2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修2-2.doc

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2.2.2 反證法 [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．命題“△ABC中，若∠A＞∠B，則a＞b”的結(jié)論的否定應(yīng)該是(　　) A．a(chǎn)＜b　　　　　　　　　 B．a(chǎn)≤b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)≥b 解析：“a＞b”的否定應(yīng)為“a＝b或a＜b”，即a≤b.故應(yīng)選B. 答案：B 2．用反證法證明命題：“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd＞1，則a，b，c，d中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)”時(shí)的假設(shè)為(　　) A．a(chǎn)，b，c，d全都大于等于0 B．a(chǎn)，b，c，d全為正數(shù) C．a(chǎn)，b，c，d中至少有一個(gè)正數(shù) D．a(chǎn)，b，c，d中至多有一個(gè)負(fù)數(shù) 解析：至少有一個(gè)負(fù)數(shù)的否定是一個(gè)負(fù)數(shù)也沒有，即a，b，c，d全都大于等于0. 答案：A 3．“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定正確的為(　　) A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) B．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù) C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù) D．a(chǎn)，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù) 解析：自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：(1)3個(gè)都是奇數(shù)；(2)2個(gè)奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)；(3)1個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)；(4)3個(gè)都是偶數(shù)．所以否定正確的是a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)． 答案：D 4．給定一個(gè)命題“已知x1＞0，x2≠1且xn＋1＝，證明對(duì)任意正整數(shù)n都有xn＞xn＋1”，當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時(shí)應(yīng)是(　　) A．對(duì)任意正整數(shù)n有xn≤xn＋1 B．存在正整數(shù)n使xn≤xn＋1 C．存在正整數(shù)n使xn＞xn＋1 D．存在正整數(shù)n使xn≥xn－1且xn≥xn＋1 解析：“對(duì)任意正整數(shù)n都有xn＞xn＋1”的否定為“存在正整數(shù)n使xn≤xn＋1”． 答案：B 5．設(shè)a，b，c∈(－∞，0)，則三數(shù)a＋，c＋，b＋中(　　) A．都不大于－2 B．都不小于－2 C．至少有一個(gè)不大于－2 D．至少有一個(gè)不小于－2 解析：＋＋＝＋＋ ∵a，b，c∈(－∞，0)，∴a＋＝－≤－2，b＋＝－≤－2， c＋＝－≤－2， ∴＋＋≤－6， ∴三數(shù)a＋、c＋、b＋中至少有一個(gè)不大于－2，故應(yīng)選C. 答案：C 6．命題“任意多面體的面至少有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是________________________________________________________________________． 解析：“至少有一個(gè)”的否定是“沒有一個(gè)”． 答案：沒有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形 7．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠APB>∠APC，求證∠BAP<∠CAP.用反證法證明時(shí)的假設(shè)為________． 解析：反證法對(duì)結(jié)論的否定是全面否定，∠BAP<∠CAP的對(duì)立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP. 答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP 8．用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過程歸納為以下三個(gè)步驟： ①∠A＋∠B＋∠C＝90＋90＋∠C>180，這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾，則∠A＝∠B＝90不成立； ②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角； ③假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90. 正確順序的序號(hào)排列為________． 解析：由反證法證明的步驟知，先反證即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結(jié)論即②，即順序應(yīng)為③①②. 答案：③①② 9．已知a≥－1，求證以下三個(gè)方程： x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解． 證明：假設(shè)三個(gè)方程都沒有實(shí)根，則三個(gè)方程中：它們的判別式都小于0，即： ? ?－＜a＜－1，這與已知 a≥－1矛盾，所以假設(shè)不成立，故三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解． 10．求證：不論x，y取何非零實(shí)數(shù)，等式＋＝總不成立． 證明：假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)x，y使得等式＋＝成立． 于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy， 即x2＋y2＋xy＝0， 即(x＋)2＋y2＝0. 由y≠0，得y2>0. 又(x＋)2≥0， 所以(x＋)2＋y2>0. 與x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命題成立． [B組　能力提升] 1．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了這四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎(jiǎng)．”乙說：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)．”丙說：“我獲獎(jiǎng)了．”丁說：“是乙獲獎(jiǎng)．”四位歌手的話只有兩句是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：若甲獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丙、丁四位歌手說的話都是假的，同理可推出乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況，最后可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙． 答案：C 2．若△ABC能被一條直線分成兩個(gè)與自身相似的三角形，那么這個(gè)三角形的形狀是(　　) A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．不確定 解析：分△ABC的直線只能過一個(gè)頂點(diǎn)且與對(duì)邊相交，如直線AD(點(diǎn)D在BC上)，則∠ADB＋∠ADC＝π，若∠ADB為鈍角，則∠ADC為銳角．而∠ADC>∠BAD，∠ADC>∠ABD，△ABD與△ACD不可能相似，與已知不符，只有當(dāng)∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝時(shí)，才符合題意． 答案：B 3．已知數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式分別為an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常數(shù))，且a>b，那么兩個(gè)數(shù)列中序號(hào)與數(shù)值均相同的項(xiàng)有________個(gè)． 解析：假設(shè)存在序號(hào)和數(shù)值均相等的項(xiàng)，即存在n使得an＝bn，由題意a>b，n∈N*，則恒有an>bn，從而an＋2>bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn. 答案：0 4．完成反證法證題的全過程．設(shè)a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一個(gè)排列，求證：乘積p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)為偶數(shù)． 證明：假設(shè)p為奇數(shù)，則a1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數(shù)．因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)＝________＝________＝0.但0≠奇數(shù)，這一矛盾說明p為偶數(shù)． 解析：據(jù)題目要求及解題步驟， 因?yàn)閍1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數(shù)， 所以(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)也為奇數(shù)． 即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)為奇數(shù)． 又因?yàn)閍1，a2，…，a7是1,2，…，7的一個(gè)排列， 所以a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式為0. 所以奇數(shù)＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0. 答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) (a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7) 5．已知a，b，c都是小于1的正數(shù)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一個(gè)不大于. 證明：假設(shè)(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于， 即(1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞. ∵a，b，c都是小于1的正數(shù)， ∴＞，＞，＞， ∴＋＋＞.(*) 又∵≤，≤，≤， ∴＋＋≤＋＋＝＝(當(dāng)且僅當(dāng)1－a＝b,1－b＝c,1－c＝a，即a＝b＝c＝時(shí)，等號(hào)成立)，與(*)式矛盾． ∴假設(shè)不成立，原命題成立， 故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一個(gè)不大于. 6．求證：拋物線上任取四個(gè)不同點(diǎn)所組成的四邊形不可能是平行四邊形． 證明：如圖，設(shè)拋物線方程為 y2＝2px(p＞0)， 在拋物線上任取四個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 則y＝2pxi(i＝1,2,3,4)， 于是直線AB的斜率為kAB＝＝， 同理：kBC＝，kCD＝，kDA＝. 假設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形， 則有kAB＝kCD，kBC＝kDA， 即有 ①－②得y1－y3＝y(tǒng)3－y1， ∴y1＝y(tǒng)3，同理y2＝y(tǒng)4， 則x1＝＝＝x3， 同理x2＝x4， 由，. 顯然A，C重合，B，D重合．這與A，B，C，D為拋物線上任意四點(diǎn)矛盾，故假設(shè)不成立． ∴四邊形ABCD不可能是平行四邊形.