2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.6 曲線與方程 2.6.3 曲線的交點講義（含解析）蘇教版選修2-1.doc

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2．6.3　曲線的交點 給出下列兩組直線，回答問題． (1)l1：x＋2y＝0，l2：2x＋4y－3＝0； (2)l1：2x－y＝0，l2：3x＋y－7＝0. 問題1：兩組直線的位置關(guān)系． 提示：(1)平行；(2)相交． 問題2：如何判斷它們的位置關(guān)系？能否用這種方法來判定兩條曲線的位置關(guān)系？ 提示：兩直線位置關(guān)系的判斷可有兩種方法：一是利用斜率；二是兩方程聯(lián)立，利用方程的解來判定．第二種方法可以用來判定兩曲線的位置關(guān)系． 問題3：如何求兩曲線的交點坐標(biāo)． 提示：把表示曲線的方程聯(lián)立，解方程組，其解即為曲線交點的坐標(biāo)． 已知曲線C1：f1(x，y)＝0和C2：f2(x，y)＝0. (1)P0(x0，y0)是C1和C2的公共點? (2)求兩曲線的交點，就是求方程組的實數(shù)解． (3)方程組有幾組不同的實數(shù)解，兩條曲線就有幾個公共點；方程組沒有實數(shù)解，兩條曲線就沒有公共點． 直線與圓錐曲線聯(lián)立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0 方程特征 交點個數(shù) 位置關(guān)系 直線與橢圓 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相離 直線與雙曲線 a＝0 1 直線與雙曲線的漸近線平行，兩者相交 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相離 直線與拋物線 a＝0 1 直線與拋物線的對稱軸平行，兩者相交 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相離 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 　　 [例1]　已知直線l：kx－y＋2＝0，雙曲線C：x2－4y2＝4，當(dāng)k為何值時： (1)l與C無公共點； (2)l與C有惟一公共點； (3)l與C有兩個不同的公共點． [思路點撥]　直線與圓錐曲線公共點的個數(shù)就是直線與圓錐曲線方程所組成的方程組解的個數(shù)，從而問題可轉(zhuǎn)化為由方程組的解的個數(shù)來確定參數(shù)k的取值． [精解詳析]　將直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，得 (1－4k2)x2－16kx－20＝0.① 當(dāng)1－4k2≠0時， 有Δ＝(－16k)2－4(1－4k2)(－20)＝16(5－4k2)． (1)當(dāng)1－4k2≠0且Δ＜0，即k＜－或k＞時，l與C無公共點． (2)當(dāng)1－4k2＝0，即k＝時，顯然方程①只有一解． 當(dāng)1－4k2≠0，Δ＝0，即k＝時，方程①只有一解． 故當(dāng)k＝或k＝時，l與C有惟一公共點． (3)當(dāng)1－4k2≠0，且Δ＞0時，即－＜k＜，且k≠時，方程有兩解，l與C有兩個公共點． [一點通]　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)來確定，通常消去方程組中變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式Δ，則有： Δ>0?直線與圓錐曲線相交于兩個點； Δ＝0?直線與圓錐曲線相交于一個點； Δ<0?直線與圓錐曲線無交點． 1．對不同的實數(shù)值m，討論直線y＝x＋m與橢圓＋y2＝1的位置關(guān)系． 解：由 消去y得＋(x＋m)2＝1， 整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0. Δ＝(8m)2－45(4m2－4)＝16(5－m2)． 當(dāng)－0， 直線與橢圓相交； 當(dāng)m＝－或m＝時，Δ＝0， 直線與橢圓相切； 當(dāng)m<－或m>時，Δ<0， 直線與橢圓相離． 2．已知拋物線的方程為y2＝4x，直線l過定點P(－2,1)，斜率為k，k為何值時，直線l與拋物線y2＝4x只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？ 解：(1)當(dāng)k＝0時，直線l與x軸平行，易知與拋物線只有一個交點． (2)當(dāng)k≠0時，聯(lián)立 消去x，得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0， Δ＝16－4k4(2k＋1)． ①當(dāng)Δ＝0，即k＝－1或時，直線l與拋物線相切，只有一個公共點； ②當(dāng)Δ>0，即－1時，直線l與拋物線相離，沒有公共點． 綜上：當(dāng)k＝－1或或0時， 直線l與拋物線只有一個公共點； 當(dāng)－1時，直線l與拋物線沒有公共點． 直線被圓錐曲線截得的弦長問題 [例2]　已知斜率為2的直線經(jīng)過橢圓＋＝1的右焦點F1，與橢圓相交于A、B兩點，求弦AB的長． [思路點撥]　先求出直線與橢圓的兩個交點，再利用兩點間的距離公式，也可以從公式上考查A、B坐標(biāo)間的聯(lián)系，進行整體運算． [精解詳析]　法一：∵直線l過橢圓＋＝1的右焦點F1(1,0)，又直線的斜率為2. ∴直線l的方程為y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 由方程組 得交點A(0，－2)，B. 