2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題42 點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.doc

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專題42 點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 平面的基本性質(zhì)、點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系是高考試題主要考查知識(shí)點(diǎn)，題型多為選擇題或填空題，關(guān)于平行關(guān)系、垂直關(guān)系的證明，多是解答題的一問．平面的基本性質(zhì)是立體幾何的基礎(chǔ)，而兩條異面直線所成的角、線面角、二面角和距離是高考熱點(diǎn)，因此，要加強(qiáng)基本判定定理、性質(zhì)定理的理解與記憶.本專題通過例題說明點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系問題求解方法,為解答更為復(fù)雜的問題提供堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ). （一）直線與直線位置關(guān)系： 1、線線平行的判定 （1）平行公理：空間中平行于同一直線的兩條直線平行 （2）線面平行性質(zhì)：如果一條直線與平面平行，則過這條直線的平面與已知平面的交線和該直線平行 （3）面面平行性質(zhì)： 2、線線垂直的判定 （1）兩條平行直線，如果其中一條與某直線垂直，則另一條直線也與這條直線垂直 直線與平面位置關(guān)系： （2）線面垂直的性質(zhì)：如果一條直線與平面垂直，則該直線與平面上的所有直線均垂直 （二）直線與平面的位置關(guān)系 1、線面平行判定定理： （1）若平面外的一條直線與平面上的一條直線平行，則 （2）若兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面上的任一直線與另一平面平行 2、線面垂直的判定： （1）若直線與平面上的兩條相交直線垂直，則 （2）兩條平行線中若其中一條與平面垂直，則另一條直線也與該平面垂直 （3）如果兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面上垂直于交線的直線與另一平面垂直 （三）平面與平面的位置關(guān)系 1、平面與平面平行的判定： （1）如果一個(gè)平面上的兩條相交直線均與另一個(gè)平面平行，則兩個(gè)平面平行 （2）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行 2、平面與平面垂直的判定 如果一條直線與一個(gè)平面垂直，則過這條直線的所有平面均與這個(gè)平面垂直 （四）利用空間向量判斷線面位置關(guān)系 1、刻畫直線，平面位置的向量：直線：方向向量 平面：法向量 2、向量關(guān)系與線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 設(shè)直線對(duì)應(yīng)的法向量為，平面對(duì)應(yīng)的法向量為（其中在外） （1）∥∥ （2） （3）∥ （4） （5） （6） 3、有關(guān)向量關(guān)系的結(jié)論 （1）若，則 平行+平行→平行 （2）若，則 平行+垂直→垂直 （3）若，則的位置關(guān)系不定. 4、如何用向量判斷位置關(guān)系命題真假 （1）條件中的線面關(guān)系翻譯成向量關(guān)系 （2）確定由條件能否得到結(jié)論 （3）將結(jié)論翻譯成線面關(guān)系，即可判斷命題的真假 【經(jīng)典例題】 例1.【2017課標(biāo)1，文6】如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直接AB與平面MNQ不平行的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 例2.【2018屆浙江省嘉興市第一中學(xué)高三9月測試】設(shè)是兩條不同的直線，時(shí)一個(gè)平面，則下列說法正確的是（ ） A. 若則 B. 若則 C. 若則 D. 若則 【答案】C 【解析】對(duì)于A，若還可以相交或異面，故A是錯(cuò)誤的； 對(duì)于B. 若，可以是平行的，故B是錯(cuò)誤的； 對(duì)于C. 若則，顯然C是正確的； 對(duì)于D. 若則，顯然D是錯(cuò)誤的. 故選：C. 例3.【2018屆河北省邢臺(tái)市高三上第二次月考】已知直線平面，直線平面，則下列命題正確的是（ ） A. 若，則 B. 若，則 C. 若，則 D. 若，則 【答案】D 【解析】對(duì)于A，若，直線平面，直線平面，則與可能平行、相交、異面，故不正確；對(duì)于B，若，直線平面，直線平面，則與可能平行也可能相交，故B不正確；對(duì)于C, 若, 與的位置不確定，故C不正確；對(duì)于D，若 ，直線平面，則直線平面，又因直線平面，則正確；故選D. 例4.【2018屆云南省昆明市5月檢測】在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 【答案】D 平行的一條直線，證其垂直于平面.故分別取的中點(diǎn)P、Q，連接PM、QN、PQ.可得四邊形為平行四邊形.進(jìn)而可得.正方體中易得，由直線與平面垂直的判定定理可得平面.進(jìn)而可得平面. 