨機(jī)變量的概率分布是很重要的，為了保證它的準(zhǔn)確性，我們可以利用i1進(jìn)行檢驗(yàn).2獨(dú)立事件與互斥事件辨析相互獨(dú)立事件與互斥事件是兩個(gè)完全不同的概念，但同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中容易混淆這兩個(gè)概念，而導(dǎo)致錯(cuò)誤下面結(jié)合例題加以分析幫助同學(xué)們正確區(qū)分這兩個(gè)概念1把握互斥事件中的“有一個(gè)發(fā)生”求互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率，即互斥事件中的每一個(gè)事件發(fā)生都會(huì)使所求事件發(fā)生，應(yīng)用的是互斥事件概率加法公式P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)例1李老師正在寫文章的時(shí)候，身邊的電話突然響了起來若電話響第1聲時(shí)被接聽的概率為0.1，響第2聲時(shí)被接聽的概率為0.15，響第3聲時(shí)被接聽的概率為0.5，響第4聲時(shí)被接聽的概率為0.22，那么在電話響前4聲內(nèi)被接聽的概率是多少？分析在電話響前4聲內(nèi)李老師接電話的事件包括：打進(jìn)的電話“響第1聲時(shí)被接聽”，“響第2聲時(shí)被接聽”，“響第3聲時(shí)被接聽”，“響第4聲時(shí)被接聽”這4個(gè)事件，而且只要有一個(gè)事件發(fā)生，其余的事件就不可能發(fā)生，從而求電話在響前4聲內(nèi)李老師接聽的概率問題即為互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率問題解李老師在電話響前4聲內(nèi)接聽的概率P0.10.150.50.220.97.2把握相互獨(dú)立事件中的“同時(shí)發(fā)生”相互獨(dú)立事件即是否發(fā)生相互之間沒有影響的事件求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，應(yīng)用的是相互獨(dú)立事件的概率乘法公式P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)例2甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員在一次2米跳高中成功的概率分別為0.7、0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響求：(1)甲試跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率解記“甲第i次試跳成功”為事件Ai，“乙第i次試跳成功”為事件Bi，i1,2,3.依題意得P(Ai)0.7，P(Bi)0.6，且Ai與Bi相互獨(dú)立(1)“甲第三次試跳才成功”為事件12A3，所以P(12A3)P(1)P(2)P(A3)0.30.30.70.063.所以甲第三次試跳才成功的概率為0.063.(2)記“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件C.P(C)1P(11)1P(1)P(1)10.30.40.88.所以甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88.點(diǎn)評(píng)本題考查事件的獨(dú)立性，以及互斥事件和對(duì)立事件等知識(shí)，關(guān)鍵在于理解事件的性質(zhì)，然后正確運(yùn)用相應(yīng)的概率公式加以求解歸納總結(jié)1對(duì)于事件A、B，如果事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，則稱這兩個(gè)事件為相互獨(dú)立事件如甲袋中裝有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙袋中裝有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從這兩個(gè)袋中分別摸出一個(gè)球，把“從甲袋中摸出1個(gè)球，得到白球”記為事件A，把“從乙袋中摸出1個(gè)球，得到白球”記為事件B，顯