2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法講義（含解析）新人教A版選修4-5.doc

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一 數(shù)學(xué)歸納法 1數(shù)學(xué)歸納法的概念先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如可取n01)時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)nk(kN，kn0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法2數(shù)學(xué)歸納法適用范圍數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明3數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題步驟(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如取n01或2等)時(shí)命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，kn0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立由此可以斷定，對(duì)于任意不小于n0的正整數(shù)n，命題都成立利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1用數(shù)學(xué)歸納法證明12223242(1)n1n2(1)n1.思路點(diǎn)撥首先判斷第1步是否滿足，然后考慮由nk到nk1時(shí)增加了哪些項(xiàng)，進(jìn)行分析變形，從而證明等式證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊121，右邊(1)01，所以等式成立(2)假設(shè)nk(kN，k1)時(shí)，等式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么，當(dāng)nk1時(shí)，則有12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k，所以nk1時(shí)，等式也成立由(1)(2)得對(duì)任意nN，有12223242(1)n1n2(1)n1.利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是要準(zhǔn)確表述nn0時(shí)命題的形式，二是要準(zhǔn)確把握由nk到nk1時(shí)，命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn)并且一定要記?。涸谧C明nk1成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè)1在用數(shù)學(xué)歸納法證明，對(duì)任意的正偶數(shù)n，均有12成立時(shí)，(1)第一步檢驗(yàn)的初始值n0是多少？(2)第二步歸納假設(shè)n2k時(shí)(kN)等式成立，需證明n為何值時(shí)，方具有遞推性；(3)若第二步歸納假設(shè)nk(k為正偶數(shù))時(shí)等式成立，需證明n為何值時(shí)，等式成立解：(1)n0為2.此時(shí)左邊為1，右邊為2.(2)假設(shè)n2k(kN)時(shí)，等式成立，就需證明n2k2(即下一個(gè)偶數(shù))時(shí)，命題也成立(3)若假設(shè)nk(k為正偶數(shù))時(shí)，等式成立，就需證明nk2(即k的下一個(gè)正偶數(shù))時(shí)，命題也成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明：(nN)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)nk(kN，k1)時(shí)，等式成立即，當(dāng)nk1時(shí)，左邊，當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由(1)(2)知對(duì)任意nN，等式成立用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題例2求證：an1(a1)2n1能被a2a1整除(nN)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，a2(a1)a2a1，可被a2a1整除(2)假設(shè)nk(kN，k1)時(shí)，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當(dāng)nk1時(shí)，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1a(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由假設(shè)可知aak1(a1)2k1能被a2a1整除，所以ak2(a1)2k1能被a2a1整除，即nk1時(shí)命題也成立由(1)(2)可知命題對(duì)所有nN都成立利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除時(shí)，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式這就往往要涉及到“添項(xiàng)”“減項(xiàng)”“因式分解”等變形技巧，湊出nk時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題得證3用數(shù)學(xué)歸納法證明：(3n1)7n1(nN)能被9整除證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，47127能被9整除命題成立(2)假設(shè)nk時(shí)命題成立，即(3k1)7k1能被9整除，當(dāng)nk1時(shí)，(3k3)17k113k1377k17(3k1)7k1217k(3k1)7k118k7k67k217k(3k1)7k118k7k277k，由歸納假設(shè)(3k1)7k1能被9整除，又因?yàn)?18k7k277k也能被9整除，所以3(k1)17k11能被9整除，即nk1時(shí)命題成立則由(1)(2)可知對(duì)所有正整數(shù)n命題成立4用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(3x)n(nN)能被x2整除證明：(1)n1時(shí)，1(3x)(x2)，能被x2整除，命題成立(2)假設(shè)nk(k1)時(shí)，1(3x)n能被x2整除，則可設(shè)1(3x)k(x2)f(x)(f(x)為k1次多項(xiàng)式)，當(dāng)nk1時(shí)，1(3x)k11(3x)(3x)k1(3x)1(x2)f(x)1(3x)(x2)(3x)f(x)(x2)(x2)(3x)f(x)(x2)1(3x)f(x)，能被x2整除，即當(dāng)nk1時(shí)命題成立由(1)(2)可知，對(duì)nN，1(3x)n能被x2整除.用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題例3平面上有n(n2，且nN)條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條不過(guò)同一點(diǎn)，求證：這n條直線共有f(n)個(gè)交點(diǎn)思路點(diǎn)撥本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明幾何命題中的應(yīng)用，解答本題應(yīng)搞清交點(diǎn)隨n的變化而變化的規(guī)律，然后采用數(shù)學(xué)歸納法證明證明(1)當(dāng)n2時(shí)，符合條件是兩直線只有1個(gè)交點(diǎn)，又f(2)2(21)1.