《2018-2019學年高中數(shù)學 第2章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.1(第一課時)歸納推理講義(含解析)蘇教版選修2-2.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2018-2019學年高中數(shù)學 第2章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.1(第一課時)歸納推理講義(含解析)蘇教版選修2-2.doc(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
2.1.1 合情推理
第一課時 歸納推理
問題1:我們知道銅、鐵、鋁、金、銀都是金屬,它們有何物理性質?
提示:都能導電.
問題2:由問題1你能得出什么結論?
提示:一切金屬都能導電.
問題3:最近中國健康報報道了人的血壓和年齡一組數(shù)據(jù),先觀察表中數(shù)據(jù)的特點,用適當?shù)臄?shù)填入表中.
年齡(歲)
30
35
40
45
50
55
60
65
收縮壓(水銀柱/毫米)
110
115
120
125
130
135
145
舒張壓(水銀柱/毫米)
70
73
75
78
80
83
88
提示:140 85
問題4:由問題3中的數(shù)據(jù)你還能得出什么結論?
提示:隨著人的年齡增長,人的血壓在增高.
問題5:數(shù)列{an}的前五項為1,3,5,7,9試寫出an.
提示:an=2n-1(n∈N*).
1.推理
(1)推理的定義
從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為推理.
(2)推理的組成
任何推理都包含前提和結論兩個部分,前提是推理所依據(jù)的命題,它告訴我們已知的知識是什么;結論是根據(jù)前提推得的命題,它告訴我們推出的知識是什么.
2.歸納推理
(1)歸納推理的定義
從個別事實中推演出一般性的結論,像這樣的推理通常稱為歸納推理.
(2)歸納推理的思維過程如圖
→→
(3)歸納推理的特點
①歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象,歸納所得的結論是尚屬未知的一般現(xiàn)象,該結論超越了前提所包容的范圍.
②由歸納推理得到的結論具有猜測的性質,結論是否真實,還需經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗,因此,它不能作為數(shù)學證明的工具.
③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理,通過歸納推理得到的猜想,可以作為進一步研究的起點,幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題.
1.歸納推理是從特殊到一般,具體到抽象的推理形式.因此,由歸納得到的結論超越了前提所包容的范圍.
2.歸納是根據(jù)若干已知的條件(現(xiàn)象)推斷未知結論(現(xiàn)象),因而,結論(現(xiàn)象)具有猜測的性質.
3.歸納的前提是特殊現(xiàn)象,歸納是立足于觀察、經(jīng)驗或實驗的基礎上的.
4.觀察和實驗是進行歸納推理的最基本條件,是歸納推理的基礎,通過觀察和實驗,為知識的總結和歸納提供依據(jù).
5.由歸納推理所得到的結論未必是可靠的,但是它由特殊到一般,由具體到抽象的認識功能,對于科學的發(fā)現(xiàn)卻是十分有用的,是進行科學研究的最基本的方法之一.
歸納推理在數(shù)列中的應用
[例1] 已知數(shù)列{an}的第1項a1=1,且an+1=(n=1,2,…),求出a2,a3,a4,并推測an.
[思路點撥] 數(shù)列的通項公式表示的是數(shù)列{an}的第n項an與序號n之間的對應關系,根據(jù)已知的遞推公式,求出數(shù)列的前幾項,觀察出n與an的關系即可解決.
[精解詳析] 當n=1時,a1=1;
當n=2時,a2==;
當n=3時,a3==;
當n=4時,a4==.
觀察可得,數(shù)列的前4項等于相應序號的倒數(shù).由此猜想,這個數(shù)列的通項公式為
an=.
[一點通] 在求數(shù)列的通項與前n項和時,經(jīng)常用歸納推理得出結論.這就需要在進行歸納推理時要先轉化為一個統(tǒng)一的形式,分出變化部分和不變部分,重點分析變化規(guī)律與n的關系,往往會較簡捷地獲得結論.
1.已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=.求出a1,a2,a3,a4,并推測an.
解:∵Sn=,∴a1=,∴a=1.
又∵an>0,∴a1=1;
a1+a2=,即1+a2=,∴a2=-1;
a1+a2+a3=,
即+a3=,∴a3=-;
a1+a2+a3+a4=,
∴+a4=,∴a4=2-;
觀察可得,an=-.
2.已知數(shù)列{an}中,a2=6,=n.
(1)求a1,a3,a4;
(2)猜想數(shù)列{an}的通項公式.
解:(1)由a2=6,=1,得a1=1.
由=2,得a3=15.
由=3,得a4=28.
故a1=1,a3=15,a4=28.
(2)由a1=1=1(21-1);
a2=6=2(22-1);
a3=15=3(23-1);
a4=28=4(24-1),
…
猜想an=n(2n-1).
歸納推理在不等式中的應用
[例2] 對任意正整數(shù)n,試歸納猜想2n與n2的大小關系.