然A與B互相獨(dú)立2弄清事件間的“互斥”與“相互獨(dú)立”的區(qū)別兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響3理解并運(yùn)用相互獨(dú)立事件的性質(zhì)如果事件A與B相互獨(dú)立，那么下列各對(duì)事件：A與，與B，與也都相互獨(dú)立4牢記公式的應(yīng)用條件，準(zhǔn)確、靈活地運(yùn)用公式5認(rèn)真審題，找準(zhǔn)關(guān)鍵字句，提高解題能力如“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰有一個(gè)發(fā)生”等.3概率題易錯(cuò)點(diǎn)剖析概率內(nèi)容的新概念較多，相近概念容易混淆，本文就學(xué)生易犯錯(cuò)誤作如下總結(jié)：1“非等可能”與“等可能”混同例1擲兩枚骰子，求所得的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率錯(cuò)解擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和有2,3,4，12共11種基本事件，所以概率為P.錯(cuò)因剖析以上11種基本事件不是等可能的，如點(diǎn)數(shù)之和為2只有(1,1)，而點(diǎn)數(shù)之和為6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共5種事實(shí)上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且是等可能的，所以“所得點(diǎn)數(shù)之和為6”的概率為P.2“互斥”與“對(duì)立”混同例2把紅、黑、白、藍(lán)4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每個(gè)人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是_(填序號(hào))對(duì)立事件； 不可能事件；互斥但不對(duì)立事件； 以上均不對(duì)錯(cuò)解錯(cuò)因剖析本題錯(cuò)誤的原因在于把“互斥”與“對(duì)立”混同，要準(zhǔn)確解答這類問題，必須搞清對(duì)立事件與互斥事件的聯(lián)系與區(qū)別，這二者的聯(lián)系與區(qū)別主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：(1)兩事件對(duì)立，必定互斥，但互斥未必對(duì)立；(2)互斥的概念適用于多個(gè)事件，但對(duì)立的概念只適用于兩個(gè)事件；(3)兩個(gè)事件互斥只表明這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個(gè)，但可以都不發(fā)生；而兩事件對(duì)立則表明它們有且僅有一個(gè)發(fā)生事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件可能恰有一個(gè)發(fā)生，一個(gè)也不發(fā)生，可能兩個(gè)都不發(fā)生，所以應(yīng)填.正解3“互斥”與“獨(dú)立”混同例3甲投籃命中率為0.8，乙投籃命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？錯(cuò)解設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件AB，P(AB)P(A)P(B)C0.820.2C0.720.30.825.錯(cuò)因剖析本題錯(cuò)誤的原因是把相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來考慮，將“兩人都恰好投中2次”理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和正解設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，且A，B相互獨(dú)立，則兩人都恰好投中兩次為事件AB，于是P(AB)P(A)P(B)C0.820.2C0.720.30.169.