則AB＝ ＝ ＝ ＝. 法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B的坐標(biāo)為方程組的公共解． 對方程組消去y，得3x2－5x＝0. 則x1＋x2＝，x1x2＝0. ∴AB＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 法三：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立 消去y，得3x2－5x＝0， 則x1，x2是方程3x2－5x＝0的兩根． ∴x1＋x2＝. 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得AF1＝(5－x1)， F1B＝(5－x2)， 則AB＝AF1＋F1B＝[10－(x1＋x2)]＝＝. [一點通]　 弦長的求法： (1)求出端點坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求解． (2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用變形公式 l＝或 l＝求解． (3)利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解． 3．過拋物線y2＝8x的焦點作傾斜角為45的直線，則被拋物線截得的弦長為________． 解析：由拋物線y2＝8x的焦點為(2,0)， 得直線的方程為y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0. ∴x1＋x2＝12，弦長＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16. 答案：16 4．直線y＝2x－3與雙曲線－y2＝1相交于兩點A、B，則AB＝________. 解析：設(shè)直線y＝2x－3與雙曲線－y2＝1兩交點坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得7x2－24x＋20＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝|x1－x2|＝＝＝. 答案： 5．如圖，橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，一條直線l經(jīng)過F1與橢圓交于A，B兩點，若直線l的傾斜角為45，求△ABF2的面積． 解：由橢圓的方程＋＝1知，a＝4，b＝3， ∴c＝＝. 由c＝知F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， 又直線l的斜率k＝tan 45＝1， ∴直線l的方程為x－y＋＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由消去x，整理得25y2－18 y－81＝0， ∴y1＋y2＝，y1y2＝－. ∴|y1－y2|＝ ＝ ＝， ∴S△ABF2＝|F1F2||y1－y2|＝2 ＝. 兩曲線相交的綜合問題 [例3]　已知橢圓＋＝1，過點P(2,1)作一弦，使弦在這點被平分，求此弦所在直線方程． [思路點撥]　設(shè)出直線的斜率，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，得關(guān)于x的方程，用根與系數(shù)的關(guān)系和弦中點坐標(biāo)，得斜率的方程，求解即可，也可用“點差法”求解． [精解詳析]　法一：設(shè)所求直線的方程為 y－1＝k(x－2)， 代入橢圓方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0. 又設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1，y1)、B(x2，y2)， 則x1，x2是上面的方程的兩個根， 所以x1＋x2＝， 因為P為弦AB的中點， 所以2＝＝， 解得k＝－，所以所求直線的方程為x＋2y－4＝0. 法二：設(shè)直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因為P為弦AB的中點，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， 又因為A，B在橢圓上， 所以x＋4y＝16，x＋4y＝16， 兩式相減，得(x－x)＋4(y－y)＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 所以＝＝－，即kAB＝－. 所以所求直線的方程為y－1＝－(x－2)， 即x＋2y－4＝0. [一點通]　解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，一般采用“設(shè)而不求”的思想，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)成方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，把已知條件轉(zhuǎn)化為弦的端點坐標(biāo)之間的關(guān)系求解，在涉及“中點弦”問題時，“點差法”是最常用的方法． 6．已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點． 