2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.1 第2課時 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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第2課時　分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的應(yīng)用 學(xué)習目標　鞏固分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，并能靈活應(yīng)用這兩個計數(shù)原理解決實際問題． 知識點一　兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系 分類計數(shù)原理 分步計數(shù)原理 相同點 用來計算完成一件事的方法種類 不同點 分類完成，類類相加 分步完成，步步相乘 每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事 每步依次完成才算完成這件事(每步中的一種方法不能獨立完成這件事) 注意點 類類獨立，不重不漏 步步相依，步驟完整 知識點二　兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用 解決較為復(fù)雜的計數(shù)問題，一般要將兩個計數(shù)原理綜合應(yīng)用．使用時要做到目的明確，層次分明，先后有序，還需特別注意以下兩點： (1)合理分類，準確分步：處理計數(shù)問題，應(yīng)扣緊兩個原理，根據(jù)具體問題首先弄清楚是“分類”還是“分步”，要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標準．分類時需要滿足兩個條件：①類與類之間要互斥(保證不重復(fù))；②總數(shù)要完備(保證不遺漏)，也就是要確定一個合理的分類標準．分步時應(yīng)按事件發(fā)生的連貫過程進行分析，必須做到步與步之間互相獨立，互不干擾，并確保連續(xù)性． (2)特殊優(yōu)先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的計數(shù)問題，一般應(yīng)優(yōu)先安排特殊元素，優(yōu)先確定特殊位置，再考慮其他元素與其他位置，體現(xiàn)出解題過程中的主次思想． 類型一　排數(shù)問題 例1　用0,1,2,3,4五個數(shù)字， (1)可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼？ (2)可以排成多少個三位數(shù)？ 引申探究 由本例中的五個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　對于組數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則： (1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵．一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解． (2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位． 跟蹤訓(xùn)練1　用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個．(用數(shù)字作答) 類型二　抽取(分配)問題 例2　如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為________． 反思與感悟　解決抽取(分配)問題的方法 (1)當涉及對象數(shù)目不大時，一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法． (2)當涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接使用分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理．一般地，若抽取是有順序的就按分步進行；若是按對象特征抽取的，則按分類進行；②間接法：去掉限制條件，計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可． 跟蹤訓(xùn)練2　有四位同學(xué)參加三項不同的競賽． (1)每位學(xué)生必須參加且只能參加一項競賽，有多少種不同結(jié)果？ (2)每項競賽只許一位學(xué)生參加，有多少種不同的結(jié)果？ 　 　 　 　 　 　 　 　 類型三　涂色與種植問題 引申探究 若本例中的區(qū)域改為如圖所示，其他條件均不變，則不同的涂法共有多少種？ ① ② ④ ③ 例3　將紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？ 1 2 3 4 　 　 反思與感悟　涂色問題的四個解答策略 涂色問題是考查計數(shù)方法的一種常見問題，由于這類問題常常涉及分類與分步，所以在高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，處理這類問題的關(guān)鍵是要找準分類標準，求解涂色問題一般是直接利用兩個計數(shù)原理求解，常用的方法有： (1)按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù)，并用分步計數(shù)原理計算． (2)以顏色為主分類討論法，適用于“區(qū)域、點、線段”問題，用分類計數(shù)原理計算． (3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題． (4)對于不相鄰的區(qū)域，常分為同色和不同色兩類，這是常用的分類標準． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示，將四棱錐S－ABCD的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法總數(shù)． 　 　 　 　 　 例4　將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗田不能種同一種作物，則不同的種植方法共有________種． 反思與感悟　按元素性質(zhì)分類，按事件發(fā)生過程分步是計數(shù)問題的基本思想方法，區(qū)分“分類”與“分步”的關(guān)鍵，是驗證所提供的某一種方法是否完成了這件事情，分類中的每一種方法都能完成這件事情，而分步中的每一種方法不能完成這件事情，只是向事情的完成邁進了一步． 跟蹤訓(xùn)練4　從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法． 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．用0,1,2,3組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)有________個． 2．在2,3,5,7,11這五個數(shù)字中，任取兩個數(shù)字組成分數(shù)，其中假分數(shù)的個數(shù)為________． 