2019年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題09 導數(shù)的幾何意義——切線問題.doc

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專題09 導數(shù)的幾何意義-----切線問題 【熱點聚焦與擴展】 導數(shù)的幾何意義為高考熱點內(nèi)容，考查題型文科多為選擇、填空題，理科常出現(xiàn)在解答題中，難度中等或更?。畾w納起來常見的命題探究角度有： (1)求切線方程問題． (2)確定切點坐標問題． (3)已知切線問題求參數(shù)． (4)切線的綜合應用． （一）與切線相關的定義 1、切線的定義：在曲線的某點A附近取點B，并使B沿曲線不斷接近A.這樣直線AB的極限位置就是曲線在點A的切線. （1）此為切線的確切定義，一方面在圖像上可定性的理解為直線剛好與曲線相碰，另一方面也可理解為一個動態(tài)的過程，讓切點A附近的點向不斷接近，當與距離非常小時，觀察直線是否穩(wěn)定在一個位置上. （2）判斷一條直線是否為曲線的切線，不再能用公共點的個數(shù)來判定。例如函數(shù)在處的切線，與曲線有兩個公共點. （3）在定義中，點不斷接近包含兩個方向，點右邊的點向左接近，左邊的點向右接近，只有無論從哪個方向接近，直線的極限位置唯一時，這個極限位置才能夠成為在點處的切線。對于一個函數(shù)，并不能保證在每一個點處均有切線。例如在處，通過觀察圖像可知，當左邊的點向其無限接近時，割線的極限位置為，而當右邊的點向其無限接近時，割線的極限位置為，兩個不同的方向極限位置不相同，故在處不含切線. （4）由于點沿函數(shù)曲線不斷向接近，所以若在處有切線，那么必須在點及其附近有定義（包括左邊與右邊） 2、函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(x0，f(x0))處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù))．相應地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3、從導數(shù)的幾何意義中可通過數(shù)形結合解釋幾類不含導數(shù)的點： （1）函數(shù)的邊界點：此類點左側（或右側）的點不在定義域中，從而某一側不含割線，也就無從談起極限位置.故切線不存在，導數(shù)不存在；與此類似還有分段函數(shù)如果不連續(xù)，則斷開處的邊界值也不存在導數(shù). （2）已知點與左右附近點的割線極限位置不相同，則不存在切線，故不存在導數(shù).例如前面例子在處不存在導數(shù).此類情況多出現(xiàn)在單調區(qū)間變化的分界處，判斷時只需選點向已知點左右靠近，觀察極限位置是否相同即可. （3）若在已知點處存在切線，但切線垂直軸，則其斜率不存在，在該點處導數(shù)也不存在.例如：在處不可導. 綜上所述：（1）-（3）所談的點均不存在導數(shù)，而（1）（2）所談的點不存在切線，（3）中的點存在切線，但沒有導數(shù).由此可見：某點有導數(shù)則必有切線，有切線則未必有導數(shù). （二）方法與技巧： 1、求切線方程的方法：一點一方向可確定一條直線，在求切線時可考慮先求出切線的斜率（切點導數(shù)）與切點，在利用點斜式寫出直線方程. 2、若函數(shù)的導函數(shù)可求，則求切線方程的核心要素為切點的橫坐標，因為可“一點兩代”，代入到原函數(shù)，即可得到切點的縱坐標，代入到導函數(shù)中可得到切線的斜率,從而一點一斜率，切線即可求所以在解切線問題時一定要盯住切點橫坐標，千方百計的把它求解出來. 3、求切線的問題主要分為兩大類，一類是切點已知，那么只需將切點橫坐標代入到原函數(shù)與導函數(shù)中求出切點與斜率即可，另一類是切點未知，那么先要設出切點坐標,再考慮利用條件解出核心要素，進而轉化成第一類問題. 4、在解析幾何中也學習了求切線的方法，即先設出切線方程，再與二次方程聯(lián)立利用求出參數(shù)值進而解出切線方程。解析幾何中的曲線與函數(shù)同在坐標系下，所以兩個方法可以互通。若某函數(shù)的圖像為圓錐曲線，二次曲線的一部分，則在求切線時可用解析的方法求解，例如：（圖像為圓的一部分）在處的切線方程，則可考慮利用圓的切線的求法進行解決。若圓錐曲線可用函數(shù)解析式表示，像焦點在軸的拋物線，可看作關于的函數(shù)，則在求切線時可利用導數(shù)進行快速求解（此方法也為解析幾何中處理焦點在軸的拋物線切線問題的重要方法）. 5、在處理切線問題時要注意審清所給已知點是否為切點.“在某點處的切線”意味著該點即為切點，而“過某點的切線”則意味著該點有可能是切點，有可能不是切點.如果該點恰好在曲線上那就需要進行分類討論了. 【經(jīng)典例題】 例1【2017課標1，文14】曲線在點（1，2）處的切線方程為______________． 【答案】 【解析】 例2【2017天津，文10】已知，設函數(shù)的圖象在點（1，）處的切線為l，則l在y軸上的截距為 . 【答案】 【解析】 【名師點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題型，函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義是曲線在點處的切線的斜率．相應地，切線方程為．注意：求曲線切線時，要分清在點處的切線與過點的切線的不同,謹記，有切點直接帶入切點，沒切點設切點，建立方程組求切點.例3【2018屆遼寧省沈陽市東北育才學校高三第三次模擬】己知曲線上存在兩條斜率為3的切線，且切點的橫坐標都大于零， 則實數(shù)的取值范圍為 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意可知，即有兩個解，且均大于零。即， ，解得,選A. 例4.已知函數(shù)y＝x2的圖象在點(x0,)處的切線為l，若l也與函數(shù)y＝ln x，x∈(0,1)的圖象相切，則x0的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函數(shù)的導數(shù)為，圖像在點處的切線的斜率為，切線方程為，設切線與相切的切點為，，即有的導數(shù)為， 例5【2018屆重慶市高三4月（二診）】曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，得， ∴， ∴， ∴曲線在點處的切線方程為． 令，得；令得． ∴切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為．選B． 