求證：(1)x1x2為定值；(2)＋為定值． 證明：(1)拋物線y2＝2px的焦點為F， 當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為 y＝k(x－)(k≠0)． 由消去y， 得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0. 由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2＝(定值)． 當(dāng)AB⊥x軸時，x1＝x2＝，x1x2＝也成立． (2)由拋物線的定義知，F(xiàn)A＝x1＋，F(xiàn)B＝x2＋. ＋＝＋ ＝ ＝ ＝＝(定值)． 7．設(shè)雙曲線C：－y2＝1(a＞0)與直線l：x＋y＝1相交于兩個不同點A，B. (1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍； (2)設(shè)直線l與y軸的交點為P，若＝，求a的值． 解：(1)將y＝－x＋1代入雙曲線－y2＝1(a＞0)中得(1－a2)．x2＋2a2x－2a2＝0. 所以 解得0＜a＜，且a≠1. 又雙曲線的離心率e＝＝， 所以e＞，且e≠. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因為＝， 所以(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)． 由此得x1＝x2. 由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的兩根，且1－a2≠0，所以x2＝－，x＝－. 消去x2，得－＝.由a＞0，解得a＝. 8．(陜西高考)已知動圓過定點A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8. (1)求動圓圓心的軌跡C的方程； (2)已知點B(－1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明：直線l過定點． 解： (1)如圖，設(shè)動圓圓心O1(x，y)，由題意得，O1A＝O1M. 當(dāng)O1不在y軸上時，過O1作O1H⊥MN交MN于H，則H是MN的中點， ∴O1M＝ ， 又O1A＝ ， ∴＝ ， 化簡得y2＝8x(x≠0)． 當(dāng)O1在y軸上時，O1與O重合，點O1的坐標(biāo)(0,0)也滿足方程y2＝8x， ∴動圓圓心的軌跡C的方程為y2＝8x. (2)證明：如圖，由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 將y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0， 其中Δ＝－32kb＋64>0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝，① x1x2＝，② 因為x軸是∠PBQ的角平分線，所以＝－， 即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0， (kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0， 2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③ 將①②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0， ∴k＝－b，此時Δ>0， ∴直線l的方程為y＝k(x－1)， ∴直線l過定點(1,0)． 討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，先聯(lián)立方程，消去x或y，得出一個一元二次方程，通過研究判別式Δ的情況，研究位置關(guān)系，值得注意的是，若是直線與圓或橢圓時，無需討論二次項系數(shù)是否為零(一定不為零)，直接考察Δ的情況即可．若是直線與雙曲線或拋物線時，則需討論二次項系數(shù)等于零和不等于零兩種情況．這是特別要注意的問題．同時還要注意直線斜率不存在時的情形． [對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(十七)]　 1．曲線x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0與x軸的交點坐標(biāo)是________． 解析：當(dāng)y＝0時，得x2－3x－4＝0， 解得x1＝4或x2＝－1. 所以交點坐標(biāo)為(4,0)和(－1,0)． 答案：(4,0)，(－1,0) 2．曲線x2＋y2＝4與曲線x2＋＝1的交點個數(shù)為________． 解析：由數(shù)形結(jié)合可知兩曲線有4個交點． 答案：4 3．設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是________． 解析：由y2＝8x，得準(zhǔn)線方程為x＝－2. 則Q點坐標(biāo)為(－2,0)． 設(shè)直線y＝k(x＋2)． 由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0. 若直線l與y2＝8x有公共點， 則Δ＝(4k2－8)2－16k4≥0. 解得－1≤k≤1. 答案：[－1,1] 4．曲線y＝x2－x＋2和y＝x＋m有兩個不同的公共點，則實數(shù)m的范圍是________． 解析：由 消去y，得x2－2x＋2－m＝0. 若有兩個不同的公共點，則Δ＝4－4(2－m)>0， ∴m>1. 