2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.2 二項分布及其應(yīng)用 2.2.2 事件的相互獨立性學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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2.2.2事件的相互獨立性學(xué)習(xí)目標1.在具體情境中，了解兩個事件相互獨立的概念.2.能利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式解決一些簡單的實際問題知識點一相互獨立的概念甲箱里裝有3個白球、2個黑球，乙箱里裝有2個白球，2個黑球從這兩個箱子里分別摸出1個球，記事件A為“從甲箱里摸出白球”，事件B為“從乙箱里摸出白球”思考1事件A發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率嗎？答案不影響思考2P(A)，P(B)，P(AB)的值為多少？答案P(A)，P(B)，P(AB).思考3P(AB)與P(A)，P(B)有什么關(guān)系？答案P(AB)P(A)P(B)梳理條件設(shè)A，B為兩個事件，若P(AB)P(A)P(B)結(jié)論稱事件A與事件B相互獨立知識點二相互獨立的性質(zhì)條件A與B是相互獨立事件結(jié)論也相互獨立1不可能事件與任何一個事件相互獨立()2必然事件與任何一個事件相互獨立()3如果事件A與事件B相互獨立，則P(B|A)P(B)()4“P(AB)P(A)P(B)”是“事件A，B相互獨立”的充要條件()類型一事件獨立性的判斷例1判斷下列各對事件是不是相互獨立事件：(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；(2)容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”；(3)擲一枚骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點”與“出現(xiàn)3點或6點”考點相互獨立事件的定義題點相互獨立事件的判斷解(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響，所以它們是相互獨立事件(2)“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”的概率為，若這一事件發(fā)生了，則“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的仍是白球”的概率為，若前一事件沒有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為.可見，前一事件是否發(fā)生，對后一事件發(fā)生的概率有影響，所以兩者不是相互獨立事件(3)記A：出現(xiàn)偶數(shù)點，B：出現(xiàn)3點或6點，則A2,4,6，B3,6，AB6，所以P(A)，P(B)，P(AB)，所以P(AB)P(A)P(B)，所以事件A與B相互獨立反思與感悟三種方法判斷兩事件是否具有獨立性(1)定義法：直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響(2)公式法：檢驗P(AB)P(A)P(B)是否成立(3)條件概率法：當P(A)0時，可用P(B|A)P(B)判斷跟蹤訓(xùn)練1一個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)一個家庭中既有男孩又有女孩，B一個家庭中最多有一個女孩對下列兩種情形，討論A與B的獨立性：(1)家庭中有兩個小孩；(2)家庭中有三個小孩考點相互獨立事件的定義題點相互獨立事件的判斷解(1)有兩個小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有4個基本事件，由等可能性知概率都為.這時A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，于是P(A)，P(B)，P(AB).由此可知P(AB)P(A)P(B)，所以事件A，B不相互獨立(2)有三個小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)由等可能性知這8個基本事件的概率均為，這時A中含有6個基本事件，B中含有4個基本事件，AB中含有3個基本事件于是P(A)，P(B)，P(AB)，顯然有P(AB)P(A)P(B)成立從而事件A與B是相互獨立的類型二求相互獨立事件的概率例2小王某天乘火車從重慶到上海去辦事，若當天從重慶到上海的三列火車正點到達的概率分別為0.8,0.7，0.9，假設(shè)這三列火車之間是否正點到達互不影響求：(1)這三列火車恰好有兩列正點到達的概率；(2)這三列火車至少有一列正點到達的概率考點相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算題點求多個相互獨立事件同時發(fā)生的概率解用A，B，C分別表示這三列火車正點到達的事件，則P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9，所以P()0.2，P()0.3，P()0.1.(1)由題意得A，B，C之間互相獨立，所以恰好有兩列火車正點到達的概率為P1P(BC)P(AC)P(AB)P()P(B)P(C)P(A)P()P(C)P(A)P(B)P()0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398.(2)三列火車至少有一列正點到達的概率為P21P( )1P()P()P()10.20.30.10.994.引申探究1在本例條件下，求恰有一列火車正點到達的概率解恰有一列火車正點到達的概率為P3P(A )P(B)P( C)P(A)P()P()P()P(B)P()P()P()P(C)0.80.30.10.20.70.10.20.30.90.092.2若一列火車正點到達計10分，用表示三列火車的總得分，求P(20)解事件“20”表示“至多兩列火車正點到達”，其對立事件為“三列火車都正點到達”，所以P(20)1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)10.80.70.90.496.