點(diǎn)評(píng)例3錯(cuò)誤的原因在于把兩事件互斥與兩事件相互獨(dú)立混同互斥事件是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生與否沒有影響它們雖然都描繪了兩個(gè)事件間的關(guān)系，但所描繪的關(guān)系是根本不同的4“條件概率P(B|A)”與“積事件的概率P(AB)”混同例4袋中有6個(gè)黃色、4個(gè)白色的乒乓球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黃球的概率錯(cuò)解記“第一次取到白球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B，“第二次才取到黃球”為事件C，所以P(C)P(B|A).錯(cuò)因剖析本題錯(cuò)誤在于P(AB)與P(B|A)的含義沒有弄清，P(AB)表示在樣本空間S中，A與B同時(shí)發(fā)生的概率；而P(B|A)表示在縮減的樣本空間SA中，作為條件的A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率正解P(C)P(AB)P(A)P(B|A).5混淆有放回與不放回致錯(cuò)例5某產(chǎn)品有3只次品，7只正品，每次取1只測(cè)試，取后不放回，求：(1)恰好到第5次3只次品全部被測(cè)出的概率；(2)恰好到第k次3只次品全部被測(cè)出的概率f(k)的最大值和最小值錯(cuò)解(1)P.(2)P5(3)C320.132 3.錯(cuò)因剖析錯(cuò)解(1)的錯(cuò)誤的原因在于忽視了“不放回摸球”問題的每一次摸球是不獨(dú)立的；而錯(cuò)解(2)的錯(cuò)誤的原因則在于忽視了“不放回摸球”問題的每一次摸球袋內(nèi)球的總數(shù)是變的(比前一次少一個(gè))正解(1)P.(2)P(k1)(k2)(3k10，kZ)，當(dāng)k3時(shí)，f(k)minf(3)；當(dāng)k10時(shí)，f(k)maxf(10).4概率問題與其他知識(shí)的交匯概率和其他知識(shí)整合的題目近年來頻頻出現(xiàn)在各類考試中，這類題目覆蓋面廣，交匯性強(qiáng)，用到的數(shù)學(xué)思想和方法比較多，對(duì)能力要求較高，我們要給予充分關(guān)注，并注意總結(jié)解題方法1概率與函數(shù)例1在多項(xiàng)飛碟運(yùn)動(dòng)中，允許運(yùn)動(dòng)員射擊兩次運(yùn)動(dòng)員每一次射擊命中碟靶的概率p與運(yùn)動(dòng)員離碟靶的距離s(米)成反比，且距離s(米)與碟靶飛行時(shí)間t(秒)滿足s15(t1)(0t4)現(xiàn)有一碟靶拋出后，某運(yùn)動(dòng)員在碟靶飛出0.5秒時(shí)進(jìn)行第一次射擊命中的概率為0.8；如果他發(fā)現(xiàn)沒有命中，則迅速調(diào)整，在第一次射擊后再經(jīng)過0.5秒進(jìn)行第二次射擊，求此運(yùn)動(dòng)員命中碟靶的概率解設(shè)p (k為常數(shù))，則p (0t4)，依題意當(dāng)t0.5時(shí)，p10.8，則k18，所以p，當(dāng)t1時(shí)，p20.6.故此人命中碟靶的概率為pp1(1p1)p20.8(10.8)0.60.92.點(diǎn)評(píng)此題為條件概率問題(要注意第二次射擊的前提)，兩次射擊可以理解為(有條件的)互斥事件2概率與不等式例2某商店采用“購(gòu)物摸球中獎(jiǎng)”的促銷活動(dòng)，球袋中裝有10個(gè)球，號(hào)碼為n(1n10，nN*)的球的重量為f(n)n29n21，現(xiàn)有兩種摸球方案：摸球1個(gè)，若球的重量小于該球的號(hào)碼數(shù)，則中獎(jiǎng)；一次摸出兩個(gè)球，若兩球的重量相等，則中獎(jiǎng)試比較兩種摸獎(jiǎng)方案的中獎(jiǎng)概率的大小解方案，球的重量小于號(hào)碼數(shù)，即n29n21n，解得3n7 (nN*)，故n的取值為4,5,6，中獎(jiǎng)概率為p10.3；方案，若第n號(hào)球與第m號(hào)球重量相等(np2，即方案的中獎(jiǎng)概率大點(diǎn)評(píng)解決此類問題需要先求不等式的整數(shù)解(實(shí)際問題的要求)，再計(jì)算中獎(jiǎng)概率3概率與遞推數(shù)列例3A、B兩人拿兩個(gè)骰子做拋擲游戲，規(guī)定：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)，則由原拋擲者繼續(xù)擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)就由對(duì)方接著擲，第一次由A開始擲，設(shè)第n次由A擲的概率為pn，求pn的表達(dá)式解第n次由A擲有兩種情況：第n1次由A擲，第n次繼續(xù)由A擲，此時(shí)概率為pn1；第n1次由B擲，第n次由A擲，此時(shí)概率為(1pn1)故有pnpn1(1pn1)(n2)，即pnpn1(n2)令pnx(pn1x)，整理可得x，故pn(n2)，又p11，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是pnn1，即pnn1.點(diǎn)評(píng)弄清pn與pn1的關(guān)系并建立遞推關(guān)系式是問題獲得解決的關(guān)鍵.5深析超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系超幾何分布與二項(xiàng)分布都是隨機(jī)變量取非負(fù)整數(shù)值的離散分布，表面上看，兩種分布的概率求取有截然不同的表達(dá)式，但看它們的概率分布表，會(huì)發(fā)現(xiàn)構(gòu)造上的相似點(diǎn)課本中對(duì)超幾何分布的模型建立是這樣的：若有N件產(chǎn)品，其中M件是廢品，無(wú)放回地任意抽取n件，則其中恰有的廢品件數(shù)X是服從超幾何分布的而對(duì)二項(xiàng)分布則使用比較容易理解的射擊問題來建立模型若將超幾何分布的概率模型改成：若有N件產(chǎn)品，其中M件是廢品，有放回地任意抽取n件，則其中恰有的廢品件數(shù)X是服從二項(xiàng)分布的在這里，兩種分布的差別就在于“有”與“無(wú)”的差別，只要將概率模型中的“無(wú)”改為“有”，或?qū)ⅰ坝小备臑椤盁o(wú)”，就可以實(shí)現(xiàn)兩種分布之間的轉(zhuǎn)化超幾何分布與二項(xiàng)分布是兩個(gè)非常重要的概率模型，許多實(shí)際問題都可以利用這兩個(gè)概率模型來求解在實(shí)際應(yīng)用中，理解并辨別這兩個(gè)概率模型是至關(guān)重要的下面通過幾個(gè)例子說明一下兩者的區(qū)別例1從6名男生和4名女生中，隨機(jī)選出3名學(xué)生參加一項(xiàng)競(jìng)技測(cè)試，試求選出的3名學(xué)生中女生人數(shù)的概率分布解由題意得0,1,2,3.服從參數(shù)為N10，M4，n3的超幾何分布P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，故的概率分布為0123P點(diǎn)評(píng)這是一道超幾何分布的題目，學(xué)生在做的時(shí)候容易把它看成是二項(xiàng)分布問題，把事件發(fā)生的概率看作是0.4.例2甲、乙兩人玩秒表游戲，按開始鍵，然后隨機(jī)按暫停鍵，觀察秒表最后一位數(shù)，若出現(xiàn)0,1,2,3，則甲贏，若出現(xiàn)6,7,8,9，則乙贏，若出現(xiàn)4,5是平局玩三次，記甲贏的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的概率分布解由題意得X0,1,2,3，P(X0)C0.630.216，P(X1)C0.620.40.432，P(X2)C0.60.420.288，P(X3)C0.430.064.故X的概率分布為X0123P0.2160.4320.2880.064點(diǎn)評(píng)這是一道二項(xiàng)分布的題目，學(xué)生容易看成超幾何分布，認(rèn)為X服從N10，M4，n3的超幾何分布二項(xiàng)分布應(yīng)滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：每一次試驗(yàn)中只有兩種結(jié)果(要么發(fā)生，要么不發(fā)生)任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都一樣每次試驗(yàn)間是相互獨(dú)立的、互不影響的.6三法求均值數(shù)學(xué)期望也稱均值，是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，期望的求解策略也有多種，下面通過實(shí)例來闡述1利用定義求均值根據(jù)定義求離散型隨機(jī)變量的均值，首先要求概率分布，然后利用公式E()x1p1x2p2xnpn求解例1一接待中心有A，B，C，D四部熱線電話已知某一時(shí)刻電話A，B占線的概率為0.5，電話C，D占線的概率為0.4，各部電話是否占線相互之間沒有影響假設(shè)該時(shí)刻有部電話占線，試求隨機(jī)變量的概率分布和它的均值分析先判斷的所有可能取值，再根據(jù)相應(yīng)知識(shí)求概率解由題意知的所有可能取值為0,1,2,3,4.P(0)0.520.620.09，P(1)C0.520.62C0.40.60.520.3，P(2)C0.520.62C0.52C0.40.6C0.420.520.37，P(3)C0.52C0.40.6C0.52C0.420.2，P(4)0.520.420.04.于是得到隨機(jī)變量的概率分布為01234P0.090.30.370.20.04所以E()00.0910.320.3730.240.041.8.點(diǎn)評(píng)均值與概率分布聯(lián)系密切，正確地求出隨機(jī)變量的概率分布，是求均值的關(guān)鍵解題時(shí)，確定隨機(jī)變量取哪些值及相應(yīng)的概率，是利用定義求均值的重點(diǎn)2利用公式求均值有些離散型隨機(jī)變量如果歸結(jié)為兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等常見分布類型時(shí)就常使用公式法求均值其中：(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p(p為X的成功概率)(2)若X服從二項(xiàng)分布，即XB(n，p)，則E(X)np.(3)若X服從超幾何分布，則E(X).例2一個(gè)袋子里裝有大小相同的5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取4個(gè)，求其中所含白球個(gè)數(shù)的均值解根據(jù)題目所含白球數(shù)X服從參數(shù)N10，M5，n4的超幾何分布，則E(X)2.所以從中任取4個(gè)球所含白球個(gè)數(shù)的均值為2.點(diǎn)評(píng)此題判斷隨機(jī)變量服從哪種分布是關(guān)鍵，再者要弄清公式中參數(shù)的含義3利用性質(zhì)求均值對(duì)于aXb型的隨機(jī)變量一般用性質(zhì)E(aXb)aE(X)b來求解例3交5元錢，可以參加一次摸獎(jiǎng)，一袋中有大小相同的球10個(gè)，其中有8個(gè)標(biāo)有1元錢，2個(gè)標(biāo)有5元錢，摸獎(jiǎng)?wù)咧荒軓闹腥稳?個(gè)球，他所得獎(jiǎng)勵(lì)是所摸2球的錢數(shù)之和求摸獎(jiǎng)人獲利的均值解設(shè)X為摸到的2球錢數(shù)之和，則X的可能取值為X2(摸到2個(gè)1元)；X6(摸到1個(gè)1元，1個(gè)5元)；X10(摸到2個(gè)5元)故由題意可得P(X2)，P(X6)，P(X10).所以E(X)2610.又設(shè)Y為摸獎(jiǎng)?wù)攉@利的可能值，則YX5，所以摸獎(jiǎng)?wù)攉@利的均值E(Y)E(X)51.4.點(diǎn)評(píng)解決此類問題的關(guān)鍵是找出變量Y與X的內(nèi)在聯(lián)系，并正確套用性質(zhì).7用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率講“道理”概率本身就來源于生活，又服務(wù)于生活在日常生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到有理說不清的情況，如果我們有時(shí)能準(zhǔn)確合理的運(yùn)用概率知識(shí)進(jìn)行分析，通過嚴(yán)密的分析和詳實(shí)準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，往往不僅能把道理講清，而且能把道理講透，講得讓人“心服口服”如果不信，下面我們就不妨用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率來講兩個(gè)道理道理1：我國(guó)的大教育家孔子曰：“三人行，必有我?guī)熝伞蹦苡酶怕手R(shí)詮釋孔子的這句名言嗎？