詳解：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)平面，點(diǎn) 平面，所以直線MN是平面的交線， 又因?yàn)橹本€在平面內(nèi)，故直線MN與直線不可能平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)； 對(duì)于選項(xiàng)B，正方體中易知 ，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以直線 與直線不垂直.故選項(xiàng)B不對(duì)； 對(duì)于選項(xiàng)C ,假設(shè)平面，可得.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)， 所以 .這與矛盾.故假設(shè)不成立. 所以選項(xiàng)C不對(duì)； 對(duì)于選項(xiàng)D,分別取的中點(diǎn)P、Q，連接PM、QN、PQ. 因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以且.同理且. 故選D. 點(diǎn)睛：在立體圖形中判斷直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，應(yīng)熟練掌握直線與直線平行、垂直的判定定理、性質(zhì)定理，直線與平面平行、垂直的判定定理、性質(zhì)定理.注意直線與直線、直線與平面、平面與平面平行或垂直之間的互相推導(dǎo). 要判斷選項(xiàng)錯(cuò)誤，可用反證法得到矛盾. 例5.【2017課標(biāo)3，文10】在正方體中，E為棱CD的中點(diǎn)，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根據(jù)三垂線逆定理，平面內(nèi)的線垂直平面的斜線，那也垂直于斜線在平面內(nèi)的射影，A.若，那么，很顯然不成立；B.若，那么，顯然不成立；C.若，那么，成立，反過來時(shí)，也能推出,所以C成立，D.若，則，顯然不成立，故選C. 例6.【2018屆安徽省六安市毛坦廠中學(xué)四月月考】已知是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，給出下列說法： ①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中說法正確的個(gè)數(shù)為（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】分析： ④若，則，或或與相交且與不垂直. 故選C. 例7．【2018屆福建省三明市5月測試】如圖，已知正方體的棱長為2，則以下四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是 A. 直線與為異面直線 B. 平面 C. D. 三棱錐的體積為 【答案】D 【解析】分析：在A中，由異面直線判定定理得直線A1C1與AD1為異面直線；在B中，由A1C1∥AC，得A1C1∥平面ACD1；在C中，由AC⊥BD，AC⊥DD1，得AC⊥面BDD1，從而BD1⊥AC；在D中，三棱錐D1﹣ADC的體積為． 在D中，三棱錐D1﹣ADC的體積： ==，故D錯(cuò)誤． 故選：D． 例8. 【2018屆廣西欽州市第三次檢測】如圖，在四棱柱中，平面，，，，為棱上一動(dòng)點(diǎn)，過直線的平面分別與棱，交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是__________． ①對(duì)于任意的點(diǎn)，都有 ②對(duì)于任意的點(diǎn)，四邊形不可能為平行四邊形 ③存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形 ④存在點(diǎn)，使得直線平面 【答案】①②④ 【解析】分析：根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷A，B，使用假設(shè)法判斷C，D． 詳解：（1）∵AB∥CD，AA1∥DD1， ∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1，∵平面APQR∩平面ABB1A1=AP，平面APQR∩平面CDD1C1=RQ， ∴AP∥QR，故A正確． 例9.【2017山東，文18】由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1- B1CD1后得到的幾何體如圖所示,四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD 的交點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),A1E平面ABCD, （Ⅰ）證明：∥平面B1CD1; （Ⅱ）設(shè)M是OD的中點(diǎn),證明：平面A1EM平面B1CD1. 【答案】①證明見解析.②證明見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）取中點(diǎn),證明,（Ⅱ）證明面. (II)因?yàn)?,，分別為和的中點(diǎn), 所以, 因?yàn)闉檎叫?所以, 又 平面,平面 所以 因?yàn)? 所以 又平面，. 所以平面 又平面, 所以平面平面. 點(diǎn)睛：證明線面平行時(shí),先直觀判斷平面內(nèi)是否存在一條直線和已知直線平行,若找不到這樣的直線,可以考慮通過面面平行來推導(dǎo)線面平行,應(yīng)用線面平行性質(zhì)的關(guān)鍵是如何確定交線的位置,有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線．在應(yīng)用線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí),一定要注意定理成立的條件,嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟,如把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí),必須說清經(jīng)過已知直線的平面與已知平面相交,則直線與交線平行． 例10.【2017北京，文18】如圖，在三棱錐P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn)． （Ⅰ）求證：PA⊥BD； （Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面PAC； （Ⅲ）當(dāng)PA∥平面BDE時(shí)，求三棱錐E–BCD的體積． 【答案】詳見解析 【解析】 由（I）知，平面，所以平面. 所以三棱錐的體積. 點(diǎn)睛：線線，線面的位置關(guān)系以及證明是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，而其中證明線面垂直又是重點(diǎn)和熱點(diǎn)，要證明線面垂直，根據(jù)判斷定理轉(zhuǎn)化為證明線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，而其中證明線線垂直又得轉(zhuǎn)化為證明線面垂直線線垂直，或是根據(jù)面面垂直，平面內(nèi)的線垂直于交線，則垂直于另一個(gè)平面,這兩種途徑都可以證明線面垂直. 【精選精練】 1.如圖，是正方體的棱上的一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），平面，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 2．【2018屆河南省南陽市第一中學(xué)第十五次考】設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的個(gè)數(shù)（ ） ①若則∥； ②若∥，，則； ③若∥，則∥； ④若，則. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】分析：根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，即可判定命題的真假. 詳解：對(duì)于①中，若，則或，所以不正確； 對(duì)于②中，若，則，又由，所以是正確； 對(duì)于③中，若，則或與相交，所以不正確； 對(duì)于④中，若，則，又由，所以是正確的， 綜上正確命題的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選B. 3.【2018屆東北三省三校（哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)）三模】已知互不相同的直線，，和平面，，，則下列命題正確的是（ ） A. 若與為異面直線，，，則； B. 若，，，則； C. 若，，，，則； D. 若，，則 【答案】C 4．【2018屆黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)三?！恳阎ゲ幌嗤闹本€和平面,則下列命題正確的是( ） A. 若與為異面直線,,則 B. 若.則 C. 若, 則 D. 若.則 【答案】C. 【解析】分析：對(duì)于，可利用面面平行的判定定理進(jìn)行判斷；對(duì)于，可利用線面平行的判定定理進(jìn)行判斷；對(duì)于，可利用面面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷. 詳解：若與為異面直線，，則與平行或相交，錯(cuò)，排除； 若，則與平行或異面，錯(cuò)，排除； 若，則或相交，錯(cuò)，排除，故選C. 5.【2018屆廣東省湛江市二?！肯铝忻}正確的是： ①三點(diǎn)確定一個(gè)平面； ②兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面； ③如果兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個(gè)平面； ④如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定平行于另一個(gè)平面. A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 【答案】C ④如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定平行于另一個(gè)平面，該說法正確. 綜上可得：命題正確的是：②④ . 本題選擇C選項(xiàng). 6.【2018屆河北省武邑中學(xué)一模】已知平面，直線，且有，給出下列命題： ①若，則；②若，則；③若，則；④若，則，其中正確命題個(gè)數(shù)有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】分析：利用線面平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行判斷即可. 詳解：有l(wèi)⊥α，m?β，給出下列命題： ①若α∥β，∴l(xiāng)⊥β，又m?