2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修4-5.doc

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二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例課時(shí)作業(yè)A組基礎(chǔ)鞏固1用數(shù)學(xué)歸納法證明11)時(shí)，第一步即證下述哪個(gè)不等式成立()A12B12C12 D11，第一步n2，左邊1，右邊2，即1成立時(shí)，起始值n0至少應(yīng)取()A7 B8C9 D10解析：1，n16，n7，故n08.答案：B3用數(shù)學(xué)歸納法證明 “Sn1(nN)”時(shí)，S1等于()A. BC. D解析：因?yàn)镾1的首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，所以S1，故選D.答案：D4設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，有f(k)滿足：當(dāng)“f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么下列命題總成立的是()A若f(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，則當(dāng)k5時(shí)，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，則當(dāng)k8時(shí)，均有f(k)42，因此對(duì)于任意的k4，均有f(k)k2成立答案：D5某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)nk(kN)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立現(xiàn)已知當(dāng)n5時(shí)該命題不成立，那么可推得()A當(dāng)n6時(shí)該命題不成立B當(dāng)n6時(shí)該命題成立C當(dāng)n4時(shí)該命題不成立D當(dāng)n4時(shí)該命題成立解析：與“如果當(dāng)nk(kN)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時(shí)命題也成立”等價(jià)的命題為“如果當(dāng)nk1時(shí)命題不成立，則當(dāng)nk(kN)時(shí)，命題也不成立”故知當(dāng)n5時(shí)，該命題不成立，可推得當(dāng)n4時(shí)該命題不成立，故選C.答案：C6觀察下列式子：1，1，1，可歸納出一般性結(jié)論：_.解析：由題意得1(nN)答案：1(nN)7用數(shù)學(xué)歸納法證明cos cos 3cos(2n1)(kN，ak，nN)，在驗(yàn)證n1時(shí)，左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是_答案：cos 8用數(shù)學(xué)歸納法證明：2n1n2n2(nN)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證_答案：n1時(shí)，221212，即449證明不等式：12(nN)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊2，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，命題成立，即12(kN)當(dāng)nk1時(shí)，左邊12，現(xiàn)在只需證明2，即證：22k1，兩邊平方，整理得01，顯然成立2成立即1，11,1，12,1，由此猜測(cè)第n(nN)個(gè)不等式為()A1B1C1D1解析：1,3,7,15,31，的通項(xiàng)公式為an2n1，不等式左邊應(yīng)是1.，1，2，的通項(xiàng)公式為bn，不等式右邊應(yīng)是.答案：C2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“(n2，nN)”時(shí)的過(guò)程中，由nk到nk1時(shí)，不等式的左邊()A增加了一項(xiàng)B增加了兩項(xiàng)，C增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)D增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)解析：當(dāng)nk時(shí)，左邊.當(dāng)nk1時(shí)，左邊.故由nk到nk1時(shí)，不等式的左邊增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)答案：C3用數(shù)學(xué)歸納法證明某不等式，其中證nk1時(shí)不等式成立的關(guān)鍵一步是：()，括號(hào)中應(yīng)填的式子是_解析：由k2，聯(lián)系不等式的形式可知，應(yīng)填k2.答案：k24設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)，nN，已知M(ab)n，Nannan1b，則M，N的大小關(guān)系為_(提示：利用貝努利不等式，令x)解析：令x，M(ab)n，Nannan1b，(1x)n，1nx.a0，b0，x0.由貝努利不等式得(1x)n1nx.，MN答案：MN5對(duì)于一切正整數(shù)n，先猜出使tnn2成立的最小的正整數(shù)t，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，并再證明不等式：n(n1)lg(123n)證明：猜想當(dāng)t3時(shí)，對(duì)一切正整數(shù)n使3nn2成立下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明當(dāng)n1時(shí)，313112，命題成立假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，3kk2成立，則有3kk21.對(duì)nk1,3k133k3k23kk22(k21)3k21.(3k21)(k1)22k22k2k(k1)0，3k1(k1)2，對(duì)nk1，命題成立由上知，當(dāng)t3時(shí)，對(duì)一切nN，命題都成立再用數(shù)學(xué)歸納法證明：n(n1)lg(123n)當(dāng)n1時(shí)，1(11)0lg 1，命題成立假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，k(k1)lg(123k)成立當(dāng)nk1時(shí)，(k1)(k2)k(k1)2(k1)lg(123k)lg 3k1lg(123k)lg(k1)2lg123k(k1)，命題成立由上可知，對(duì)一切正整數(shù)n，命題成立6已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)a12，公比q3，Sn是它的前n項(xiàng)和求證：.證明：由已知，得Sn3n1，等價(jià)于，即3n2n1.(*)法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明上面不等式成立當(dāng)n1時(shí)，左邊3，右邊3，所以(*)成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，(*)成立，即3k2k1，那么當(dāng)nk1時(shí)，3k133k3(2k1)6k32k32(k1)1，所以當(dāng)nk1時(shí)，(*)成立綜合，得3n2n1成立所以.法二：當(dāng)n1時(shí)，左邊3，右邊3，所以(*)成立當(dāng)n2時(shí)，3n(12)nCC2C22C2n12n12n，所以(*)成立所以.