2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 參數(shù)方程 四 漸開線與擺線優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修4-4.doc

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四 漸開線與擺線 [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．半徑為3的圓的擺線上某點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，那么其橫坐標(biāo)可能是(　　) A．π B．2π C．12π D．14π 解析：當(dāng)t＝0時(shí)，x＝0且y＝0.即點(diǎn)(0,0)在曲線上． 答案：C 2．已知一個(gè)圓的擺線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，則該擺線一個(gè)拱的高度是(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：由圓的擺線的參數(shù)方程 (φ為參數(shù))知圓的半徑r＝3，所以擺線一個(gè)拱的高度是32＝6. 答案：B 3．圓(φ為參數(shù))的漸開線方程是(　　) A.(φ為參數(shù)) B.(φ為參數(shù)) C.(φ為參數(shù)) D.(φ為參數(shù)) 解析：由圓的參數(shù)方程知圓的半徑為10，故其漸開線方程為(φ為參數(shù))． 答案：C 4．有一個(gè)半徑為8的圓盤沿著直線軌道滾動(dòng)，在圓盤上有一點(diǎn)M與圓盤中心的距離為3，則點(diǎn)M的軌跡方程是(　　) A. B. C. D. 解析：易知點(diǎn)M的軌跡是擺線，圓的半徑為3.故選C. 答案：C 5．當(dāng)φ＝2π時(shí)，圓的漸開線(φ為參數(shù))上的點(diǎn)是(　　) A．(6,0) B．(6,6π) C．(6，－12π) D．(－π，12π) 解析：當(dāng)φ＝2π時(shí)， 故選C. 答案：C 6．半徑為5的圓的擺線的參數(shù)方程為________． 解析：由圓的擺線的參數(shù)方程的概念即可得參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． 答案：(φ為參數(shù)) 7．已知圓的漸開線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，則此漸開線對(duì)應(yīng)的基圓的直徑是________，當(dāng)參數(shù)φ＝時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為________． 解析：圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑唯一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，故直徑為2. 求當(dāng)φ＝時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)只需把φ＝代入曲線的參數(shù)方程，得x＝＋，y＝－，由此可得對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為. 答案：2　 8．給出直徑為8的圓，分別寫出對(duì)應(yīng)的漸開線的參數(shù)方程和擺線的參數(shù)方程． 解析：以圓的圓心為原點(diǎn)，一條半徑所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．又圓的直徑為8，所以半徑為4，從而圓的漸開線的參數(shù)方程是 (φ為參數(shù))． 以圓周上的某一定點(diǎn)為原點(diǎn)，以定直線所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系， 所以擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． 9．求擺線(0≤t≤2π)與直線y＝2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)． 解析：當(dāng)y＝2時(shí)，有2(1－cos t)＝2，∴t＝或t＝. 當(dāng)t＝時(shí)，x＝π－2； 當(dāng)t＝時(shí)，x＝3π＋2. ∴擺線與直線y＝2的交點(diǎn)為(π－2,2)，(3π＋2,2)． [B組　能力提升] 1．t＝π時(shí)，圓的漸開線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　) A．(－5,5π) B．(－5，－5π) C．(5,5π) D．(5，－5π) 解析：將t＝π代入?yún)?shù)方程易得x＝－5，y＝5π.故選A. 答案：A 2．已知擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，該擺線一個(gè)拱的寬度與高度分別是(　　) A．2π，2 B．2π，4 C．4π，2 D．4π，4 解析：方法一　由擺線參數(shù)方程可知，產(chǎn)生擺線的圓的半徑r＝2，又由擺線的產(chǎn)生過程可知，擺線一個(gè)拱的寬度等于圓的周長(zhǎng)為2πr＝4π，擺線的拱高等于圓的直徑為4. 方法二　由于擺線的一個(gè)拱的寬度等于擺線與x軸兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離，令y＝0，即1－cos φ＝0，解得φ＝2kπ(k∈Z)，不妨分別取k＝0,1，得φ1＝0，φ2＝2π，代入?yún)?shù)方程，得x1＝0，x2＝4π，所以擺線與x軸兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為4π，即擺線一個(gè)拱的寬度等于4π； 又因?yàn)閿[線在每一拱的中點(diǎn)處達(dá)到最高點(diǎn)，不妨取(x1,0)，(x2,0)的中點(diǎn)，此時(shí)φ＝＝π，所以擺線一個(gè)拱的高度為|y|＝2(1－cos π)＝4. 答案：D 3．漸開線(φ為參數(shù))的基圓的圓心在原點(diǎn)，把基圓的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍得到的曲線的兩焦點(diǎn)間的距離為________． 解析：根據(jù)漸開線方程，知基圓的半徑為6，則其圓的方程為x2＋y2＝36，把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到的橢圓方程＋y2＝36，即＋＝1，對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6，0)和(－6，0)，它們之間的距離為12. 答案：12 4．已知圓的漸開線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，則此漸開線對(duì)應(yīng)的基圓的直徑是________，當(dāng)參數(shù)φ＝時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為________． 解析：圓的漸開線的參數(shù)方程由基圓的半徑唯一確定，從方程不難看出基圓的半徑為8，故直線為16，求當(dāng)φ＝時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)只需把φ＝代入曲線的參數(shù)方程，得x＝4＋π，y＝4－π，由此可得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為(4＋π，4－π)． 答案：16　(4＋π，4－π) 5．已知一個(gè)圓的平擺線過一定點(diǎn)(4,0)，請(qǐng)寫出當(dāng)圓的半徑最大時(shí)圓的漸開線的參數(shù)方程． 解析：令y＝0得r(1－cos φ)＝0，即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)． 則x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝4，即得r＝(k∈Z)． 又r>0，易知，當(dāng)k＝1時(shí)，r取最大值為. 圓的漸開線的參數(shù)方程是： (φ為參數(shù))． 6．已知圓C的參數(shù)方程是(α為參數(shù))和直線l對(duì)應(yīng)的普通方程是x－y－6＝0. (1)如果把圓心平移到原點(diǎn)O，請(qǐng)問平移后圓和直線有什么位置關(guān)系？ (2)寫出平移后圓的漸開線方程． 解析：(1)圓C平移后的圓心為O(0,0)，它到直線x－y－6＝0的距離為d＝＝6，恰好等于圓的半徑，所以直線和圓是相切的． (2)由于圓的半徑是6，所以可得平移后圓的漸開線方程是(φ為參數(shù))．