當(dāng)n2時(shí)，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2且kN)時(shí)命題成立，就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)k(k1)，則當(dāng)nk1時(shí)，任取其中一條直線記為l，如圖，剩下的k條直線為l1，l2，lk.由歸納假設(shè)知，它們之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k).由于l與這k條直線均相交且任意三條不過(guò)同一點(diǎn)，所以直線l與l1，l2，l3，lk的交點(diǎn)共有k個(gè)f(k1)f(k)kk.當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由(1)(2)可知，命題對(duì)一切nN且n2成立用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題時(shí)，一定要清楚從nk到nk1時(shí)，新增加的量是多少一般地，證明第二步時(shí)，常用的方法是加1法，即在原來(lái)k的基礎(chǔ)上，再增加一個(gè)，當(dāng)然我們也可以從k1個(gè)中分出1個(gè)來(lái)，剩下的k個(gè)利用假設(shè)5求證：凸n邊形對(duì)角線條數(shù)f(n)(nN，n3)證明：(1)當(dāng)n3時(shí)，即f(3)0時(shí)，三角形沒(méi)有對(duì)角線，命題成立(2)假設(shè)nk(kN，k3)時(shí)命題成立，即凸k邊形對(duì)角線條數(shù)f(k).將凸k邊形A1A2Ak在其外面增加一個(gè)新頂點(diǎn)Ak1，得到凸k1邊形A1A2AkAk1，Ak1依次與A2，A3，Ak1相連得到對(duì)角線k2條，原凸k邊形的邊A1Ak變成了凸k1邊形的一條對(duì)角線，則凸k1邊形的對(duì)角線條數(shù)為f(k)k21k1f(k1)，即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論正確根據(jù)(1)(2)可知，命題對(duì)任何nN，n3都成立6求證：平面內(nèi)有n(n2)條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)，求證它們彼此互相分割成n2條線段(或射線)證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，兩條直線不平行，彼此互相分割成4條射線，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，命題成立，即k條滿足條件的直線彼此互相分割成k2條線段(或射線)那么nk1時(shí)，取出其中一條直線為l，其余k條直線彼此互相分割成k2條線段(或射線)，直線l把這k條直線又一分為二，多出k條線段(或射線)；l又被這k條直線分成k1部分，所以這k1條直線彼此互相分割成k2kk1(k1)2條線段(或射線)，即nk1時(shí)，命題成立由(1)(2)知，命題成立1數(shù)學(xué)歸納法證明中，在驗(yàn)證了n1時(shí)命題正確，假定nk時(shí)命題正確，此時(shí)k的取值范圍是()AkNBk1，kNCk1，kN Dk2，kN解析：選C數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，所以k是正整數(shù)，又第一步是遞推的基礎(chǔ)，所以k大于等于1.2用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n22n31”，在驗(yàn)證n1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子為()A1 B12C1222 D122223.解析：選D當(dāng)n1時(shí)，左邊122223.3用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nN)能被9整除”，利用歸納法假設(shè)證明nk1時(shí)，只需展開(kāi)()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：選A假設(shè)nk時(shí)，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，當(dāng)nk1時(shí)，(k1)3(k2)3(k3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k3)3展開(kāi)，讓其出現(xiàn)k3即可4平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為()An1 B2nC. Dn2n1解析：選C1條直線將平面分成11個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1(12)4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1(123)7個(gè)區(qū)域；n條直線最多可將平面分成1(123n)1個(gè)區(qū)域5觀察式子11,14(12)，149123，猜想第n個(gè)式子應(yīng)為_(kāi)答案：14916(1)n1n2(1)n16用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1427310n(3n1)n(n1)2.nN”時(shí)，若n1，則左端應(yīng)為_(kāi)解析：n1時(shí)，左端應(yīng)為144.答案：47記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和f(k1)f(k)_.解析：由凸k邊形變?yōu)橥筴1邊形時(shí)，增加了一個(gè)三角形圖形故f(k1)f(k).答案：8用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于整數(shù)n0，An11n2122n1能被133整除證明：(1)當(dāng)n0時(shí)，A011212133能被133整除(2)假設(shè)nk時(shí)，Ak11k2122k1能被133整除當(dāng)nk1時(shí)，Ak111k3122k31111k2122122k11111k211122k1(12211)122k111(11k2122k1)133122k1.nk1時(shí)，命題也成立根據(jù)(1)(2)可知，對(duì)于任意整數(shù)n0，命題都成立9有n個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓將平面分成f(n)n2n2(nN)個(gè)部分證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分，且f(1)1122，所以n1時(shí)命題成立(2)假設(shè)nk(k1)時(shí)命題成立即k個(gè)圓把平面分成f(k)k2k2個(gè)部分則nk1時(shí)，在k1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O，剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分，而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓O分成2k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.當(dāng)nk1時(shí)，命題成立綜合(1)(2)可知，對(duì)一切nN，命題成立10試用n(n2，nN)表示的值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解：當(dāng)n2時(shí)，原式1；當(dāng)n3時(shí)，原式；當(dāng)n4時(shí)，原式.猜想.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論(1)當(dāng)n2時(shí)，易知結(jié)論成立(2)假設(shè)nk(kN，k2)時(shí)結(jié)論成立，即，則當(dāng)nk1時(shí)， 即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由(1)(2)可知對(duì)一切nN，結(jié)論都成立