2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題11 三角函數(shù)概念、基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式 理.doc

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專題11 三角函數(shù)概念、基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式 一、 考綱要求: 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能進(jìn)行弧度與角度的互化. 3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義． 4.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sinα＋cosα＝1，＝tan α. 5.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出α，πα的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式． 二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn)： 　1.終邊在某直線上角的求法四步驟 (1)數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線． (2)按逆時(shí)針?lè)较驅(qū)懗鯷0,2π)內(nèi)的角． (3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合． (4)求并集化簡(jiǎn)集合． 2．確定kα，(k∈N*)終邊位置的步驟 (1)用終邊相同角的形式表示出角α的范圍． (2)再寫出kα或的范圍． (3)然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或的終邊所在位置． 3．注意角度與弧度不能混用． 4．終邊落在x軸上角的集合. 終邊落在y軸上角的集合. 終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合 5.同角三角函數(shù)關(guān)系式及變形公式的應(yīng)用方法 (1）)利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用\f(sin α cos α)＝tan α可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化. (2）)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個(gè)式子，利用(sinαcosα2＝12sin αcos α，可以知一求二. (3）)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 6.利用誘導(dǎo)公式的方法與步驟 (1)方法：利用誘導(dǎo)公式應(yīng)注意已知角或函數(shù)名稱與所求角或函數(shù)名稱之間存在的關(guān)系，尤其是角之間的互余、互補(bǔ)關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)墓剑蛩蠼呛腿呛瘮?shù)進(jìn)行化歸． (2)步驟： 三、高考考題題例分析： 例1. (2016全國(guó)卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________. 解析：由題意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝. sin＝sin＝cos＝， cos＝cos＝sin＝. ∴tan＝－tan－. 例2. （2018全國(guó)卷II）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，則sin（α+β）=　　． 例3.（2018全國(guó)卷 Ⅲ）若sinα=，則cos2α=（　?。? A． B． C．﹣ D．﹣ 解析：∵sinα=， ∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2=． 故選：B． 例4（2018江蘇卷）.已知α，β為銳角，tanα=，cos（α+β）=﹣． （1）求cos2α的值； （2）求tan（α﹣β）的值． 解析：（1）由，解得， ∴cos2α=； 例5（2018浙江卷）已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)P（﹣，﹣）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β滿足sin（α+β）=，求cosβ的值． 解析：（Ⅰ）∵角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)P（﹣，﹣）． ∴x=﹣，y=，r=|OP|=， ∴sin（α+π）=﹣sinα=； 三角函數(shù)概念概念、基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式練習(xí)題 一、選擇題 1．與角的終邊相同的角可表示為(　　) A．2kπ＋45(k∈Z)　　　 B．k360＋π(k∈Z) C．k360－315(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) C　解析：π＝180＝360＋45＝720－315， ∴與角π的終邊相同的角可表示為k360－315，k∈Z. 2．已知弧度為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是(　　) A．2 B．sin 2 C． D．2sin 1 C　解析：由題設(shè)知，圓弧的半徑r＝， ∴圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l＝2r＝. 3．已知點(diǎn)P(cos α，tan α)在第三象限，則角α的終邊在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　解析：由題意可得則所以角α的終邊在第二象限，故選B. 4．將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形成的角的弧度數(shù)是(　　) A． B． C．－ D．－ 5．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3] A　解析：∵cos α≤0，sin α＞0， ∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上． ∴∴－2＜a≤3. 