3．有5名同學(xué)被安排在周一至周五值日，每人值日一天．已知同學(xué)甲只能在周三值日，那么這5名同學(xué)值日順序的安排方案共有________種． 4．如圖所示，在A，B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導(dǎo)致電路不通．今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有________種． 5．如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有________種． A B C D 1．分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理是兩個最基本、也是最重要的原理，是解答后面將要學(xué)習的排列、組合問題，尤其是較復(fù)雜的排列、組合問題的基礎(chǔ)． 2．應(yīng)用分類計數(shù)原理要求分類的每一種方法都能把事件獨立完成；應(yīng)用分步計數(shù)原理要求各步均是完成事件必須經(jīng)過的若干彼此獨立的步驟． 3一般是先分類再分步，分類時要設(shè)計好標準，設(shè)計好分類方案，防止重復(fù)和遺漏． 4．若正面分類的種類比較多，而問題的反面種類比較少時，則使用間接法會簡單一些． 答案精析 題型探究 例1　解　(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有555＝53＝125(種)． (2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有455＝100(種)． (3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有43＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有233＝18(種)排法．因而有12＋18＝30(種)排法．即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)． 引申探究 解　完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1,3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用過的一個還有三個，可任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的還有3個數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法．由分步計數(shù)原理知共有2332＝36(個)． 跟蹤訓(xùn)練1　14 解析　因為四位數(shù)的每個數(shù)位上都有兩種可能性，其中四個數(shù)字全是2或3的情況不合題意，所以符合題意的四位數(shù)有24－2＝14(個)． 例2　18 解析　從E點到F點的最短路徑有6條，從F點到G點的最短路徑有3條，所以從E點到G點的最短路徑條數(shù)為63＝18. 跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)學(xué)生可以選擇競賽項目，而競賽項目對于學(xué)生無條件限制，所以每位學(xué)生均有3個不同的機會，要完成這件事必須是每位學(xué)生參加的競賽全部確定下來才行，因此需分四步．而每位學(xué)生均有3個不同選擇，所以用分步計數(shù)原理可得3333＝34＝81(種)不同結(jié)果． (2)競賽項目可挑選學(xué)生，而學(xué)生無選擇項目的機會，每一個項目可挑選4位不同學(xué)生中的一位． 要完成這件事必須是每項競賽所參加的學(xué)生全部確定下來才行，因此需分三步，用分步計算原理可得444＝43＝64(種)不同結(jié)果． 例3　解　第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法． (1)當?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有43＝12(種)不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法，由分步計數(shù)原理可知有5123＝180(種)不同的涂法． (2)當?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步計數(shù)原理可知有544＝80(種)不同的涂法．由分類計數(shù)原理可得共有180＋80＝260(種)不同的涂法． 引申探究 解　依題意，可分兩類情況：①④不同色；①④同色． 第一類：①④不同色，則①②③④所涂的顏色各不相同，我們可將這件事情分成4步來完成． 第一步涂①，從5種顏色中任選一種，有5種涂法； 第二步涂②，從余下的4種顏色中任選一種，有4種涂法； 第三步涂③與第四步涂④時，分別有3種涂法和2種涂法． 于是由分步計數(shù)原理可得，不同的涂法為5432＝120(種)． 第二類：①④同色，則①②③不同色，我們可將涂色工作分成三步來完成． 第一步涂①④，有5種涂法；第二步涂②，有4種涂法；第三步涂③，有3種涂法． 于是由分步計數(shù)原理得，不同的涂法有543＝60(種)． 綜上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180(種)． 跟蹤訓(xùn)練3　解　由題意，四棱錐S－ABCD的頂點S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有543＝60(種)染色方法． 當S，A，B染色確定時，不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3. 若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法． 由分類計數(shù)原理知，當S，A，B染法確定時，C，D有7種染法． 由分步計數(shù)原理得，不同的染色方法有607＝420(種)． 例4　42 解析　分別用a、b、c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設(shè)放入a，再安排第二塊田，有2種方法b或c，不妨設(shè)放入b，第三塊也有2種方法a或c. (1)若第三塊田放c： a b c 第四、五塊田分別有2種方法，共有22＝4(種)方法． (2)若第三塊田放a： a b a 第四塊有b或c2種方法， ①若第四塊放c： a b a c 第五塊有2種方法； ②若第四塊放b： a b a b 第五塊只能種作物c，共1種方法． 綜上，共有32(22＋2＋1)＝42(種)方法． 跟蹤訓(xùn)練4　解　方法一　(直接法) 若黃瓜種在第一塊土地上， 則有32＝6(種)不同的種植方法． 同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有32＝6(種)不同的種植方法． 故不同的種植方法共有63＝18(種)． 方法二　(間接法)從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有432＝24(種)，其中不種黃瓜有321＝6(種)，故不同的種植方法共有24－6＝18(種)． 當堂訓(xùn)練 1．8　2.10　3.24　4.13　5.108