β，則l⊥m，正確； ②若l∥m，m?β，則α⊥β，正確； ③若α⊥β，則l∥m或異面直線，不正確； ④若l⊥m，則α∥β或相交，因此不正確． 其中，正確命題個(gè)數(shù)為2． 故選：B． 7.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】 是兩個(gè)平面，是兩條直線，有下列四個(gè)命題： （1）如果，那么. （2）如果，那么. （3）如果，那么. （4）如果，那么與所成的角和與所成的角相等. 其中正確的命題有 ． (填寫所有正確命題的編號(hào)） 【答案】②③④ 【解析】 8.如圖，在正方體中，過對(duì)角線的一個(gè)平面交于點(diǎn)，交于. ①四邊形一定是平行四邊形； ②四邊形有可能是正方形； ③四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形； ④四邊形有可能垂直于平面． 以上結(jié)論正確的為_______________．（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)） 【答案】①③④ 【解析】分析：由題意結(jié)合幾何關(guān)系逐一考查所給命題的真假即可求得最終結(jié)果. 詳解：如圖所示： ①由于平面BCB1C1∥平面ADA1D1，并且B、E、F、D1，四點(diǎn)共面，故ED1∥BF， 同理可證，F(xiàn)D1∥EB，故四邊形BFD1E一定是平行四邊形，故①正確； 9．【2018屆江蘇省南京市三?！恳阎莾蓚€(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，有如下四個(gè)命題： ①若，則； ②若，則； ③若，則； ④若，則． 其中真命題為_________（填所有真命題的序號(hào)）． 【答案】①③ 【解析】分析：①，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和面面平行的定義判斷命題正確；②，根據(jù)線面、面面垂直的定義與性質(zhì)判斷命題錯(cuò)誤；③，根據(jù)線面平行的性質(zhì)與面面垂直的定義判斷命題正確；④，根據(jù)線面、面面平行與垂直的性質(zhì)判斷命題錯(cuò)誤． 詳解：對(duì)于①，當(dāng)l⊥α，l⊥β時(shí)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和面面平行的定義知α∥β，①正確； 對(duì)于②，l⊥α，α⊥β時(shí)，有l(wèi)∥β或l?β，∴②錯(cuò)誤； 對(duì)于③，l∥α，l⊥β時(shí)，根據(jù)線面平行的性質(zhì)與面面垂直的定義知α⊥β，∴③正確； 對(duì)于④，l∥α，α⊥β時(shí)，有l(wèi)⊥β或l∥β或l?β或l與β相交，∴④錯(cuò)誤． 綜上，以上真命題為①③． 故答案為：①③ 10.【2017江蘇，15】 如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 點(diǎn)E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求證：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC. 【答案】（1）見解析（2）見解析 【解析】證明：（1）在平面內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD，，所以. 又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以EF∥平面ABC. 11. 如圖，已知菱形的邊長為，，，將菱形沿對(duì)角線折起，得到三棱錐，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，． （1）求證：平面； （2）求證：平面平面． 【答案】（1）見解析（2）見解析 【解析】分析：（1）由題意知，為的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn)， ． 又 平面，平面， 平面． （2）由題意結(jié)合勾股定理可得．由菱形的性質(zhì)可得；結(jié)合線面垂直的判斷定理可得平面，則平面平面． 詳解：（1）由題意知，為的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn)， ． 又 平面，平面， 平面． （2）由題意知，，， ， 點(diǎn)睛：(1)有關(guān)折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變． (2)研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題． 12．【2018年山東省煙臺(tái)市春季高考一模】如圖，在四棱錐中，平面，，． （1）求證：平面； （2）求證：平面平面； （3）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，求證平面． 【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析. 【解析】分析：（1）由題意得，，利用線面垂直的判定定理，即可得到面． （2）由題意，又面，得，證得平面，利用面面垂直的判定定理，即 （2）∵，，∴． 又∵面，面，∴， 又， ∴ ， 又面， ∴面面． （3）在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)， ∴， 又 ∵面，面， ∴ 面．