反思與感悟明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰好有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義一般地，已知兩個事件A，B，它們的概率分別為P(A)，P(B)，那么：(1)A，B中至少有一個發(fā)生為事件AB.(2)A，B都發(fā)生為事件AB.(3)A，B都不發(fā)生為事件 .(4)A，B恰有一個發(fā)生為事件AB.(5)A，B中至多有一個發(fā)生為事件AB .跟蹤訓(xùn)練2甲、乙兩人破譯一密碼，他們能破譯的概率分別為和，求兩人破譯時，以下事件發(fā)生的概率：(1)兩人都能破譯的概率；(2)恰有一人能破譯的概率；(3)至多有一人能破譯的概率考點相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算題點求兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率解記事件A為“甲獨立地破譯出密碼”，事件B為“乙獨立地破譯出密碼”(1)兩個人都破譯出密碼的概率為P(AB)P(A)P(B).(2)恰有一人破譯出密碼分為兩類：甲破譯出乙破譯不出，乙破譯出甲破譯不出，即AB，P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B).(3)至多有一人破譯出密碼的對立事件是兩人都破譯出密碼，其概率為1P(AB)1.類型三相互獨立事件的綜合應(yīng)用例3計算機考試分理論考試與實際操作兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計算機考試“合格”，并頒發(fā)合格證書甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為，在實際操作考試中“合格”的概率依次為，所有考試是否合格相互之間沒有影響(1)假設(shè)甲、乙、丙三人同時進行理論與實際操作兩項考試，誰獲得合格證書的可能性最大？(2)這三人進行理論與實際操作兩項考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率；(3)用X表示甲、乙、丙三人在計算機考試后獲合格證書的人數(shù)，求X的分布列考點相互獨立事件的性質(zhì)及應(yīng)用題點獨立事件與分布列解(1)設(shè)“甲獲得合格證書”為事件A，“乙獲得合格證書”為事件B，“丙獲得合格證書”為事件C，則P(A)，P(B)，P(C).因為P(C)P(B)P(A)，所以丙獲得合格證書的可能性最大(2)設(shè)“三人考試后恰有兩人獲得合格證書”為事件D，則P(D)P(AB )P(A C)P(BC).(3)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X0)，P(X2)P(D)，P(X3)，P(X1)1P(X0)P(X2)P(X3)1.所以X的分布列為X0123P反思與感悟概率問題中的數(shù)學(xué)思想(1)正難則反：靈活應(yīng)用對立事件的概率關(guān)系(P(A)P()1)簡化問題，是求解概率問題最常用的方法(2)化繁為簡：將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系“所求事件”分幾類(考慮加法公式，轉(zhuǎn)化為互斥事件)還是分幾步組成(考慮乘法公式，轉(zhuǎn)化為相互獨立事件)(3)方程思想：利用有關(guān)的概率公式和問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程(組)，通過解方程(組)使問題獲解跟蹤訓(xùn)練3甲、乙兩名籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與p，且乙投球2次均未命中的概率為.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率考點相互獨立事件的性質(zhì)及應(yīng)用題點獨立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用解(1)設(shè)“甲投一次球命中”為事件A，“乙投一次球命中”為事件B.由題意得P()P()，解得P()或P()(舍去)，故p1P()，所以乙投球的命中率為.(2)方法一由題設(shè)知，P(A)，P()，故甲投球2次，至少命中1次的概率為1P()1P()P().方法二由題設(shè)知，P(A)，P()，故甲投球2次，至少命中1次的概率為2P(A)P()P(A)P(A).1壇子里放有3個白球，2個黑球，從中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，則A1與A2是()A互斥事件 B相互獨立事件C對立事件 D不相互獨立事件考點相互獨立事件的定義題點相互獨立事件的判斷答案D解析互斥事件和對立事件是同一次試驗的兩個不同時發(fā)生的事件，故選項A，C錯而事件A1的發(fā)生對事件A2發(fā)生的概率有影響，故兩者是不相互獨立事件2打靶時，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時射擊，則他們同時中靶的概率是()A. B.C. D.考點相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算題點求兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率答案A解析P甲，P乙，所以PP甲P乙.3甲、乙兩人獨立地解決同一問題，甲解決這個問題的概率是p1，乙解決這個問題的概率是p2，那么恰好有1人解決這個問題的概率是()Ap1p2 Bp1(1p2)p2(1p1)C1p1p2 D1(1p1)(1p2)考點相互獨立事件的性質(zhì)及應(yīng)用題點獨立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用答案B解析恰好有1人解決可分為甲解決乙沒解決、甲沒解決乙解決兩種情況，這兩個事件顯然是互斥的，所以恰好有1人解決這個問題的概率為p1(1p2)p2(1p1)，故選B.4在某道路的A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在1分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這段道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為()A. B.C. D.