2018-2019學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.1 直線與平面垂直的判定課時(shí)作業(yè) 新人教A版必修2.doc

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2.3.1　直線與平面垂直的判定 【選題明細(xì)表】 知識點(diǎn)、方法 題號 線面垂直的定義及判定定理的理解 1,2,3,5,6 線面垂直的判定及證明 4,8 直線與平面所成的角 7,9 綜合問題 10,11 基礎(chǔ)鞏固 1.設(shè)l,m是兩條不同的直線, α是一個(gè)平面,則下列命題正確的是(　A　) (A)若l⊥α,l∥m,則m⊥α (B)若l∥α,m?α,則l∥m (C)若l⊥m,m?α,則l⊥α (D)若l∥α,m∥α,則l∥m 解析:易知A正確. B.l與m可能異面,也可能平行. C.當(dāng)l與α內(nèi)兩條相交直線垂直時(shí),才能判定l⊥α, D.l與m可能平行、異面或相交. 2.空間四邊形ABCD的四邊相等,則它的兩對角線AC,BD的關(guān)系是(　C　) (A)垂直且相交 (B)相交但不一定垂直 (C)垂直但不相交 (D)不垂直也不相交 解析:取BD的中點(diǎn)O,連接AO,CO, 則BD⊥AO,BD⊥CO, 所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC,又BD,AC異面,故選C. 3.(2018云南玉溪中學(xué)高一測試)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則直線l和平面α的位置關(guān)系是(　D　) (A)垂直 (B)平行 (C)l在α內(nèi) (D)無法確定 解析:當(dāng)l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,若這無數(shù)條直線互相平行,則l可能在α內(nèi),也可能與平面α平行,相交,故選D. 4.(2018陜西西安高一期末)已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn),PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面 ABC,垂足H,則H為△ABC的(　B　) (A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)內(nèi)心 解析:連接AH并延長,交BC于D,連接BH并延長,交AC于E;因?yàn)镻A⊥PB,PA⊥PC,故PA⊥平面PBC,故PA⊥BC;因?yàn)镻H⊥平面ABC,故PH⊥BC,故BC⊥平面PAH,故AH⊥BC;同理BH⊥AC;故H是△ABC的垂心. 5.下列說法中錯(cuò)誤的是(　D　) ①如果一條直線和平面內(nèi)的一條直線垂直,該直線與這個(gè)平面必 相交; ②如果一條直線和平面的一條平行線垂直,該直線必在這個(gè)平面內(nèi); ③如果一條直線和平面的一條垂線垂直,該直線必定在這個(gè)平面內(nèi); ④如果一條直線和一個(gè)平面垂直,該直線垂直于平面內(nèi)的任何直線. (A)①② (B)②③④ (C)①②④ (D)①②③ 解析:由線面垂直的判定定理可得①②③錯(cuò)誤,④正確.故選D. 6.(2018南昌調(diào)研)若α,β是兩個(gè)相交平面,則在下列命題中,真命題的序號為　　　　.(寫出所有真命題的序號) ①若直線m⊥α,則在平面β內(nèi),一定不存在與直線m平行的直線;②若直線m⊥α,則在平面β內(nèi),一定存在無數(shù)條直線與直線m垂直;③若直線m?α,則在平面β內(nèi),不一定存在與直線m垂直的直線;④若直線m?α,則在平面β內(nèi),一定存在與直線m垂直的直線. 解析:對于①,若直線m⊥α,如果α,β互相垂直,則在平面β內(nèi),存在與直線m平行的直線,故①錯(cuò)誤;對于②,若直線m⊥α,則直線m垂直于平面α內(nèi)的所有直線,則在平面β內(nèi),一定存在無數(shù)條直線與直線m垂直,故②正確;對于③④,若直線m?α,則在平面β內(nèi),一定存在與直線m垂直的直線,故③錯(cuò)誤,④正確. 答案:②④ 7.如圖所示,∠ACB=90,平面ABC外有一點(diǎn)P,PC=4 cm,PF,PE垂直于BC,AC于點(diǎn)F,E,且PF=PE=23 cm,那么PC與平面ABC所成角的大小為　　　　. 解析:過P作PO垂直于平面ABC于O,連接CO,則CO為∠ACB的平分線.連接OF,可證明△CFO為直角三角形,CO=22,Rt△PCO中,cos∠PCO=22,∠PCO=45. 答案:45 8.如圖,已知△ABC中,∠ACB=90,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求證:AD⊥平面SBC. 證明:因?yàn)椤螦CB=90, 所以BC⊥AC. 又SA⊥平面ABC,所以SA⊥BC. 