答案：(1，＋∞) 5．如果橢圓＋＝1的一條弦被點(4,2)平分，那么這條弦所在直線的方程是 ________． 解析：設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵P(4,2)為AB中點，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4. 又∵A，B在橢圓上，∴x＋4y＝36，x＋4y＝36. 兩式相減得(x－x)＋4(y－y)＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴＝＝－. 即直線l的斜率為－. ∴所求直線方程為x＋2y－8＝0. 答案：x＋2y－8＝0 6．已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，離心率為. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)直線l與該橢圓交于M、N兩點，MN的中點為A(2，－1)，求直線l的方程． 解：(1)由題意2a＝4， ∴a＝2，又e＝＝＝， ∴c＝. ∴b2＝a2－c2＝8－3＝5. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)∵點A在橢圓內(nèi)部， ∴過A點的直線必與橢圓有兩交點． 當(dāng)直線斜率不存在時，A點不可能為弦的中點，故可設(shè)直線方程為y＋1＝k(x－2)，它與橢圓的交點分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則消去y得 (8k2＋5)x2－16k(2k＋1)x＋8[(2k＋1)2－5]＝0， ∴x1＋x2＝， 又∵A(2，－1)為弦MN的中點， ∴x1＋x2＝4，即＝4， ∴k＝，從而直線方程為5x－4y－14＝0. 7．已知橢圓C1與拋物線C2的焦點均在x軸上，C1的中心和C2的頂點均為原點O，從每條曲線上取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于下表中： x 3 －2 4 y －2 0 －4 (1)求C1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)請問是否存在直線l滿足條件：①過C2的焦點F；②與C1交于不同兩點M，N且滿足⊥？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 解：(1)設(shè)拋物線C2：y2＝2px(p≠0)，則有＝2p(x≠0)，據(jù)此驗證4個點知(3，－2)，(4，－4)在拋物線上，易求C2：y2＝4x. 設(shè)C1：＋＝1(a>b>0)，把點(－2,0)，代入得解得 ∴C1的方程為＋y2＝1. (2)容易驗證直線l的斜率不存在時，不滿足題意； 當(dāng)直線l的斜率存在時，假設(shè)存在直線l過拋物線焦點F(1,0)，設(shè)其方程為y＝k(x－1)，與C1的交點坐標(biāo)為M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由消去y得， (1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0， 于是x1＋x2＝，x1x2＝.　　　　?、? 所以y1y2＝k(x1－1)k(x2－1) ＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1] ＝k2＝－. ② 由⊥，即＝0，得x1x2＋y1y2＝0. ③ 將①②代入③式得，－＝＝0，解得k＝2. 所以存在直線l滿足條件，且l的方程為：y＝2x－2或y＝－2x＋2. 8．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點的距離的最大值為3，最小值為1. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于A，B兩點(A，B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)． 解：(1)由題意設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)． 由題意得a＋c＝3，a－c＝1， ∴a＝2，c＝1，b2＝3. ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得， (3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0， ∴Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0， 即3＋4k2－m2>0. ∴x1＋x2＝－，x1x2＝. y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝. ∵以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2,0)， kADkBD＝－1， ∴＝－1，化簡得 y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0， 即＋＋＋4＝0， 化簡得7m2＋16mk＋4k2＝0， 解得m1＝－2k，m2＝－，且滿足3＋4k2－m2>0. 當(dāng)m＝－2k時，l：y＝k(x－2)，直線過定點(2,0)，與已知矛盾； 當(dāng)m＝－時，l：y＝k，直線過定點. 綜上可知，直線l過定點，定點坐標(biāo)為.