2017-2018學年高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法優(yōu)化練習 新人教A版選修1 -2.doc

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2.2.2 反證法 [課時作業(yè)] [A組　基礎鞏固] 1．用反證法證明：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設為(　　) A．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù) B．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個偶數(shù) D．a(chǎn)，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù) 解析：自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：3個都是奇數(shù)，1個偶數(shù)2個奇數(shù)，2個偶數(shù)1個奇數(shù)，3個都是偶數(shù)，所以否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設為“a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)．” 答案：D 2．實數(shù)a，b，c滿足a＋2b＋c＝2，則(　　) A．a(chǎn)，b，c都是正數(shù) B．a(chǎn)，b，c都大于1 C．a(chǎn)，b，c都小于2 D．a(chǎn)，b，c中至少有一個不小于 解析：假設a，b，c中都小于， 則a＋2b＋c<＋2＋＝2，與a＋2b＋c＝2矛盾 ∴a，b，c中至少有一個不小于. 答案：D 3．(1)已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時，可假設p＋q≥2， (2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對值都小于1.用反證法證明時可假設方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設|x1|≥1，以下結論正確的是(　　) A．(1)與(2)的假設都錯誤 B．(1)與(2)的假設都正確 C．(1)的假設正確；(2)的假設錯誤 D．(1)的假設錯誤；(2)的假設正確 解析：(1)的假設應為p＋q>2；(2)的假設正確． 答案：D 4．設a，b，c大于0，則3個數(shù)：a＋，b＋，c＋的值(　　) A．都大于2　　　　　 B．至少有一個不大于2 C．都小于2 D．至少有一個不小于2 解析：假設a＋，b＋，c＋都小于2 則a＋<2，b＋<2，c＋<2 ∴a＋＋b＋＋c＋<6，① 又a，b，c大于0 所以a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2. ∴a＋＋b＋＋c＋≥6.② 故①與②式矛盾，假設不成立 所以a＋，b＋，c＋至少有一個不小于2. 答案：D 5．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60”時，假設正確的是(　　) A．假設三內(nèi)角都不大于60 B．假設三內(nèi)角都大于60 C．假設三內(nèi)角至少有一個大于60 D．假設三內(nèi)角至多有兩個大于60 解析：三個內(nèi)角至少有一個不大于60，即有一個、兩個或三個不大于60，其反設為都大于60. 答案：B 6．命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結論的否定是________． 解析：“至少有一個”的否定是“沒有一個”． 答案：沒有一個是三角形或四邊形或五邊形 7．設a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2. 其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件是________(填序號)． 解析：顯然①、②不能推出，③中a＋b>2能推出“a，b中至少有一個大于1”否則a≤1，且b≤1，則a＋b≤2與a＋b>2矛盾．④中取a＝－2，b＝0，推不出． 答案：③ 8．用反證法證明質數(shù)有無限多個的過程如下： 假設________．設全體質數(shù)為p1，p2，…，pn，令p＝p1p2…pn＋1. 顯然，p不含因數(shù)p1，p2，…，pn.故p要么是質數(shù)，要么含有________的質因數(shù)．這表明，除質數(shù)p1，p2，…，pn之外，還有質數(shù)，因此原假設不成立．于是，質數(shù)有無限多個． 解析：由反證法的步驟可得． 答案：質數(shù)只有有限多個　除p1，p2，…，pn之外 9．用反證法證明：過已知直線a外一點A有且只有一條直線b與已知直線a平行． 證明：由兩條直線平行的定義可知，過點A至少有一條直線與直線a平行． 假設過點A還有一條直線b′與已知直線a平行，即b∩b′＝A，b′∥a. 因為b∥a，由平行公理知b′∥b.這與假設b∩b′＝A矛盾，所以假設錯誤，原命題成立． 10．已知f(x)＝ax＋(a>1)，證明方程f(x)＝0沒有負數(shù)根． 證明：假設x0是f(x)＝0的負數(shù)根， 則x0<0且x0≠－1且ax0＝－， 由0b，那么兩個數(shù)列中序號與數(shù)值均相同的項有________個． 解析：假設存在序號和數(shù)值均相等的項，即存在n使得an＝bn，由題意a>b，n∈N*，則恒有an>bn，從而an＋2>bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn. 答案：0 4．已知a，b，c∈(0,1)． 求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于， 證明：假設(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于. 因為00. 由基本不等式≥> 同理>，> 以上三個不等式相加 ＋＋>，即>. 這是不可能的． 故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于. 5．設{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，cn＝an＋bn.證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列． 證明：假設數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，則 (an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．① 因為{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，設公比分別為p，q， 所以a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1. 代入①并整理，得 2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1 ＝anbn， 即2＝＋.② 當p，q異號時，＋<0，與②相矛盾； 當p，q同號時，由于p≠q， 所以＋>2，與②相矛盾． 故數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．