[思路點撥] →→→
[精解詳析] 當n=1時,21>12;
當n=2時,22=22;
當n=3時,23<32;
當n=4時,24=42;
當n=5時,25>52;
當n=6時,26>62.
歸納猜想,當n=3時,2n
43;
n=4時,45>54,n=5時;56>65.
據(jù)此猜想,當n<3時,nn+1<(n+1)n,
n≥3時,nn+1>(n+1)n.
歸納推理在圖形推理中的應用
[例3] 古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù),如圖:
由于圖中1,3,6,10這些數(shù)能夠表示成三角形,故被稱為三角形數(shù),試結合組成三角形的數(shù)的特點,歸納第n個三角形數(shù).
[思路點撥] 將1,3,6,10分別寫成,,,,據(jù)此可完成本題的求解.
[精解詳析] 觀察項與項數(shù)的關系特點如下:
項
1
2
3
4
項數(shù)
分析:項的各分母均為2,分子分別為相應項數(shù)與相應項數(shù)與1和的積.
歸納:第n個三角形數(shù)應為(n∈N*).
[一點通] 此類圖形推理問題涉及的圖形構成的元素一般為點.題目類型為已知幾個圖形,圖形中元素的數(shù)量呈現(xiàn)一定的變化,這種數(shù)量變化存在著簡單的規(guī)律性,如點的數(shù)目的遞增關系或遞減關系,依據(jù)此規(guī)律求解問題,一般需轉化為求數(shù)列的通項公式或前n項和等.
5.下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖:
設第n個圖有an個樹枝,則an+1與an(n≥1)之間的關系是________________.
解析:由圖可得,第一個圖形有1根樹枝,a1=1,
第2個圖形有3根樹枝,即a2=3,同理可知:
a3=7, a4=15,a5=31.
歸納可知:a2=3=21+1=2a1+1,
a3=7=23+1=2a2+1,
a4=15=27+1=2a3+1,
a5=31=215+1=2a4+1,
由歸納推理可猜測:an+1=2an+1.
答案:an+1=2an+1
6.根據(jù)下圖中5個圖形及相應點的個數(shù)的變化規(guī)律,試猜想第n個圖中點的個數(shù).
解析:圖中點的個數(shù)依次為:1,3,7,13,21.
又1=1+01;3=1+12;7=1+23,13=1+34,21=1+45.
結合項數(shù)與項的關系猜想第n個圖中點的個數(shù)為:1+(n-1)n,即為n2-n+1(n∈N*).
答案:n2-n+1(n∈N*)
歸納推理在數(shù)陣中的應用
[例4] 如圖是楊輝三角的前5行,請試寫出第8行,并歸納、猜想一般規(guī)律.
[思路點撥] 由楊輝三角的前5行總結各行數(shù)字的規(guī)律,由此尋找第8行的數(shù)字,整體觀察楊輝三角可得到多個有趣的規(guī)律.
[精解詳析] 第8行:1 7 21 35 35 21 7 1.
一般規(guī)律:
(1)每行左、右的數(shù)字具有對稱性;
(2)兩斜邊的數(shù)字都是1,其余數(shù)字等于它肩上兩數(shù)字之和;
(3)奇數(shù)行中間一項最大,偶數(shù)行中間兩項相等且最大.
[一點通] 解決此類數(shù)陣問題時,通常利用歸納推理,其步驟如下:
(1)明確各行、各列數(shù)的大??;
(2)分別歸納各行、各列中相鄰兩個數(shù)的大小關系;
(3)按歸納出的規(guī)律寫出一個一般性的結論.
7.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣,如圖所示,則數(shù)陣中第n(n≥3)行的從左至右的第3個數(shù)是________.
解析:第1行,第2行,第3行,…分別有1,2,3,…個數(shù)字,且每個數(shù)字前后差1,則第n-1行的最后一個數(shù)字加3即為第n(n≥3)行的從左至右的第3個數(shù),前n-1行共有數(shù)字1+2+3+…+(n-1)=,則第n(n≥3)行的從左至右的第3個數(shù)為+3=.
1
2 4
3 5 7
6 8 10 12
9 11 13 15 17
14 16 18 20 2224
… … … … ………
答案:
8.把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了右邊所示的三角形數(shù)表,設aij(i,j∈N*)是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j行.如a42=8,若aij=2 009.則i和j的和為________.
解析:由三角形數(shù)表可以看出其奇數(shù)行為奇數(shù)列,偶數(shù)行為偶數(shù)列,2 009=21 005-1,所以2 009為第1 005個奇數(shù),又前31個奇數(shù)行內數(shù)的個數(shù)的和為961,前32個奇數(shù)行內數(shù)的個數(shù)的和為1 024,故2 009在第32
個奇數(shù)行內,所以i=63,因為第63行的第一個數(shù)為2962-1=1 923,2 009=1 923+2(m-1),所以m=44,即j=44,所以i+j=107.
