2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率疑難規(guī)律方法學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc
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第二章 概率 1 求離散型隨機(jī)變量的概率分布的方法 對(duì)離散型隨機(jī)變量概率分布的考查是概率考查的主要形式,那么準(zhǔn)確寫出概率分布顯得至關(guān)重要.下面就談一下如何準(zhǔn)確求解離散型隨機(jī)變量的概率分布. 1.弄清“隨機(jī)變量的取值” 弄清“隨機(jī)變量的取值”是第一步.確定隨機(jī)變量的取值時(shí),要做到準(zhǔn)確無誤,特別要注意隨機(jī)變量能否取0的情形.另外,還需注意隨機(jī)變量是從幾開始取值,每種取值對(duì)應(yīng)幾種情況. 例1 從4張標(biāo)有1,2,3,4的卡片中任意取出兩張,若ξ表示這兩張卡片之和,請(qǐng)寫出ξ的可能取值及指出此時(shí)ξ表示的意義. 分析 從標(biāo)有1,2,3,4的四張卡片中取兩張,ξ表示兩張卡片之和,則首先弄清共有幾種情況,再分別求和. 解 ξ的可能取值為3,4,5,6,7,其中ξ=3表示取出分別標(biāo)有1,2的兩張卡片;ξ=4表示取出分別標(biāo)有1,3的兩張卡片;ξ=5表示取出分別標(biāo)有1,4或2,3的兩張卡片;ξ=6表示取出分別標(biāo)有2,4的兩張卡片;ξ=7表示取出分別標(biāo)有3,4的兩張卡片. 2.弄清事件類型 計(jì)算概率前要確定事件的類型,同時(shí)正確運(yùn)用排列與組合知識(shí)求出相應(yīng)事件的概率. 例2 以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù). 甲組 乙組 9 9 0 9 8 9 1 1 1 0 分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué),求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)Y的概率分布. 分析 由莖葉圖可知兩組同學(xué)的植樹棵數(shù),則可得分別從甲、乙兩組同學(xué)中隨機(jī)選取一名同學(xué),兩同學(xué)的植樹總棵數(shù)的所有可能取值,由古典概型可求概率. 解 由莖葉圖可知,甲組同學(xué)的植樹棵數(shù)是9,9,11,11;乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué),共有44=16(種)可能的結(jié)果,這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21.事件“Y=17”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵,乙組選出的同學(xué)植樹8棵”,所以該事件有2種可能的結(jié)果,因此P(Y=17)= =.同理可得P(Y=18)=,P(Y=19)=, P(Y=20)=,P(Y=21)=. 所以隨機(jī)變量Y的概率分布為 Y 17 18 19 20 21 P 3.注意驗(yàn)證隨機(jī)變量的概率之和是否為1 通過驗(yàn)證概率之和是否為1,可以檢驗(yàn)所求概率是否正確,還可以檢驗(yàn)隨機(jī)變量的取值是否出現(xiàn)重復(fù)或遺漏. 例3 盒中裝有大小相同的10個(gè)小球,編號(hào)分別為0,1,2,…,9,從中任取1個(gè)小球,規(guī)定一個(gè)隨機(jī)變量X,用“X=x1”表示小球的編號(hào)小于5;“X=x2”表示小球的編號(hào)等于5;“X=x3”表示小球的編號(hào)大于5,求X的概率分布. 解 隨機(jī)變量X的可能取值為x1,x2,x3,且 P(X=x1)=,P(X=x2)=,P(X=x3)=. 故X的概率分布如下. X x1 x2 x3 P 點(diǎn)評(píng) 隨機(jī)變量的概率分布是我們進(jìn)一步解決隨機(jī)變量有關(guān)問題的基礎(chǔ),因此準(zhǔn)確寫出隨機(jī)變量的概率分布是很重要的,為了保證它的準(zhǔn)確性,我們可以利用i=1進(jìn)行檢驗(yàn). 2 獨(dú)立事件與互斥事件辨析 相互獨(dú)立事件與互斥事件是兩個(gè)完全不同的概念,但同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中容易混淆這兩個(gè)概念,而導(dǎo)致錯(cuò)誤.下面結(jié)合例題加以分析幫助同學(xué)們正確區(qū)分這兩個(gè)概念. 1.把握互斥事件中的“有一個(gè)發(fā)生” 求互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率,即互斥事件中的每一個(gè)事件發(fā)生都會(huì)使所求事件發(fā)生,應(yīng)用的是互斥事件概率加法公式P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 例1 李老師正在寫文章的時(shí)候,身邊的電話突然響了起來.若電話響第1聲時(shí)被接聽的概率為0.1,響第2聲時(shí)被接聽的概率為0.15,響第3聲時(shí)被接聽的概率為0.5,響第4聲時(shí)被接聽的概率為0.22,那么在電話響前4聲內(nèi)被接聽的概率是多少? 分析 在電話響前4聲內(nèi)李老師接電話的事件包括:打進(jìn)的電話“響第1聲時(shí)被接聽”,“響第2聲時(shí)被接聽”,“響第3聲時(shí)被接聽”,“響第4聲時(shí)被接聽”這4個(gè)事件,而且只要有一個(gè)事件發(fā)生,其余的事件就不可能發(fā)生,從而求電話在響前4聲內(nèi)李老師接聽的概率問題即為互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率問題. 