考點相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算題點求多個相互獨立事件同時發(fā)生的概率答案C解析由題意知，每個交通燈開放綠燈的概率分別為，則在這段道路上三處都不停車的概率P.5某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地撥號，假設(shè)撥過了的號碼不再重復(fù)，試求下列事件的概率：(1)第3次撥號才接通電話；(2)撥號不超過3次而接通電話考點相互獨立事件的性質(zhì)及應(yīng)用題點獨立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用解設(shè)Ai第i次撥號接通電話，i1,2,3.(1)第3次撥號才接通電話可表示為12A3，于是所求概率為P(12A3).(2)撥號不超過3次而接通電話可表示為A11A212A3，于是所求概率為P(A11A212A3)P(A1)P(1A2)P(12A3).一般地，兩個事件不可能既互斥又相互獨立，因為互斥事件不可能同時發(fā)生，而相互獨立事件是以它們能夠同時發(fā)生為前提相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，這一點與互斥事件的概率和也是不同的(列表比較)互斥事件相互獨立事件定義不可能同時發(fā)生的兩個事件事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響概率公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)一、選擇題1若P(AB)，P()，P(B)，則事件A與B的關(guān)系是()A事件A與B互斥B事件A與B對立C事件A與B相互獨立D事件A與B既互斥又獨立考點相互獨立事件的定義題點相互獨立事件的判斷答案C解析P(A)1P()1，P(AB)P(A)P(B)，A，B相互獨立2投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率是()A. B. C. D.考點相互獨立事件的性質(zhì)及應(yīng)用題點獨立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用答案A解析因為P(A)，P(B)，所以P()，P().又A，B為相互獨立事件，所以P( )P()P().所以A，B中至少有一個發(fā)生的概率為1P( )1.3甲、乙兩名學(xué)生通過某種聽力測試的概率分別為和，兩人同時參加測試，其中有且只有一人能通過的概率是()A. B. C. D1考點相互獨立事件的性質(zhì)及應(yīng)用題點相互獨立事件性質(zhì)的應(yīng)用答案C解析設(shè)事件A表示“甲通過聽力測試”，事件B表示“乙通過聽力測試”根據(jù)題意，知事件A和B相互獨立，且P(A)，P(B).記“有且只有一人通過聽力測試”為事件C，則CAB，且A和B互斥故P(C)P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B).4從甲袋內(nèi)摸出1個紅球的概率是，從乙袋內(nèi)摸出1個紅球的概率是，從兩袋內(nèi)各摸出1個球，則等于()A2個球不都是紅球的概率B2個球都是紅球的概率C至少有1個紅球的概率D2個球中恰好有1個紅球的概率考點相互獨立事件的性質(zhì)及應(yīng)用題點獨立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用答案C解析至少有1個紅球的概率是. 5設(shè)兩個相互獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率P(A)是()A. B. C. D.考點相互獨立事件的性質(zhì)及應(yīng)用題點相互獨立事件性質(zhì)的應(yīng)用答案D解析由P(A)P(B)，得P(A)P()P(B)P()，即P(A)1P(B)P(B)1P(A)，P(A)P(B)又P( )，則P()P()，P(A).6出租車司機從飯店到火車站途中經(jīng)過六個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨立的，并且概率都是，則這位司機遇到紅燈前，已經(jīng)通過了兩個交通崗的概率為()A. B. C. D.考點相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算題點求多個相互獨立事件同時發(fā)生的概率答案B解析因為這位司機第一、二個交通崗未遇到紅燈，在第三個交通崗遇到紅燈，它們之間相互獨立，且遇到紅燈的概率都是，所以未遇到紅燈的概率都是1，所以P.7同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤甲得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤乙得到的數(shù)為y(若指針停在邊界上則重新轉(zhuǎn))，x，y構(gòu)成數(shù)對(x，y)，則所有數(shù)對(x，y)中，滿足xy4的概率為()A. B.C. D.考點相互獨立事件的性質(zhì)及應(yīng)用題點獨立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用答案C解析滿足xy4的所有可能如下：x1，y4；x2，y2；x4，y1.所求事件的概率為PP(x1，y4)P(x2，y2)P(x4，y1).8在如圖所示的電路圖中，開關(guān)a，b，c閉合與斷開的概率都是，且是相互獨立的，則燈亮的概率是()A. B.C. D.考點相互獨立事件的性質(zhì)及應(yīng)用題點獨立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用答案B解析設(shè)開關(guān)a，b，c閉合的事件分別為A，B，C，則燈亮這一事件EABCABAC，且A，B，C相互獨立，ABC，AB，AC互斥，所以P(E)P(ABCABAC)P(ABC)P(AB)P(AC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P()P(A)P()P(C).