2019年高考數(shù)學(xué) 考點分析與突破性講練 專題15 平面向量概念及線性運算、平面向量基本定理 理.doc

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專題15 平面向量概念及線性運算、平面向量基本定理 一、 考綱要求： 1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義，理解向量的幾何表示. 2.掌握向量加法、減法的運算，理解其幾何意義. 3.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義. 4.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義． 二、概念掌握及解題上的注意點： (1.平面向量的線性運算方法 ①不含圖形的情況：可直接運用相應(yīng)運算法則求解. ②含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解. (2.利用平面向量的線性運算求參數(shù)的一般思路 ①沒有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個點的位置. ②利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式. ③比較、觀察可知所求. (3.選取基向量，向量之間的相互表示，重視平行四邊形法則. ( 4.|a＋b|與|a－b|的幾何意義：以向量a，b為邊所作平行四邊形的兩條對角線的長度. 共線向量定理的三個應(yīng)用 ( 1.證明向量共線：對于向量a，b，若存在實數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線. ( 2.證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使，則A，B，C三點共線. ( 3.求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程組，求參數(shù)的值. 三、高考考題題例分析： 例1.(2015全國卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，＝3，則(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ 【答案】 A 【解析】：(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.故選A． 例2.(2015高考新課標(biāo)1)設(shè)為所在平面內(nèi)一點，則（ ） （A） (B) （C） (D) 【答案】A 【解析】：由題知=，故選A. 例3.(2015湖南)已知點，，在圓上運動，且，若點的坐標(biāo)為，則的最大值為（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】B. 例4.(2015高考北京)在中，點，滿足，．若， 則 ； ． 【答案】 【解析】:特殊化，不妨設(shè)，利用坐標(biāo)法，以A為原點，AB為軸，為軸，建立直角坐標(biāo)系，，，則，. 例5.(2015江蘇高考)已知向量a=，b=, 若ma+nb=(), 則的值為______. 【答案】 【解析】:由題意得： 例6．(2015高考新課標(biāo)2)設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實數(shù)_________． 【答案】 【解析】:因為向量與平行，所以，則所以 例7.（2018全國卷I）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則=（　　） A．﹣ B．﹣ C．+ D．+ 【答案】A． 例8.（2018全國卷III）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），則λ=　?。? 【答案】 例9.（2018天津卷）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120，AB=AD=1．若點E為邊CD上的動點，則的最小值為（　?。? A． B． C． D．3 【答案】 【解析】：如圖所示，以D為原點，以DA所在的直線為x軸， 以DC所在的直線為y軸， 過點B做BN⊥x軸，過點B做BM⊥y軸， ∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120，AB=AD=1， ∴AN=ABcos60=，BN=ABsin60=， ∴DN=1+=， ∴BM=， ∴CM=MBtan30=， ∴DC=DM+MC=， ∴A（1，0），B（，），C（0，）， 平面向量概念及線性運算練習(xí) 一、 選擇題： 1．D是△ABC的邊AB的中點，則向量等于 (　　) A．－＋ B．－－ C．－ D．＋ 【答案】A 【解析】：如圖， ＝＋＝＋ ＝－＋. 2．給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；②若a，b都是單位向量，則a＝b；③向量與相等．則所有正確命題的序號是 (　　) A．①　　　　　　　　 B．③ C．①③ D．①② 【答案】A 3.設(shè)a0為單位向量，下述命題中： ①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0； ②若a與a0平行，則a＝|a|a0； ③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0. 假命題的個數(shù)是 (　　) A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．3 【答案】D　 【解析】：向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3. 4.設(shè)a是非零向量，λ是非零實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)與－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a| C．a(chǎn)與λ2a的方向相同 D．|－λa|≥|λ|a 【答案】C 　【解析】：A中，當(dāng)λ＜0時，a與－λa方向相同，故A不正確；B中，當(dāng)－1＜λ＜1時，|－λa|＜|a|，故B不正確；C中，因為λ2＞0，所以a與λ2a方向相同，故C正確；D中，向量不能比較大小，故D不正確，故選C． 5.