解 李老師在電話響前4聲內(nèi)接聽的概率P=0.1+0.15+0.5+0.22=0.97. 2.把握相互獨(dú)立事件中的“同時(shí)發(fā)生” 相互獨(dú)立事件即是否發(fā)生相互之間沒有影響的事件.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,應(yīng)用的是相互獨(dú)立事件的概率乘法公式P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 例2 甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員在一次2米跳高中成功的概率分別為0.7、0.6,且每次試跳成功與否相互之間沒有影響.求: (1)甲試跳三次,第三次才成功的概率; (2)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率. 解 記“甲第i次試跳成功”為事件Ai,“乙第i次試跳成功”為事件Bi,i=1,2,3. 依題意得P(Ai)=0.7,P(Bi)=0.6,且Ai與Bi相互獨(dú)立. (1)“甲第三次試跳才成功”為事件12A3, 所以P(12A3)=P(1)P(2)P(A3)=0.30.30.7=0.063. 所以甲第三次試跳才成功的概率為0.063. (2)記“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件C. P(C)=1-P(11)=1-P(1)P(1)=1-0.30.4=0.88. 所以甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88. 點(diǎn)評(píng) 本題考查事件的獨(dú)立性,以及互斥事件和對(duì)立事件等知識(shí),關(guān)鍵在于理解事件的性質(zhì),然后正確運(yùn)用相應(yīng)的概率公式加以求解. 歸納總結(jié) 1.對(duì)于事件A、B,如果事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響,則稱這兩個(gè)事件為相互獨(dú)立事件.如甲袋中裝有3個(gè)白球,2個(gè)黑球,乙袋中裝有2個(gè)白球,2個(gè)黑球,從這兩個(gè)袋中分別摸出一個(gè)球,把“從甲袋中摸出1個(gè)球,得到白球”記為事件A,把“從乙袋中摸出1個(gè)球,得到白球”記為事件B,顯然A與B互相獨(dú)立. 2.弄清事件間的“互斥”與“相互獨(dú)立”的區(qū)別.兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響. 3.理解并運(yùn)用相互獨(dú)立事件的性質(zhì).如果事件A與B相互獨(dú)立,那么下列各對(duì)事件:A與,與B,與也都相互獨(dú)立. 4.牢記公式的應(yīng)用條件,準(zhǔn)確、靈活地運(yùn)用公式. 5.認(rèn)真審題,找準(zhǔn)關(guān)鍵字句,提高解題能力.如“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰有一個(gè)發(fā)生”等. 3 概率題易錯(cuò)點(diǎn)剖析 概率內(nèi)容的新概念較多,相近概念容易混淆,本文就學(xué)生易犯錯(cuò)誤作如下總結(jié): 1.“非等可能”與“等可能”混同 例1 擲兩枚骰子,求所得的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率. 錯(cuò)解 擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和有2,3,4,…,12共11種基本事件,所以概率為P=. 錯(cuò)因剖析 以上11種基本事件不是等可能的,如點(diǎn)數(shù)之和為2只有(1,1),而點(diǎn)數(shù)之和為6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共5種.事實(shí)上,擲兩枚骰子共有36種基本事件,且是等可能的,所以“所得點(diǎn)數(shù)之和為6”的概率為P=. 2.“互斥”與“對(duì)立”混同 例2 把紅、黑、白、藍(lán)4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人,每個(gè)人分得1張,事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是________.(填序號(hào)) ①對(duì)立事件; ②不可能事件; ③互斥但不對(duì)立事件; ④以上均不對(duì). 錯(cuò)解 ① 錯(cuò)因剖析 本題錯(cuò)誤的原因在于把“互斥”與“對(duì)立”混同,要準(zhǔn)確解答這類問題,必須搞清對(duì)立事件與互斥事件的聯(lián)系與區(qū)別,這二者的聯(lián)系與區(qū)別主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面: (1)兩事件對(duì)立,必定互斥,但互斥未必對(duì)立; (2)互斥的概念適用于多個(gè)事件,但對(duì)立的概念只適用于兩個(gè)事件; (3)兩個(gè)事件互斥只表明這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生,即至多只能發(fā)生其中一個(gè),但可以都不發(fā)生;而兩事件對(duì)立則表明它們有且僅有一個(gè)發(fā)生. 