2018版高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理章末復習課學案 蘇教版選修2-3.doc

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第一章 計數(shù)原理 學習目標　1.歸納整理本章的知識要點.2.能結合具體問題的特征，合理選擇兩個計數(shù)原理來分析和解決一些簡單的實際問題.3.理解排列、組合的概念，能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)和組合數(shù)公式，掌握組合數(shù)的兩個性質，并能用它們解決實際問題.4.掌握二項式定理和二項展開式的性質，并能應用它們解決與二項展開式有關的計算和證明問題． 1．分類計數(shù)原理 完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝____________________種不同的方法． 2．分步計數(shù)原理 完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N＝____________________________ 種不同的方法． 3．排列數(shù)與組合數(shù)公式及性質 排列與排列數(shù) 組合與組合數(shù) 公式 排列數(shù)公式A＝n(n－1)(n－2)…____________ ＝____________ 組合數(shù)公式C＝________ ＝________________________ ＝________________ 性質 當m＝n時，A為全排列；A＝n?。??。絖_____ C＝C＝1； C＝________； C＋C＝________ 備注 n，m∈N*，且m≤n 4.二項式定理 (1)二項式定理的內(nèi)容： (a＋b)n＝______________________________________________________________. (2)通項公式：Tk＋1＝Can－kbk，k∈{0,1,2，…，n}． (3)二項式系數(shù)的性質： ①與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等； ②若n為偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大；若n為奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大． ③C＋C＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1. 類型一　數(shù)學思想方法在求解計數(shù)問題中的應用 例1　車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當車工又能當鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則有多少種選派方法？ 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　解含有約束條件的排列、組合問題，應按元素的性質進行分類，分類時需要滿足兩個條件：(1)類與類之間要互斥(保證不重復)．(2)總數(shù)要完備(保證不遺漏)． 跟蹤訓練1　從1,2,3,4,5,6這6個數(shù)字中，任取3個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中若有1和3時，3必須排在1的前面；若只有1和3中的一個時，它應排在其他數(shù)字的前面，這樣不同的三位數(shù)共有________個．(用數(shù)字作答) 例2　設集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3滿足a16包含的情況較少，當a3＝9時，a2取2，a1取1一種情況，利用正難則反思想解決． 集合S的含有三個元素的子集的個數(shù)為C＝84.在這些含有三個元素的子集中能滿足a16的集合只有{1,2,9}，故滿足題意的集合A的個數(shù)為84－1＝83. 跟蹤訓練2　30 解析　從4人中選出兩個人作為一個元素有C種方法， 同其他兩個元素在三個位置上排列有CA＝36(種)方案，其中有不符合條件的， 即學生甲、乙同時參加同一競賽有A種結果， ∴不同的參賽方案共有36－6＝30(種)． 例3　解　(1)第一步先將4個舞蹈節(jié)目捆綁起來，看成1個節(jié)目，與6個演唱節(jié)目一起排，有A＝5 040(種)方法；第二步再松綁，給4個節(jié)目排序，有A＝24(種)方法． 根據(jù)分步計數(shù)原理，一共有5 04024＝120 960(種)安排順序． (2)第一步將6個演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“□”)，一共有A＝720(種)方法． □□□□□□ 第二步再將4個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個演唱節(jié)目中間，這樣相當于7個“”選4個來排，一共有A＝840(種)方法． 根據(jù)分步計數(shù)原理，一共有720840＝ 604 800(種)安排順序． (3)若所有節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有A種排法，但原來的節(jié)目已定好順序，需要消除，所以節(jié)目演出的方式有＝A＝132(種)排列． 跟蹤訓練3　130 解析　由“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”考慮x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，設集合M＝{0}，N＝{－1,1}． 當x1，x2，x3，x4，x5中有2個取值為0時，另外3個從N中取，共有C23種方法； 當x1，x2，x3，x4，x5中有3個取值為0時，另外2個從N中取，共有C22種方法； 當x1，x2，x3，x4，x5中有4個取值為0時，另外1個從N中取，共有C2種方法． 故總共有C23＋C22＋C2＝130(種)方法，即滿足題意的元素個數(shù)為130. 例4　解　(1)由C(－2)4∶C(－2)2＝56∶3，解得n＝10， 因為通項Tr＋1＝C()10－rr ＝(－2)rC，r＝0,1,2，…，10. 當5－為整數(shù)時，r可取0,6， 于是有理項為T1＝x5和T7＝13 440. (2)設第r＋1項系數(shù)的絕對值最大，則 解得又因為r∈{1,2,3，…，9}， 所以r＝7，當r＝7時，T8＝－15 360， 又因為當r＝0時，T1＝x5， 當r＝10時， T11＝(－2)10＝1 024， 所以系數(shù)的絕對值最大的項為T8＝－15 360. (3)原式＝10＋9C＋81C＋…＋910－1C ＝ ＝ ＝＝. 跟蹤訓練4　解　(1)令x＝1，得二項式n展開式中各項系數(shù)之和為(5－1)n＝4n，各項二項式系數(shù)之和為2n， 由題意，得4n＝162n，所以2n＝16，n＝4. (2)通項Tr＋1＝C(5x)4－rr ＝(－1)rC54－r 展開式中二項式系數(shù)最大的項是第3項 T3＝(－1)2C52x＝150x. (3)由(2)，得4－r∈Z(r＝0,1,2,3,4)，即r＝0,2,4，所以展開式中所有x的有理項為 T1＝(－1)0C54x4＝625x4， T3＝(－1)2C52x＝150x， T5＝(－1)4C50x－2＝x－2. 例5　解　(1)(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5， a2是展開式中x2的系數(shù)， ∴a2＝C(－1)5C(－2)3＋C(－1)4C(－2)4＋C(－1)3C(－2)5＝800. (2)令x＝1，代入已知式，可得 a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0， 而令x＝0，得a0＝32， ∴a1＋a2＋…＋a10＝－32. (3)令x＝－1，可得 (a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65， 再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0， 把這兩個等式相乘可得， (a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝650＝0. 跟蹤訓練5　5 解析　令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5， 令x＝3，則a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11 ＝(32＋1)(3－3)9＝0， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5. 當堂訓練 1．60　2.2　3.216　4.364　5.300