《2017-2018學年高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 3.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù)優(yōu)化練習 新人教A版選修1 -1.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2017-2018學年高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 3.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù)優(yōu)化練習 新人教A版選修1 -1.doc（6頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
3.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù)
[課時作業(yè)]
[A組 基礎鞏固]
1．當函數(shù)y＝x2x取極小值時，x＝( )
A. B．－ C．－ln 2 D．ln 2
解析：y′＝2x＋x2xln 2＝0，∴x＝－.
答案：B
2．函數(shù)f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的極大值是( )
A.＋ B．－＋
C.＋ D．1＋
解析：f ′(x)＝cos x＋，x∈(0，π)，
由f ′(x)＝0得cos x＝－，x＝.
且x∈時f ′(x)>0；x∈時f ′(x)<0，
∴x＝時，
f(x)有極大值f＝＋.
答案：C
3．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則f(2)等于( )
A．11或18 B．11 C．18 D．17或18
解析：∵函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，
∴f(1)＝10，且f ′(1)＝0，
即
解得或
而當時，函數(shù)在x＝1處無極值，
故舍去．∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，
∴f(2)＝18.故選C.
答案：C
4.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，其導函數(shù)f ′(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內的極大值點有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
解析：依題意，記函數(shù)y＝f ′(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標自左向右依次為x1，x2，x3，x4，當a
0；當x10，
故x＝0時函數(shù)f(x)取極小值f(0)＝c.
答案：c
7．若函數(shù)f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)內有極小值，則實數(shù)b的取值范圍是________．
解析：f ′(x)＝3x2－6b.
當b≤0時，f ′(x)≥0恒成立，函數(shù)f(x)無極值．
當b>0時，令3x2－6b＝0得x＝.
由函數(shù)f(x)在(0,1)內有極小值，可得0<<1，
∴00，故－2是g(x)的極值點．
當－21時，g ′(x)>0，故1不是g(x)的極值點．
所以g(x)的極值點為－2.
10．已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)討論f(x)的單調性，并求f(x)的極大值．
解析：(1)f ′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f ′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
從而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f ′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f ′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.
從而當x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)時，f ′(x)>0；當x∈(－2，－ln 2)時，f ′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上單調遞增，在(－2，－ln 2)上單調遞減．
當x＝－2時，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(－2)＝4(1－e－2)．
[B組 能力提升]
1．設函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點，則下列圖象不可能為y＝f(x)圖象的是( )
解析：因為[f(x)ex]′＝f ′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f ′(x)]ex，且x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點，所以f(－1)＋f ′(－1)＝0；選項D中，f(－1)>0，f ′(－1)>0，不滿足f ′(－1)＋f(－1)＝0.
答案：D
2．三次函數(shù)當x＝1時有極大值4，當x＝3時有極小值0，且函數(shù)過原點，則此函數(shù)是( )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
解析：三次函數(shù)過原點，可設f(x)＝x3＋bx2＋cx，則f ′(x)＝3x2＋2bx＋c.由題設有
解得b＝－6，c＝9.∴f(x)＝x3－6x2＋9x，f ′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．當x＝1時，函數(shù)f(x)取得極大值4，當x＝3時，函數(shù)取得極小值0，滿足條件．
答案：B
3．若函數(shù)f(x)＝在x＝1處取得極值，則a＝________.
解析：f′(x)＝＝.因為f(x)在x＝1處取得極值，所以1是f′(x)＝0的根，將x＝1代入得a＝3.
答案：3
4．設f(x)＝，則f(x)的極大值點和極小值點分別是________．
解析：對f(x)求導得f′(x)＝. ①
若f′(x)＝0，
則4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.
結合①，可知
x
(－∞，)
(＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
極大值
極小值
所以x1＝是極小值點，x2＝是極大值點．
答案：，
5．已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的單調區(qū)間；
(2)若f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍．
解析：(1)f ′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
當a<0時，對x∈R，有f ′(x)>0，
∴當a<0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)；
當a>0時，由f ′(x)>0，解得x<－或x>，
由f ′(x)<0，解得－0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1處取得極值，
∴f ′(－1)＝3(－1)2－3a＝0，解得a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f ′(x)＝3x2－3.
由f ′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.
由(1)中f(x)的單調性可知，f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1，在x＝1處取得極小值f(1)＝－3.
∵直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，結合圖象可知m的取值范圍是(－3,1)．
6．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.
(1)求函數(shù)f(x)的極值．
(2)設函數(shù)k(x)＝f(x)－h(huán)(x)，若函數(shù)k(x)在[1,3]上恰有兩個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍．
解析：(1)f(x)的定義域是(0，＋∞)．
令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1.
當x∈(0,1)時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減；
當x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增；
所以f(x)在x＝1處取得極小值，又f(1)＝1，
所以f(x)的極小值為1，無極大值．
(2)k(x)＝f(x)－h(huán)(x)
＝x－2ln x－a(x＞0)，
所以k′(x)＝1－，令k′(x)＞0，
得x＞2，令k′(x)＜0，得0＜x＜2，
所以k(x)在(0,2)上單調遞減，在(2，＋∞)上單調遞增．
要使函數(shù)k(x)在[1,3]上恰有兩個不同零點，
則需
所以2－2ln 2＜a≤3－2ln3。
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