事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件,這兩個(gè)事件可能恰有一個(gè)發(fā)生,一個(gè)也不發(fā)生,可能兩個(gè)都不發(fā)生,所以應(yīng)填③. 正解?、? 3.“互斥”與“獨(dú)立”混同 例3 甲投籃命中率為0.8,乙投籃命中率為0.7,每人投3次,兩人恰好都命中2次的概率是多少? 錯(cuò)解 設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A,“乙恰好投中兩次”為事件B,則兩人都恰好投中兩次為事件A+B,P(A+B)=P(A)+P(B)=C0.820.2+C0.720.3=0.825. 錯(cuò)因剖析 本題錯(cuò)誤的原因是把相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來考慮,將“兩人都恰好投中2次”理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和. 正解 設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A,“乙恰好投中兩次”為事件B,且A,B相互獨(dú)立,則兩人都恰好投中兩次為事件AB,于是P(AB)=P(A)P(B)=C0.820.2C0.720.3≈0.169. 點(diǎn)評(píng) 例3錯(cuò)誤的原因在于把兩事件互斥與兩事件相互獨(dú)立混同.互斥事件是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生;兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生與否沒有影響.它們雖然都描繪了兩個(gè)事件間的關(guān)系,但所描繪的關(guān)系是根本不同的. 4.“條件概率P(B|A)”與“積事件的概率P(AB)”混同 例4 袋中有6個(gè)黃色、4個(gè)白色的乒乓球,作不放回抽樣,每次任取一球,取2次,求第二次才取到黃球的概率. 錯(cuò)解 記“第一次取到白球”為事件A,“第二次取到黃球”為事件B,“第二次才取到黃球”為事件C, 所以P(C)=P(B|A)==. 錯(cuò)因剖析 本題錯(cuò)誤在于P(AB)與P(B|A)的含義沒有弄清,P(AB)表示在樣本空間S中,A與B同時(shí)發(fā)生的概率;而P(B|A)表示在縮減的樣本空間SA中,作為條件的A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率. 正解 P(C)=P(AB)=P(A)P(B|A) ==. 5.混淆有放回與不放回致錯(cuò) 例5 某產(chǎn)品有3只次品,7只正品,每次取1只測(cè)試,取后不放回,求: (1)恰好到第5次3只次品全部被測(cè)出的概率; (2)恰好到第k次3只次品全部被測(cè)出的概率f(k)的最大值和最小值. 錯(cuò)解 (1)P==. (2)P5(3)=C32=0.132 3. 錯(cuò)因剖析 錯(cuò)解(1)的錯(cuò)誤的原因在于忽視了“不放回摸球”問題的每一次摸球是不獨(dú)立的;而錯(cuò)解(2)的錯(cuò)誤的原因則在于忽視了“不放回摸球”問題的每一次摸球袋內(nèi)球的總數(shù)是變的(比前一次少一個(gè)). 正解 (1)P==. (2)P= =(k-1)(k-2)(3≤k≤10,k∈Z), 當(dāng)k=3時(shí),[f(k)]min=f(3)=; 當(dāng)k=10時(shí),[f(k)]max=f(10)=. 4 概率問題與其他知識(shí)的交匯 概率和其他知識(shí)整合的題目近年來頻頻出現(xiàn)在各類考試中,這類題目覆蓋面廣,交匯性強(qiáng),用到的數(shù)學(xué)思想和方法比較多,對(duì)能力要求較高,我們要給予充分關(guān)注,并注意總結(jié)解題方法. 1.概率與函數(shù) 例1 在多項(xiàng)飛碟運(yùn)動(dòng)中,允許運(yùn)動(dòng)員射擊兩次.運(yùn)動(dòng)員每一次射擊命中碟靶的概率p與運(yùn)動(dòng)員離碟靶的距離s(米)成反比,且距離s(米)與碟靶飛行時(shí)間t(秒)滿足s=15(t+1)(0≤t≤4).現(xiàn)有一碟靶拋出后,某運(yùn)動(dòng)員在碟靶飛出0.5秒時(shí)進(jìn)行第一次射擊命中的概率為0.8;如果他發(fā)現(xiàn)沒有命中,則迅速調(diào)整,在第一次射擊后再經(jīng)過0.5秒進(jìn)行第二次射擊,求此運(yùn)動(dòng)員命中碟靶的概率. 解 設(shè)p= (k為常數(shù)),則p= (0≤t≤4), 依題意當(dāng)t=0.5時(shí),p1=0.8,則k=18, 所以p=, 當(dāng)t=1時(shí),p2=0.6.故此人命中碟靶的概率為 p=p1+(1-p1)p2=0.8+(1-0.8)0.6=0.92. 點(diǎn)評(píng) 此題為條件概率問題(要注意第二次射擊的前提),兩次射擊可以理解為(有條件的)互斥事件. 2.概率與不等式 例2 某商店采用“購(gòu)物摸球中獎(jiǎng)”的促銷活動(dòng),球袋中裝有10個(gè)球,號(hào)碼為n(1≤n≤10,n∈N*)的球的重量為f(n) =n2-9n+21,現(xiàn)有兩種摸球方案:①摸球1個(gè),若球的重量小于該球的號(hào)碼數(shù),則中獎(jiǎng);②一次摸出兩個(gè)球,若兩球的重量相等,則中獎(jiǎng).試比較兩種摸獎(jiǎng)方案的中獎(jiǎng)概率的大小. 解 方案①,球的重量小于號(hào)碼數(shù), 即n2-9n+21- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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