例6【2018屆江西省南昌市高三一輪訓練】直線與曲線相切于點，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】的導函數(shù)為, 又直線與曲線相切于點， ∴,即 ∴ 故選：C. 例7【2018屆河南省高三4月測試】已知函數(shù)在點處的切線為，動點在直線上，則的最小值是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 例8【2018屆廣東省2018屆高三一?！恳阎獟佄锞€為軸負半軸上的動點，為拋物線的切線，分別為切點，則的最小值為 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】設切線的方程為，代入拋物線方程得，由直線與拋物線相切得， 時 ，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得 則同理可得，將點的坐標代入，得，故，當時，的最小值為，故選A. 例9【2018屆江西省師范大學附屬中學、九江第一中學高三11月聯(lián)考】設曲線在點處的切線與直線平行,則實數(shù)等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 例10. 求過點，且與曲線相切的直線方程 【答案】或 【解析】滿足，但題目并沒有說明是否為切點，所以要分是否為切點進行分類討論。當是切點時，易于求出切線方程，當不是切點時，切點未知，從而先設再求，設切點，切線斜率為，三個未知量需用三個條件求解：① ，②，③ 解：（1）當為切點時 切線方程為： （2）當不是切點時，設切點，切線斜率為 ，消去可得： 而 方程等價于： 解得：（舍）， 切線方程為 綜上所述：切線方程為或. 【名師點睛】（1）由于在導數(shù)中利用極限的思想對切線進行了嚴格定義，即割線的極限位置是切線，從而不能局限的認為切線與曲線的公共點一定就是切點，存在一條直線與曲線相切于一點，并與曲線的另一部分相交于一點的情況，本題便是一個典型的例子 （2）在已知一點求切線方程時，要注意切線斜率不僅可用切點的導數(shù)值來表示，也可以用已知點與切點來進行表示，進而增加可以使用的條件. 【精選精練】 1．【2018屆北京市育英中學高三十月月考】曲線在點的切線方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2【2018屆吉林省長春市高三監(jiān)測（三）】已知，設函數(shù)的圖象在點處的切線為，則在軸上的截距為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意可知,,a ，令. 故選:B. 3【2018屆北京市育英中學高三十月月考】已知曲線的一條切線的斜率為,則切點橫坐標為（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 故選D. 點睛：本題主要考查了導數(shù)的幾何意義即函數(shù)在某點處的導數(shù)，即為在該點出的切線的斜率，在處理該問題中需注意切點的重要性，主要利用：①切點出的導數(shù)為斜率；②切點坐標滿足曲線方程；③切點坐標滿足切線方程. 4．【2018屆廣西桂林、賀州、崇左三市高三第二次聯(lián)考】若曲線與曲線（）存在公共切線，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】在點的切線斜率為, 在點的切線的斜率為,故,由斜率公式得,即,則有解.由, 的圖象有交點即可,相切時有,所以,故選D. 【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程,過曲線上某點出的切線的斜率,就是函數(shù)在該點處的導數(shù)值,是中檔題.要求曲線上某點的切線方程,需要到兩個量,一個是切點,一個是切線的斜率,分別求得切點和斜率,然后根據(jù)點斜式可寫出切線方程. 5【2018屆東北三省四市高三一?！恳阎^曲線上一點作曲線的切線，若切線在軸上的截距小于0時，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因為，所以切線方程為，即，令得，截距小于0時， ，解得，故選C. 6【2018屆陜西省西安市八校高三上第一次聯(lián)考】曲線上一點處的切線交軸于點（為原點）是以為頂點的等腰三角形，則切線的傾斜角為（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 120 【答案】C ∴，即 ∴ ∴切線的斜率為 ∴切線的傾斜角為 故選C. 7 【2018屆江西省金溪一中、余江一中等五市八校高三上第一次聯(lián)考】直線與曲線相切于點，則的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由直線與曲線相切于點， 則點滿足直線的方程，即，即 由，則，則，解得，故選A． 8【2018屆遼寧省沈陽市郊聯(lián)體高三上學期期末】已知正數(shù)滿足，則曲線在點處的切線的傾斜角的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 9 【2018屆山西省太原十二中高三1月月考】若曲線在點處的切線經(jīng)過點，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，所以切線的斜率為，切線方程為，所以，選D. 10【2018屆遼寧省沈陽市東北育才學校高三三模】己知曲線上存在兩條斜率為3的切線，且切點的橫坐標都大于零， 則實數(shù)的取值范圍為 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意可知，即有兩個解，且均大于零。即， ，解得,選A. 【點睛】轉化為有兩個正數(shù)解，用韋達和判別式或根的分布求得范圍. 11【2018屆四川省高三春季診斷性測試】已知直線是曲線與曲線的一條公切線，與曲線切于點，且是函數(shù)的零點，則的解析式可能為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【名師點睛】本題關鍵為對切線方程的求法的熟悉，根據(jù)切線方程斜率和切點可以列出兩個等式，然后消掉t得到關于a方程從而確定f（x）的表達式 12.【2018屆湖北七市（州）教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考】已知函數(shù)在點 處的切線為，若直線在軸上的截距恒小于，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【名師點睛】對于這種壓軸選擇題，我們掌握一些做題技巧，巧借答案可根據(jù)備選答案去分析通過排除法輕而易舉得出結論.