2018-2019學年高中數學 第二講 參數方程 一 曲線的參數方程 1 參數方程的概念講義（含解析）新人教A版選修4-4.doc

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1．參數方程的概念 　 1．參數方程的概念 在平面直角坐標系中，曲線上任一點的坐標x，y都是某個變數t(θ，φ，…)的函數：①，并且對于每一個t的允許值，方程組①所確定的點(x，y)都在這條曲線上，那么方程組①就叫這條曲線的參數方程，聯系變數x，y的變數t叫做參變數，簡稱參數．相對于參數方程而言，直接給出坐標間關系的方程叫做普通方程． 2．參數的意義 參數是聯系變數x，y的橋梁，可以是有物理意義或幾何意義的變數，也可以是沒有明顯實際意義的變數． 參數方程表示的曲線上的點 　　[例1]　已知曲線C的參數方程為(t為參數)． (1)判斷點A(1,0)，B(5,4)，E(3,2)與曲線C的位置關系； (2)若點F(10，a)在曲線C上，求實數a的值． [解]　(1)把點A(1,0)的坐標代入方程組，解得t＝0，所以點A(1,0)在曲線上．把點B(5,4)的坐標代入方程組，解得t＝2，所以點B(5,4)也在曲線上．把點E(3,2)的坐標代入方程組，得到即故方程組無解，所以點E不在曲線上． (2)因為點F(10，a)在曲線C上， 所以解得或所以a＝6. 參數方程是曲線方程的另一種表達形式，點與曲線位置關系的判斷，與平面直角坐標方程下的判斷方法是一致的． 1．已知點M(2，－2)在曲線C：(t為參數)上，則其對應的參數t的值為________． 解析：由t＋＝2，解得t＝1. 答案：1 2．已知某條曲線C的參數方程為(其中t為參數，a∈R)．點M(5,4)在該曲線上，求常數a. 解：∵點M(5,4)在曲線C上，∴解得 ∴a的值為1. 求曲線的參數方程 [例2]　如圖，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰長為a，頂點B，A分別在x軸、y軸上滑動，求點P在第一象限的軌跡的參數方程． [思路點撥]　解決此類問題關鍵是參數的選取．本例中由于A，B的滑動而引起點P的運動，故可以OB的長為參數，或以角為參數，此時不妨取BP與x軸正向夾角為參數來求解． [解]　法一：設P點的坐標為(x，y)，過P點作x軸的垂線交x軸于Q.如圖所示，則Rt△OAB≌Rt△QBP.取OB＝t，t為參數(0＜t＜a)．∵|OA|＝，∴|BQ|＝.∴點P在第一象限的軌跡的參數方程為(0＜t＜a)． 法二：設點P的坐標為(x，y)，過點P作x軸的垂線交x軸于點Q，如圖所示．取∠QBP＝θ，θ為參數，則∠ABO＝－θ.在Rt△OAB中，|OB|＝acos＝asin θ.在Rt△QBP中，|BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ.∴點P在第一象限的軌跡的參數方程為 求曲線參數方程的主要步驟 (1)畫出軌跡草圖，設M(x，y)是軌跡上任意一點的坐標．畫圖時要注意根據幾何條件選擇點的位置，以利于發(fā)現變量之間的關系． (2)選擇適當的參數．參數的選擇要考慮以下兩點：一是曲線上每一點的坐標x，y與參數的關系比較明顯，容易列出方程；二是x，y的值可以由參數唯一確定．例如，在研究運動問題時，通常選時間為參數；在研究旋轉問題時，通常選旋轉角為參數．此外，離某一定點的“有向距離”、直線的傾斜角、斜率、截距等也常常被選為參數． (3)根據已知條件、圖形的幾何性質、問題的物理意義等，建立點的坐標與參數的函數關系式，證明可以省略． 3．設飛機以v＝150 m/s 作水平勻速飛行，若在飛行高度h＝490 m處投彈，求炸彈離開飛機后的軌跡方程(設炸彈的初速度等于飛機的速度)．(g＝9.8 m/s 2) 解：如圖，A為投彈點，坐標為(0,490)，B為目標．記炸彈飛行的時間為t，在A點t＝0，設M(x，y)為飛行曲線上的任一點，它對應時刻t，炸彈初速度v0＝150 m/s，用物理學知識，分別計算水平、豎直方向上的路程，得(t為參數)，即(t為參數)，這是炸彈飛行曲線的參數方程． 