2018版高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理疑難規(guī)律方法學案 蘇教版選修2-3.doc
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第一章 計數(shù)原理 1 兩個計數(shù)原理的靈活應用 計數(shù)問題是數(shù)學中的重要研究對象，除了分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的理論支持，對于較復雜的計數(shù)問題要針對其問題特點，靈活的運用列舉法、列表法、樹形圖法等方法來幫助解決，使問題的解決更加實用、直觀．下面通過典例來說明.1.列舉法 例1 某公司電腦采購員計劃用不超過300元的資金購買單價分別為20元、40元的鼠標和鍵盤，根據(jù)需要，鼠標至少買5個，鍵盤至少買3個，則不同的選購方式共有________種． 解析 依據(jù)選購鼠標和鍵盤的不同個數(shù)分類列舉求解． 若買5個鼠標，則可買鍵盤3、4、5個； 若買6個鼠標，則可買鍵盤3、4個； 若買7個鼠標，則可買鍵盤3、4個； 若買8個鼠標，則可買鍵盤3個； 若買9個鼠標，則可買鍵盤3個． 根據(jù)分類計數(shù)原理，不同的選購方式共有3＋2＋2＋1＋1＝9(種)． 答案 9 點評 本題背景中的數(shù)量不少，要找出關鍵數(shù)字，通過恰當分類和列舉可得．列舉看似簡單，但在解決問題中顯示出其實用性，并且我們還可以通過列舉的方法去尋求問題中的規(guī)律． 2．樹形圖法 例2 甲、乙、丙三人傳球，從甲開始傳出，并記為第一次，經(jīng)過5次傳球，球恰好回到甲手中，則不同的傳球方法的種數(shù)是________． 解析 本題數(shù)字不大，可用樹形圖法，結果一目了然． 如下圖，易知不同的傳球方法種數(shù)為10. 答案 10 點評 應用兩個計數(shù)原理時，如果涉及的問題較抽象，且數(shù)量不太多時，可以用樹狀結構直觀體現(xiàn)． 3．列表法 例3 四個人各寫一張賀年卡，放在一起，然后每個人取一張不是自己寫的賀年卡，共有多少種不同的取法？ 解 把四個人分別編號①、②、③、④，他們寫的4張賀年卡的各種方法全部列舉出來，如下表： 四個人 取賀年卡的方法 ① 2 2 2 3 3 3 4 4 4 ② 1 3 4 1 4 4 1 3 3 ③ 4 4 1 4 1 2 2 1 2 ④ 3 1 3 2 2 1 3 2 1 方法編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由表格可知，共有9種不同的方法． 點評 本題是一個錯排問題，難以直接運用兩個計數(shù)原理計算．借助表格，把各種情況一一列出，使問題直觀解決． 4．直接法 例4 已知某容器中，H有3種同位素，Cl有2種同位素，Na有3種同位素，O有4種同位素，請問共可組成多少種HCl分子和NaOH分子？ 解 因為HCl分子由兩個原子構成，所以分兩步完成：第1步，選擇氫原子，共有3種；第2步，選擇氯原子，共有2種．由分步計數(shù)原理得共有6種HCl分子． 同理，對于NaOH而言，分三步完成：第1步，選擇鈉原子，有3種選法；第2步，選擇氧原子，有4種選法；第3步，選擇氫原子，有3種選法．由分步計數(shù)原理知，共有NaOH分子種數(shù)為343＝36(種)． 點評 當問題情景中的規(guī)律明顯，已符合分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理中的某一類型時，可直接應用公式計算結果，但此法的關鍵是分清是“分類”還是“分步”問題. 2 排列、組合的破解之術 排列、組合，說它難吧，其實挺簡單的，就是分析事件的邏輯步驟，然后計算就可．說簡單吧，排列、組合卻是同學們(包括很多學習很好的同學)最沒把握的事情，同樣難度的幾道題，做順了，三下五除二，幾分鐘內解決問題；做不順，則如一團亂麻，很長時間也理不順思路．下面就來談談破解常見排列、組合模型的常用方法！ 1．特殊元素——優(yōu)先法 對于有特殊要求的元素的排列、組合問題，一般應對有特殊要求的元素優(yōu)先考慮． 例1 將數(shù)字1,2,3,4,5,6排成一列，記第i個數(shù)為ai(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1
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