二、填空題9某自動銀行設(shè)有兩臺ATM機在某一時刻這兩臺ATM機被占用的概率分別為，則該客戶此刻到達需要等待的概率為_考點相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算題點求兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率答案解析該客戶需要等待意味著這兩臺ATM機同時被占用，故所求概率為P.10事件A，B，C相互獨立，如果P(AB)，P(C)，P(AB)，則P(B)_，P(B)_.考點相互獨立事件的性質(zhì)及應(yīng)用題點相互獨立事件性質(zhì)的應(yīng)用答案解析P(AB)P(AB)P()P()，P()，即P(C).又P(C)P()P(C)，P()，P(B).又P(AB)，則P(A)，P(B)P()P(B).11某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出2個問題，即停止答題，晉級下一輪假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于_考點相互獨立事件的性質(zhì)及應(yīng)用題點相互獨立事件性質(zhì)的應(yīng)用答案0.128解析由已知條件知，第2個問題答錯，第3,4個問題答對，記“問題回答正確”事件為A，則P(A)0.8，故PP(A)AA1P(A)P(A)P(A)0.128.三、解答題12要生產(chǎn)一種產(chǎn)品，甲機床的廢品率為0.04，乙機床的廢品率為0.05，從甲、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各任取1件，求：(1)至少有1件廢品的概率；(2)恰有1件廢品的概率考點相互獨立事件的性質(zhì)及應(yīng)用題點獨立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用解從甲、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各取1件是廢品分別記為事件A，B，則事件A，B相互獨立(1)設(shè)至少有1件廢品為事件C，則P(C)1P( )1P()P()1(10.04)(10.05)0.088.(2)設(shè)“恰有1件廢品”為事件D，則P(D)P(A )P(B)0.04(10.05)(10.04)0.050.086.13某校設(shè)計了如下有獎闖關(guān)游戲：參賽選手按第一關(guān)，第二關(guān)，第三關(guān)的順序依次闖關(guān)，若闖關(guān)成功，分別獲得5個學(xué)豆，10個學(xué)豆，20個學(xué)豆的獎勵，游戲還規(guī)定，當選手闖過一關(guān)后，可以選擇帶走相應(yīng)的學(xué)豆，結(jié)束游戲；也可以選擇繼續(xù)闖下一關(guān)，若有任何一關(guān)沒有闖關(guān)成功，則全部學(xué)豆歸零，游戲結(jié)束設(shè)選手甲第一關(guān)，第二關(guān)，第三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別為，選手選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為，且各關(guān)之間闖關(guān)成功與否互不影響(1)求選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率；(2)設(shè)該選手所得學(xué)豆總數(shù)為X，求X的分布列考點相互獨立事件的性質(zhì)及應(yīng)用題點獨立事件與分布列解(1)設(shè)“甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零”為事件A，“第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A1，“前兩關(guān)闖關(guān)成功第三關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A2，則A1，A2互斥P(A1)，P(A2)，P(A)P(A1)P(A2)，所以選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率為.(2)由題意得X的所有可能取值為0,5,15,35，P(X0)P(A)，P(X5)，P(X15)，P(X35).所以X的分布列為X051535P四、探究與拓展14甲、乙兩人參加一次考試，已知在備選的10道題中，甲能答對其中6道題，乙能答對其中8道題若規(guī)定每人每次考試都從這10道題中隨機抽出3道題進行測試，且至少答對2道題算合格，則甲、乙兩人分別參加一次考試，至少有一人考試合格的概率為()A. B. C. D.考點相互獨立事件的性質(zhì)及應(yīng)用題點獨立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用答案C解析設(shè)事件A表示“甲考試合格”，事件B表示“乙考試合格”，則P(A)，P(B).所以甲、乙兩人考試都不合格的概率為P( )P()P()，則甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為1P( )1.15在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物市場價格(元/kg)610概率0.40.6設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列考點題點解設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場價格為6 元/kg”，由題設(shè)知P(A)0.5，P(B)0.4.利潤產(chǎn)量市場價格成本，X所有可能的取值為500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,30061 000800.P(X4 000)P()P()(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P()P(B)P(A)P()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，所以X的分布列為X4 0002 000800P0.30.50.2