6．(2018石家莊質(zhì)檢(二))若sin(π－α)＝，且≤α≤π，則cos α＝(　　) A．　　　　 B．－ C．－ D. B　解析：由sin(π－α)＝得sin α＝，又因?yàn)椤堞痢堞?，所以cos α＝－＝－，故選B. 7．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，則θ等于(　　) A．－ B．－ C． D. D　解析：∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－cos θ，∴tan θ＝.∵|θ|＜，∴θ＝. 8．已知傾斜角為α的直線l與直線x＋2y－3＝0垂直，則cos的值為(　　) A． B．－ C．2 D．－ B　解析：由題意可得tan α＝2， 所以cos＝－sin 2α＝－＝－＝－，故選B. 9.＝(　　) A．－ B．－ C． D． 10．(2017廣州模擬)當(dāng)θ為第二象限角，且sin＝時(shí)，的值是(　　) A．1 B．－1 C．1 D．0 B　解析：∵sin＝， ∴cos ＝. ∵θ為第二象限角， ∴在第一象限，且cos ＜sin ， ∴＝ ＝－1. 11．設(shè)θ是第三象限角，且＝－cos，則是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 12．已知sin α＋3cos α＋1＝0，則tan α的值為(　　) A．或 B．－或－ C．或－ D．－或不存在 D解析：[由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos2α＝1，即5cos2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－或cos α＝0，當(dāng)cos α＝0時(shí)，tan α的值不存在，當(dāng)cos α＝－時(shí)，sin α＝－3cos α－1＝，tan α＝＝－，故選D. 二、填空題 13．已知角α的始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊在射線4x－3y＝0(x≤0)上，則cos α－sin α＝________. 　解析：角α的始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊在射線4x－3y＝0(x≤0)上， 不妨令x＝－3，則y＝－4，∴r＝5，∴cos α＝＝－，sin α＝＝－， 則cos α－sin α＝－＋＝. 14．在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A(，1)，將點(diǎn)A繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________. (－1，)　解析：依題意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30，∠BOx＝120，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y)，則x＝2cos 120＝－1，y＝2sin 120＝，即B(－1，)． 15．已知＜α＜π，3sin 2α＝2cos α，則sin＝________. 　解析：∵＜α＜π，∴cos α＜0. ∵3sin 2α＝2cos α， 即6sin αcos α＝2cos α， ∴sin α＝，則sin＝－cos α＝＝. 16．sin21＋sin22＋sin23＋…＋sin289＝________. 44.5　解析：因?yàn)閟in(90－α)＝cos α，所以當(dāng)α＋β＝90時(shí)，sin2α＋sin2β＝sin2α＋cos2α＝1， 設(shè)S＝sin21＋sin22＋sin23＋…＋sin289， 則S＝sin289＋sin288＋sin287＋…＋sin21， 兩個(gè)式子相加得2S＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S＝44.5. 三、解答題 17．已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ的值. 18．已知半徑為10的圓O中，弦AB的長(zhǎng)為10. (1)求弦AB所對(duì)的圓心角α的大?。? (2)求α所在的扇形弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S. [解]　(1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10， 所以△AOB為等邊三角形． 因此弦AB所對(duì)的圓心角α＝. (2)由扇形的弧長(zhǎng)與扇形面積公式，得 l＝αR＝10＝， S扇形＝Rl＝αR2＝. 又S△AOB＝OAOBsin＝25. 所以弓形的面積S＝S扇形－S△AOB＝50 19．求值：sin(－1 200)cos 1 290＋cos(－1 020)sin(－1 050)＋tan 945. [解]　原式＝－sin 1 200cos 1 290＋cos 1 020(－sin 1 050)＋tan 945 ＝－sin 120cos 210＋cos 300(－sin 330)＋tan 225 ＝(－sin 60)(－cos 30)＋cos 60sin 30＋tan 45 ＝＋＋1＝2. 20．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值： (1)； (2)sin2α＋sin 2α. 　21．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求角α的集合； (2)求終邊所在的象限； (3)試判斷tan sincos的符號(hào)． [解]　(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上； 由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限， 其集合為. (2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z， 故終邊在第二、四象限． (3)當(dāng)在第二象限時(shí)，tan ＜0， sin ＞0，cos ＜0， 所以tan sin cos 取正號(hào)； 當(dāng)在第四象限時(shí)，tan ＜0， sin ＜0，cos ＞0， 所以tan sin cos也取正號(hào)． 因此，tan sin cos 取正號(hào)． 22．已知f(α)＝. (1)化簡(jiǎn) f(α)； (2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值.