詮釋：俗話說：“三百六十行，行行出狀元”我們不妨把一個(gè)人的才能分成360個(gè)方面因?yàn)榭鬃邮谴髮W(xué)問家，我們假設(shè)他在每一行的排名都處在前的可能性為99%，即任意一個(gè)人在任一方面的才能低于他的可能性為99%.另外兩個(gè)人在任何一方面的才能不如孔子分別看作兩個(gè)獨(dú)立事件，則在任一行中，這兩個(gè)人的才能均不超過孔子就成了概率中兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的模型，所以可能性是99%99%98.01%.而在360行中，另外兩人的才能均不超過孔子的可能性即為獨(dú)立事件重復(fù)發(fā)生的概率，所以為(98.01%)3600.07%.反過來說，另外兩人中有人的才能在某一方面超過孔子的可能性為1(98.01%)36099.93%.也就是說，兩人中有人可以在某一方面做孔子的老師的可能性約為99.93%.從上面的分析可知，“三人行，必有我?guī)煛彪m然是孔子自謙的話，但從實(shí)際情況來看，這句話是很有道理的道理2：小強(qiáng)和小明的家都在同一棟10層的小高層里，小強(qiáng)家在頂層，小強(qiáng)堅(jiān)持認(rèn)為由于小高層有從底層到頂層的電梯，所以自己從電梯上樓到家的速度應(yīng)該是相當(dāng)快的可是小明并不這樣認(rèn)為，但是又無(wú)法說服小強(qiáng)，只是一味地強(qiáng)調(diào)如果考慮每層都有人要上電梯，那么也要耽誤很多時(shí)間，所以乘電梯也不一定很快我們?nèi)绾蝸韼椭∶魍ㄟ^準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)來說服小強(qiáng)呢？我們不妨設(shè)計(jì)這樣一個(gè)問題：十層電梯從底層到頂層停不少于3次的概率是多少？停幾次概率最大？解依題意，從底層到頂層停不少于3次，應(yīng)包括停3次，停4次，停5次，停9次這些情況都是互斥關(guān)系，電梯每一層停的概率為，每種具體的情況實(shí)際上是獨(dú)立事件重復(fù)發(fā)生的概率問題從底層到頂層停不少于3次的概率PC36C45C54C9(CCCC)929(CCC) 9(2946)9.設(shè)從底層到頂層停k次，則其概率為Ck9kC9，當(dāng)k4或k5時(shí)，C最大，即C9最大，從底層到頂層停不少于3次的概率為，停4次或5次的概率最大通過上面的詳實(shí)分析和準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)由于電梯至少停三次的概率較大，而且停4次或5次的可能性最大，因?yàn)槊看坞娞萃Ｏ聛黹_門、關(guān)門等都要耽誤一定的時(shí)間，累計(jì)起來耽誤的時(shí)間卻是不少，所以小明的觀念還是有一定的道理的生活中像這樣的現(xiàn)象很多，表面上看起來都與概率無(wú)關(guān)，但是對(duì)于“數(shù)學(xué)人”來說，生活中的概率無(wú)處不在，關(guān)鍵就在于要善于將這些現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為概率模型，通過數(shù)學(xué)知識(shí)來進(jìn)行定性和定量分析，達(dá)到“以理服人”的效果.8生活中的概率問題在日益發(fā)展的信息社會(huì)中，即使一般的勞動(dòng)者，也必須具備基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)思想去觀察和分析工作、生活乃至從事經(jīng)濟(jì)、政治活動(dòng)的能力在存款、利息、投資、保險(xiǎn)、成本、利潤(rùn)、彩票等中，我們常遇見一些概率問題下面就我們現(xiàn)實(shí)生活中常見的一些概率問題進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的分析：1誰(shuí)先誰(shuí)后的問題單位有六臺(tái)舊麻將機(jī)將處理給單位員工，定價(jià)300元一臺(tái)結(jié)果有12位希望買一臺(tái)于是單位領(lǐng)導(dǎo)就寫了十二張小紙條，其中有六張寫著“恭喜購(gòu)買成功”，另六張寫著“謝謝你的配合，你購(gòu)買不成功！”