答案:107
1.歸納推理的一般步驟
(1)通過觀察某類事物個別情況,發(fā)現(xiàn)某些相同性質.
(2)對這些性質進行歸納整理,得到一個合理的結論.
(3)猜想這個結論對該類事物都成立.
2.歸納推理應注意的問題
歸納推理可從具體事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,但應注意,僅根據(jù)一系列有限的特殊事例,所得出的一般結論不一定可靠,其結論的正確與否,還要經(jīng)過嚴格的理論證明.
一、填空題
1.(陜西高考)觀察下列等式
(1+1)=21
(2+1)(2+2)=2213
(3+1)(3+2)(3+3)=23135
…
照此規(guī)律, 第n個等式可為________________.
解析:觀察規(guī)律可知,左邊為n項的積,最小項和最大項依次為(n+1),(n+n),右邊為連續(xù)奇數(shù)之積乘以2n,則第n個等式為:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n135…
(2n-1).
答案:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n135…(2n-1)
2.已知f1(x)=cos x,f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),f4(x)=f3′(x),…,fn(x)=fn-1′(x),則f2 014(x)=________.
解析:f1(x)=cos x,f2(x)=f1′(x)=-sin x,
f3(x)=f2′(x)=-cos x,f4(x)=f3′(x)=sin x,
f5(x)=f4′(x)=cos x,…再繼續(xù)下去會重復出現(xiàn),周期為4,
∴f2 014(x)=f2(x)=-sin x.
答案:-sin x
3.根據(jù)三角恒等變換,可得到如下等式:
cos θ=cos θ;
cos 2θ=2cos2 θ-1;
cos 3θ=4cos3 θ-3cos θ;
cos 4θ=8cos4 θ-8cos2 θ+1;
cos 5θ=16cos5 θ-20cos3 θ+5cos θ
依照規(guī)律猜想cos 6θ=32cos6 θ+mcos4 θ+ncos2 θ-1.
則m+n=________.
解析:根據(jù)三角恒等變換等式可知,各項系數(shù)與常數(shù)項的和是1,
即32+m+n-1=1.
∴m+n=-30.
答案:-30
4.已知an=n,把數(shù)列{an}的各項排成如下的三角形:
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
……
記A(s,t)表示第s行的第t個數(shù),則A(11,12)=________.
解析:每行對應的元素個數(shù)分別為1,3,5 …,那么第10行最后一個數(shù)為a100,則第11行的第12個數(shù)為a112,即A(11,12)=a112=112.
答案:112
5.經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)下列不等式:+<2,+<2, +<2,…,根據(jù)以上不等式的規(guī)律,試寫出一個對正實數(shù)a,b都成立的條件不等式:________.
解析:2+18=20,4.5+15.5=20,3++17-=20,…,即各不等式左邊兩根號內的數(shù)之和等于20,右側均為2.
答案:當a+b=20,a,b∈(0,+∞)時,有+≤2
二、解答題
6.已知 =2, =3, =4,…,若 =6(a,b均為實數(shù)),請推測a,b的值.
解:由前面三個等式,推測歸納被開方數(shù)的整數(shù)部分與分數(shù)部分的關系,發(fā)現(xiàn)規(guī)律.
由三個等式,知整數(shù)部分和分數(shù)部分的分子相同,
而分母是這個分子的平方減1,
由此推測 中,a=6,b=62-1=35,
即a=6,b=35.
7.在平面內觀察:凸四邊形有2條對角線,凸五邊形有5條對角線,凸六邊形有9條對角線……由此猜出凸n邊形有幾條對角線?
解:凸四邊形有2條對角線,凸五邊形有5條對角線,比凸四邊形多3條;凸六邊形有9條對角線,比凸五邊形多4條;…
于是猜想凸n邊形的對角線條數(shù)比凸n-1邊形多n-2條對角線,由此凸n邊形對角線條數(shù)為2+3+4+5+…+(n-2)=n(n-3)(n≥4,n∈N*).
8.觀察:①tan 10tan 20+tan 20tan 60+tan 60tan 10=1;
②tan 5tan 10+tan 10tan 75+tan 75tan 5=1.
由以上兩式成立且有一個從特殊到一般的推廣,此推廣是什么?并證明你的推廣.
解:觀察到10+20+60=90,5+10+75=90,
因此猜測此推廣為α+β+γ=,
且α、β、γ都不為kπ+,k∈Z,
則tan αtan β+tan β tan γ+tan αtan γ=1.
證明如下:由α+β+γ=得α+β=-γ,
∴tan(α+β)=tan=cot γ.
又∵tan(α+β)=,
∴tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)
=cot γ(1-tan αtan β).
∴tan αtan β+tan β tan γ+tan γtan α
=tan γ(tan α+tan β)+tan αtan β
=tan γ(1-tan αtan β)cot γ+tan αtan β
=1-tan αtan β+tan αtan β=1.
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