2017-2018學年高中數(shù)學 第二章 參數(shù)方程 二 第一課時 橢圓的參數(shù)方程優(yōu)化練習 新人教A版選修4-4.doc

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二 第一課時 橢圓的參數(shù)方程 [課時作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．橢圓(θ為參數(shù))，若θ∈[0,2π]，則橢圓上的點(－a,0)對應(yīng)的θ＝(　　) A．π　　　　　　　　 B. C．2π D.π 解析：∵點(－a,0)中x＝－a，∴－a＝acos θ，∴cos θ＝－1，∴θ＝π. 答案：A 2．橢圓(θ為參數(shù))的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：橢圓方程為＋＝1，可知a＝5，b＝4，∴c＝＝3，∴e＝＝. 答案：B 3．橢圓(φ為參數(shù))的焦點坐標為(　　) A．(0,0)，(0，－8) B．(0,0)，(－8,0) C．(0,0)，(0,8) D．(0,0)，(8,0) 解析：橢圓中心(4,0)，a＝5，b＝3，c＝4，故焦點坐標為(0,0)(8,0)，應(yīng)選D. 答案：D 4．已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點M在橢圓上，對應(yīng)參數(shù)t＝，點O為原點，則直線OM的傾斜角α為(　　) A. B. C. D. 解析：M點的坐標為(2,2)，tan α＝，α＝. 答案：A 5．若P(x，y)是橢圓2x2＋3y2＝12上的一個動點，則x＋y的最大值為(　　) A．2　　　　　　 B．4 C.＋ D．2 解析：橢圓為＋＝1，設(shè)P(cos θ，2sin θ)，x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin≤2. 答案：D 6．橢圓(θ為參數(shù))的焦距為________． 解析：∵a＝5，b＝2，c＝＝，∴2c＝2 . ∴焦距為2. 答案：2 7．實數(shù)x，y滿足3x2＋4y2＝12，則2x＋y的最大值是________． 解析：因為實數(shù)x，y滿足3x2＋4y2＝12， 所以設(shè)x＝2cos α，y＝sin α，則 2x＋y＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)， 其中sin φ＝，cos φ＝. 當sin(α＋φ)＝1時，2x＋y有最大值為5. 答案：5 8．已知橢圓的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，點M在橢圓上，對應(yīng)的參數(shù)φ＝，點O為原點，則直線OM的斜率為________． 解析：當φ＝時， 故點M的坐標為(1,2)． 所以直線OM的斜率為2. 答案：2 9．橢圓中心在原點，焦點在x軸上，橢圓上的一點到兩個焦點的距離之和是6，焦距是2，求橢圓的參數(shù)方程． 解析：由題意，設(shè)橢圓的方程為＋＝1， 則a＝3，c＝，∴b＝2， ∴橢圓的普通方程為＋＝1，化為參數(shù)方程得(φ為參數(shù))． 10．如圖，由橢圓＋＝1上的點M向x軸作垂線，交x軸于點N，設(shè)P是MN的中點，求點P的軌跡方程． 解析：橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， ∴設(shè)M(2cos θ，3sin θ)，P(x，y)，則N(2cos θ，0)． ∴ 消去θ，得＋＝1，即為點P的軌跡方程． [B組　能力提升] 1．兩條曲線的參數(shù)方程分別是(θ為參數(shù))和(t為參數(shù))，則其交點個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．2 解析：由 得x＋y－1＝0(－1≤x≤0,1≤y≤2)， 由得＋＝1. 如圖所示，可知兩曲線交點有1個． 答案：B 2．直線＋＝1與橢圓＋＝1相交于A，B兩點，該橢圓上點P使得△PAB的面積等于4，這樣的點P共有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解析：如圖，|AB|＝5， |AB|h＝4，h＝. 設(shè)點P的坐標為(4cos φ，3sin φ)，代入3x＋4y－12＝0中， ＝， ＝， 當sin－1＝時，sin＝＞1，此時無解； 當sin－1＝－時，sin＝，此時有2解．∴應(yīng)選B. 答案：B 3．在直角坐標系xOy中，已知曲線C1：(t為參數(shù))與曲線C2：(θ為參數(shù)，a>0)有一個公共點在x軸上，則a＝________. 解析：曲線C1的普通方程為2x＋y＝3，曲線C2的普通方程為＋＝1，直線2x＋y＝3與x軸的交點坐標為，故曲線＋＝1也經(jīng)過這個點，代入解得a＝(舍去－)． 答案： 4．已知橢圓的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，點M、N在橢圓上，對應(yīng)參數(shù)分別為，，則直線MN的斜率為________． 解析：當t＝時， 即M(1,2)，同理N(，2)． kMN＝＝－2. 答案：－2 5．已知直線l：x－y＋9＝0和橢圓C：(θ為參數(shù))． (1)求橢圓C的兩焦點F1，F(xiàn)2的坐標； (2)求以F1，F(xiàn)2為焦點且與直線l有公共點M的橢圓中長軸最短的橢圓的方程． 解析：(1)由橢圓的參數(shù)方程消去參數(shù)θ得橢圓的普通方程為＋＝1， 所以a2＝12，b2＝3，c2＝a2－b2＝9. 所以c＝3. 故F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)． (2)因為2a＝|MF1|＋|MF2|， 所以只需在直線l：x－y＋9＝0上找到點M使得|MF1|＋|MF2|最小即可． 點F1(－3,0)關(guān)于直線l的對稱點是F1′ (－9,6)，所以M為F2F1′與直線l的交點，則 |MF1|＋|MF2|＝|MF1′|＋|MF2|＝|F1′F2| ＝ ＝6，故a＝3. 又c＝3，b2＝a2－c2＝36. 此時橢圓方程為＋＝1. 6.如圖，已知橢圓＋＝1(a>b>0)和定點A(0，b)，B(0，－b)，C是橢圓上的動點，求△ABC的垂心H的軌跡． 解析：由橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)知，橢圓的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))， 所以橢圓上的動點C的坐標設(shè)為(acos φ，bsin φ)， 所以直線AC的斜率為kAC＝，A C邊上的垂線的方程為y＋b＝－x，?、? 直線BC的斜率為kBC＝，BC邊上的垂線的方程為y－b＝－x，?、? 由方程①②相乘消去φ可得y2－b2＝x2，即x2＋y2＝b2，又點C不能與A、B重合，所以y≠b， 故H點的軌跡方程為x2＋y2＝b2，去掉點(0，b)和點(0，－b)．