一、選擇題 1．下列方程可以作為x軸的參數方程的是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選D　x軸上的點橫坐標可取任意實數，縱坐標為0. 2．當參數θ變化時，由點P(2cos θ，3sin θ)所確定的曲線過點(　　) A．(2,3) B．(1,5) C. D．(2,0) 解析：選D　當2cos θ＝2，即cos θ＝1時，3sin θ＝0，所以過點(2,0)． 3．在方程(θ為參數)所表示的曲線上的一點的坐標為(　　) A．(2，－7) B. C. D．(1,0) 解析：選C　將點的坐標代入參數方程，若能求出θ，則點在曲線上，經檢驗，知C滿足條件． 4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t為參數)所表示的一族圓的圓心的軌跡方程為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　設(x，y)為所求軌跡上任一點．由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0，得(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2，∴ 二、填空題 5．已知曲線(θ為參數，0≤θ＜2π)，下列各點A(1,3)，B(2,2)，C(－3,5)，其中在曲線上的點是________． 解析：將A點坐標代入方程得：θ＝0或π，將B，C點坐標代入方程，方程無解，故A點在曲線上． 答案：A(1,3) 6．若曲線經過點，則a＝________. 解析：將點代入曲線方程得cos θ＝，a＝2sin θ＝2 ＝. 答案： 7．動點M作勻速直線運動，它在x軸和y軸方向的分速度分別為9和12，運動開始時，點M位于A(1,1)，則點M的參數方程為__________． 解析：設M(x，y)，則在x軸上的位移為x＝1＋9t，在y軸上的位移為y＝1＋12t.∴其參數方程為 答案： 三、解答題 8.如圖，已知定點A(2,0)，點Q是圓C：x2＋y2＝1上的動點，∠AOQ的平分線交AQ于點M，當Q在圓C上運動時，求點M的軌跡的參數方程． 解：設點O到AQ的距離為d， 則|AM| d＝|OA||OM|sin ∠AOM， |QM|d＝|OQ||OM|sin ∠QOM， 又∠AOM＝∠QOM， 所以＝＝2，所以＝AQ―→. 設點Q(cos θ，sin θ)，M(x，y)， 則(x－2，y－0)＝(cos θ－2，sin θ－0)， 即x＝＋cos θ，y＝sin θ， 故點M的軌跡的參數方程為(θ為參數)． 9.某飛機進行投彈演習，已知飛機離地面高度為H＝2 000 m，水平飛行速度為v1＝100 m/s，如圖所示． (1)求飛機投彈t s后炸彈的水平位移和離地面的高度； (2)如果飛機追擊一輛速度為v2＝20 m/s同向行駛的汽車，欲使炸彈擊中汽車，飛機應在距離汽車的水平距離多遠處投彈？(g＝10 m/s2) 解：(1)建立如圖所示的平面直角坐標系，設炸彈投出機艙的時刻為0 s，在時刻t s時其坐標為M(x，y)， 易知炸彈在飛行時作平拋運動， 依題意得 即 令y＝2 000－5t2＝0，得t＝20， 所以飛機投彈t s后炸彈的水平位移為100t m，離地面的高度為(2 000－5t2)m，其中0≤t≤20. (2)易知炸彈的水平方向運動和汽車的運動均為勻速直線運動．以汽車為參考系，水平方向上s相對＝v相對t，所以飛機應距離汽車投彈的水平距離為s＝(v1－v2)t＝(100－20)20＝1 600 m. 10．試確定過M(0,1)作橢圓x2＋＝1的弦的中點的軌跡方程． 解：設過M(0,1)的弦所在的直線方程為y＝kx＋1， 其與橢圓的交點為(x1，y1)和(x2，y2)． 設中點P(x，y)，則有x＝，y＝. 由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0， ∴x1＋x2＝，y1＋y2＝， ∴就是以動弦斜率k為參數的動弦中點的軌跡方程．