2018高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步 第二節(jié) 點、直線、面的位置關(guān)系8 線面垂直的綜合運用習(xí)題 蘇教版必修2.doc

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線面垂直的綜合運用 （答題時間：40分鐘） *1. 下列條件中，能判定直線l⊥平面α的有________。 ①l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直； ②l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直； ③l與平面α內(nèi)的某一條直線垂直； ④l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直。 **2. 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝1，則點C到平面B1BDD1的距離為________。 **3.（無錫檢測）△ABC中，∠ABC＝90，PA⊥平面ABC，則圖中直角三角形的個數(shù)為________。 *4. 如圖，∠BAC＝90，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中：與PC垂直的直線有______________；與AP垂直的直線有________。 **5. 如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E、F分別是點A在PB、PC上的正投影，給出下列結(jié)論： ①AF⊥PB；②EF⊥PB； ③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC 其中正確結(jié)論的序號是________。 **6. 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是邊長為2的菱形，且∠ABC＝45，PA＝AB，則直線AP與平面PBC所成角的正切值為________。 **7. 如圖所示，已知平面α∩平面β＝EF，A為α，β外一點，AB⊥α于B，AC⊥β于C，CD⊥α于D，求證：BD⊥EF。 **8. 如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60，PA＝AB＝BC，E是PC的中點。 證明：（1）CD⊥AE；（2）PD⊥平面ABE。 ***9. 如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90，AB＝AC＝a，AA1＝2a，D為棱B1B的中點。 （1）證明：A1C1∥平面ACD； （2）求異面直線AC與A1D所成角的大??； （3）證明：直線A1D⊥平面ADC。  1. ④ 解析：由線面垂直的定義及判定定理可知④正確。 2. 解析：連接AC，則AC⊥BD， 又BB1⊥AC，故AC⊥平面B1BDD1， 所以點C到平面B1BDD1的距離為AC＝。 3. 4 解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC， 又BC⊥AB，AB∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAB， ∴BC⊥PB， 綜上可知△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均為直角三角形。 4. AB，BC，AC　AB 解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC； ∵AB⊥AC，AB⊥PC，∴AB⊥平面PAC， ∴AB⊥PC.與AP垂直的直線是AB。 5. ①②③ 解析：由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC， 又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC， ∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C， ∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC， 又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF， ∴EF⊥PB，故①②③正確。 6. 解析：作AE⊥BC于點E， 則BC⊥平面PAE， 故∠APE為直線AP與平面PBC所成的角， AE＝AB sin 45＝， ∴tan∠APE＝＝。 7. 證明：∵AB⊥α，CD⊥α， ∴AB∥CD. ∴A，B，C，D四點共面， ∵AB⊥α，AC⊥β，α∩β＝EF， ∴AB⊥EF，AC⊥EF， 又∵AB∩AC＝A， ∴EF⊥平面ABDC， ∴BD⊥EF。 8. 證明：（1）在四棱錐P—ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC， 而AE?平面PAC，∴CD⊥AE； （2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60，可得AC＝PA， ∵E是PC的中點，∴AE⊥PC， 由（1），知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD， 而PD?平面PCD，∴AE⊥PD， ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB， 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD， ∴AB⊥PD，又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABE。 9. （1）證明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1， 又A1C1?平面ACD，AC?平面ACD， ∴A1C1∥平面ACD； （2）解：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC， ∴A1A⊥AC，又∠BAC＝90， ∴AC⊥AB.又AA1∩AB＝A， ∴AC⊥平面A1ABB1， 又A1D?平面A1ABB1，∴AC⊥A1D， ∴異面直線AC與A1D所成的角為90， （3）證明：∵△A1B1D和△ABD都為等腰直角三角形， ∴∠A1DB1＝∠ADB＝45， ∴∠A1DA＝90，即A1D⊥AD， 由（2）知A1D⊥AC，且AD∩AC＝A， ∴A1D⊥平面ADC。