再把紙條折好然后叫十二位員工按先后順序來抓請(qǐng)問：這十二位員工抽中的概率是一樣的嗎？也就是說這種方法公平嗎？最后一位員工是不是最劃不來？顯然，對(duì)于第一個(gè)抓紙條的人來說，他從12張紙條中選一張，抽到“恭喜購(gòu)買成功”的概率為.對(duì)于第二個(gè)抓紙條的人來說，可以分兩種情況考慮：第一個(gè)人抽中，他抽中的概率，第一個(gè)人沒有抽中，他抽中的概率，這兩種情況是等概率事件，所以不管第一個(gè)人抽中還是沒抽中，不影響第二個(gè)人抽中的概率同樣對(duì)于第三個(gè)人來說，他抽中的概率可以分成四種情況考慮：一中，二中，他抽中的概率，一中，二不中，他抽中的概率，一不中，二中，他抽中的概率，一不中，二不中，他抽中的概率，這四種情況是等概率事件，所以也不影響第三個(gè)人抽中的概率由此可以類推，第四個(gè)人，第五個(gè)人等，抽中的概率都不受影響，所以這種方法是公平的，哪個(gè)人先抽，哪個(gè)人后抽，對(duì)個(gè)人來說，沒有影響2性別問題你隔壁剛剛搬來了新的鄰居，透過墻壁，你可以清楚的聽到有3個(gè)小孩的聲音，但是，因?yàn)檫@3個(gè)小孩，年齡都很小，所以你不確定他們是男是女1基于好奇心，你決定到隔壁敲門，看看他們是男是女，這個(gè)時(shí)候，一個(gè)男孩出來開門，請(qǐng)問，這3個(gè)小孩都是男孩的概率是多少？2當(dāng)然，你還是沒有足夠的訊息，確定所有3個(gè)小孩的性別所以，你決定再找個(gè)理由，到隔壁敲了第二次門，很幸運(yùn)的是，這次來開門的是另外的一個(gè)男孩，請(qǐng)問，這3個(gè)小孩都是男孩的概率是多少？3如果，你第三次去敲了隔壁鄰居的門，請(qǐng)問，你可以百分之百確定這3個(gè)性別的概率是多少？對(duì)于這種問題，我們?cè)谄綍r(shí)的言談中經(jīng)常會(huì)遇到，一下子接觸，感覺有點(diǎn)懵其實(shí)這種問題認(rèn)真分析的話也會(huì)感覺到其中的樂趣.1.一個(gè)男孩開門，那么就會(huì)有兩個(gè)小孩不知道性別，有四種可能，所以全是男孩的概率為.2.第二次敲門，又有一個(gè)男孩開門，就只有一個(gè)小孩不知道性別，有兩種可能，所以全是男孩的概率為.3.第三次敲門，三個(gè)小孩都有可能開門，所以全是男孩的概率為.這種問題其實(shí)和拋硬幣，擲骰子的問題大致相同，只是情境不同3玩撲克牌中的出牌問題在玩撲克牌中，我們經(jīng)常會(huì)懊悔出錯(cuò)了牌，一手好牌就此浪費(fèi)了比如斗地主中，炸彈(四個(gè)相同的點(diǎn)數(shù)或雙王)，三帶一，連子，出現(xiàn)的概率很低，對(duì)子，單的概率很高，所以合理的安排出牌，勝利的次數(shù)就比較多如果一個(gè)玩牌者經(jīng)過計(jì)算，認(rèn)定出牌A比出牌B獲勝的概率大，那么它會(huì)出牌A，盡管出牌A也有招致失敗的風(fēng)險(xiǎn)可見，在生活中，我們會(huì)遇到很多難題，當(dāng)我們從概率的角度進(jìn)行判斷，然后作出決策時(shí)，完全有可能犯錯(cuò)誤，不可能有絕對(duì)的把握正確只是，我們總希望犯錯(cuò)誤的概率小一些，能夠使自己獲得最高的成功率把握住事件出現(xiàn)的概率，我們就很容易的做出判斷解決問題4生日相同的問題如果一個(gè)班級(jí)有50位學(xué)生，那么其中至少有兩位學(xué)生生日相同的概率是多少？要直接計(jì)算50人中有至少2人生日相同比較困難我們就先算出全部不同的概率然后用1減去它就是至少有2人相同的概率了我們可以這樣考慮：隨意找一位學(xué)生甲，他的生日可以是365(不考慮閏年)天中的任意一天，所以有365種可能，對(duì)于學(xué)生乙同樣有365種可能，所以50位學(xué)生生日的情況就有36550種生日不相同的情況，對(duì)于甲有365種可能，乙和甲不同就有364種，所以50位學(xué)生生日不同的情況有A種，所以生日不同的概率為，所以至少有兩位學(xué)生生日相同的概率為1.該問題的概率較大，正說明一些看似巧合的現(xiàn)象其實(shí)極為平凡，這也有助于我們破除迷信，樹立唯物主義的世界觀.