給出下列四個命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b； ②若A，B，C，D是不共線的四點，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ③若a＝b，b＝c，則a＝c； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正確命題的序號是 (　　) A．②③　　 B．①② C．③④ D．②④ 【答案】A　 ③正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同， ∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c. ④不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件． 綜上所述，正確命題的序號是②③.故選A． 6．已知＝3，＝a，＝b，＝c，則下列等式中成立的是 (　　) A．c＝b－a B．c＝2b－a C．c＝2a－b D．c＝a－b 【答案】A　 【解析】：因為＝3，＝a，＝b，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝b－a，故選A． 7.設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點，則＋＋＋等于 (　　) A． B．2 C．3 D．4 【答案】 D　 【解析】：因為M是平行四邊形ABCD對角線AC，BD的交點，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4. 8．(2017全國卷Ⅱ)設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則 (　　) A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b| C．a(chǎn)∥b D．|a|＞|b| 【答案】A 9．如圖所示，矩形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若＝λ＋μ(λ，μ為實數(shù))，則λ2＋μ2＝ (　　) A．　　　　B． C．1　　　　D． 【答案】A 【解析】：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－，所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝，故選A． 10．在△ABC中，＝，若P是直線BN上的一點，且滿足＝m＋，則實數(shù)m的值為 (　　) A．－4 B．－1 C．1 D．4 【答案】B 11.已知向量i，j不共線，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三點共線，則實數(shù)m，n應(yīng)滿足的條件是 (　　) A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1 C．mn＝1 D．mn＝－1 【答案】C　 【解析】：因為A，B，D三點共線，所以∥，存在非零實數(shù)λ，使得＝λ，即i＋mj＝λ(ni＋j)，所以(1－λn)i＋(m－λ)j＝0，又因為i與j不共線， 所以 則mn＝1，故選C． 12．設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，D為AB的中點，且＋＋2＝0，則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為 (　　) A．3　　 B．4 C．5　　　　 D．6 【答案】B　 【解析】：如圖，∵D為AB的中點，則＝(＋)，又＋＋2＝0， ∴＝－，∴O為CD的中點， 又∵D為AB中點，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，則＝4. 二、填空題 13．已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點，且向量，，，滿足等式＋＝＋，則四邊形ABCD的形狀為________． 【答案】平行四邊形　 【解析】：由＋＝＋得－＝－， 所以＝，所以四邊形ABCD為平行四邊形． 14．(2015全國卷Ⅱ)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝________. 【答案】12　 【解析】：∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得 15．在△ABC中，點M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________. 【答案】?。? 16．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60，AH⊥BC于點H，M為AH的中點．若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________. 【答案】　 【解析】：因為AB＝2，∠ABC＝60，AH⊥BC，所以BH＝1.因為BC＝3，所以BH＝BC． 因為點M為AH的中點，所以＝＝(＋)＝＝＋，又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝. 三、解答題 17．在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB＝2GE，設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示，. 【答案】a＋b； ＝a＋b. 18．設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. (1)求證：A，B，D三點共線； (2)若＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點共線，求k的值． 【解析】　(1)證明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∵＝2e1－8e2，∴＝2. 又∵與有公共點B， ∴A，B，D三點共線． (2)由(1)可知＝e1－4e2， ∵＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點共線， ∴＝λ(λ∈R)， 即3e1－ke2＝λe1－4λe2， 即解得k＝12. 19．已知O，A，B是不共線的三點，且＝m＋n(m，n∈R). (1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線； (2)若A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1. 【解析】[證明]　(1)若m＋n＝1， 則＝m＋(1－m) ＝＋m(－)， ∴－＝m(－)， 即＝m，∴與共線． 又∵與有公共點B， ∴A，P，B三點共線．