又AC∩SA=A,所以BC⊥平面SAC. 因?yàn)锳D?平面SAC,所以BC⊥AD. 又SC⊥AD,SC∩BC=C, 所以AD⊥平面SBC. 能力提升 9.(2018寧夏銀川高一期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中(底面是等邊三角形,側(cè)棱與底面垂直的三棱柱),已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,則AD與平面AA1C1C所成角的正弦值為(　A　) (A)64 (B)34 (C)62 (D)72 解析:如圖,分別取C1A1,CA的中點(diǎn)E,F,連接B1E與BF,則B1E⊥平面CAA1C1,過D作DH∥B1E,則DH⊥平面CAA1C1,連接AH,則∠DAH為AD與平面AA1C1所成的角,由已知易得DH=B1E=32,DA=2,所以sin∠DAH= DHDA=64. 10.如圖,四棱錐S-ABCD的底面為正方形,SD⊥底面ABCD,給出下列結(jié)論:①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA與平面ABD所成的角等于SC與平面ABD所成的角;④AC⊥SO.正確結(jié)論的序號是　　　　. 解析:連接SO,如圖所示, 因?yàn)樗睦忮FS-ABCD的底面為正方形,所以AC⊥BD. 因?yàn)镾D⊥底面ABCD, 所以SD⊥AC, 因?yàn)镾D∩BD=D,所以AC⊥平面SBD, 因?yàn)镾B?平面SBD,所以AC⊥SB,則①正確; 因?yàn)锳B∥CD,AB?平面SCD,CD?平面SCD, 所以AB∥平面SCD,則②正確; 因?yàn)镾D⊥底面ABCD, 所以∠SAD和∠SCD分別是SA與平面ABD所成的角、SC與平面ABD所成的角, 因?yàn)锳D=CD,SD=SD, 所以∠SAD=∠SCD,則③正確; 因?yàn)锳C⊥平面SBD,SO?平面SBD, 所以AC⊥SO,則④正確. 答案:①②③④ 教師備用:側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A′B′C′滿足∠BAC=90, AB=AC=12AA′=2,點(diǎn)M,N分別為A′B,B′C′的中點(diǎn). (1) 求證:MN∥平面A′ACC′; (2) 求證:A′N⊥平面BCN; (3) 求三棱錐C-MNB的體積. (1)證明:如圖,連接AB′,AC′, 因?yàn)樗倪呅蜛BB′A′為矩形,M為A′B的中點(diǎn), 所以AB′與A′B交于點(diǎn)M,且M為AB′的中點(diǎn), 又點(diǎn)N為B′C′的中點(diǎn),所以MN∥AC′, 又MN?平面A′ACC′,且AC′?平面A′ACC′, 所以MN∥平面A′ACC′. (2)證明:因?yàn)锳′B′=A′C′=2,點(diǎn)N為B′C′的中點(diǎn), 所以A′N⊥B′C′. 又BB′⊥平面A′B′C′,所以A′N⊥BB′, 所以A′N⊥平面BCN. (3)解:由圖可知VCMNB=VMBCN, 因?yàn)椤螧AC=90,所以BC=AB2+AC2=22, S△BCN=12224=42. 由(2)及∠B′A′C′=90可得A′N=2, 因?yàn)镸為A′B的中點(diǎn), 所以M到平面BCN的距離為22, 所以VCMNB=VMBCN=134222=43. 探究創(chuàng)新 11.如圖(1),在Rt△ABC中,∠C=90,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn).將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如圖(2). (1)求證:DE∥平面A1CB; (2)求證:A1F⊥BE; (3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q,使A1C⊥平面DEQ?說明理由. (1)證明:因?yàn)镈,E分別為AC,AB的中點(diǎn), 所以DE∥BC. 又因?yàn)镈E?平面A1CB,BC?平面A1CB, 所以DE∥平面A1CB. (2)證明:由已知得AC⊥BC且DE∥BC, 所以DE⊥AC. 所以DE⊥A1D,DE⊥CD. 所以DE⊥平面A1DC. 而A1F?平面A1DC, 所以DE⊥A1F. 又因?yàn)锳1F⊥CD, 所以A1F⊥平面BCDE. 所以A1F⊥BE. (3)解:線段A1B上存在點(diǎn)Q,使A1C⊥平面DEQ. 理由如下:如圖,分別取A1C,A1B的中點(diǎn)P,Q, 則PQ∥BC. 又因?yàn)镈E∥BC, 所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即為平面DEP. 由(2)知,DE⊥平面A1DC, 所以DE⊥A1C. 又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn), 所以A1C⊥DP. 所以A1C⊥平面DEP. 從而A1C⊥平面DEQ. 故線段A1B上存在點(diǎn)Q,使得A1C⊥平面DEQ.