2018高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第一節(jié) 直線的方程2 直線方程的幾種形式學(xué)案 蘇教版必修2.doc

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直線方程的幾種形式 一、考點(diǎn)突破 知識點(diǎn) 課標(biāo)要求 題型 說明 直線方程的幾種形式 1. 掌握直線方程的幾種形式； 2. 能利用幾種形式求直線的方程； 3. 根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程幾種形式之間的關(guān)系。 選擇題 填空題 解答題 1. 理解數(shù)形結(jié)合的思想，掌握直線方程的幾種形式，會根據(jù)已知條件求直線方程； 2. 會根據(jù)直線的特征量畫直線，研究直線性質(zhì)。 二、重難點(diǎn)提示 重點(diǎn)：直線方程的五種形式。 難點(diǎn)：直線方程的五種形式的適用條件及其形式特征。 考點(diǎn)一：直線方程的幾種形式 （1）直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程 ①過點(diǎn)P1（x1，y1）且斜率為k的直線方程y－y1＝k（x－x1）叫做直線的點(diǎn)斜式方程。 ②過點(diǎn)P1（x1，y1）且與x軸垂直的方程為x＝x1，即由橫坐標(biāo)為的所有點(diǎn)組成的直線。 ③當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)P（0，b），且斜率為k的直線的方程為y＝kx＋b，它稱為直線的斜截式方程。其中b為直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，稱其為直線在y軸上的截距。 （2）直線的兩點(diǎn)式方程和截距式方程 ①已知直線過兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則其方程為（x1≠x2且y1≠y2），稱為直線的兩點(diǎn)式方程。 當(dāng)x1＝x2時的方程是x＝x1；當(dāng)y1＝y(tǒng)2時直線的方程是y＝y(tǒng)1。 ②已知直線過點(diǎn)A（a,0）、B（0，b），其中a叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距，則直線的方程為＋＝1（a≠0，b≠0），稱為直線的截距式方程。 當(dāng)ab＝0時直線的方程是x＝a或y＝b。 （3）關(guān)于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A、B不全為0）叫做直線的一般式方程。 技巧點(diǎn)撥： 直線方程的五種形式 名稱 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 y－y0＝k（x－x0） 不含垂直于x軸的直線 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線 兩點(diǎn)式 不含直線x＝x1（x1≠x2）和直線y＝y(tǒng)1（y1≠y2） 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用 例題1 （求直線的方程） 求過點(diǎn)（4，－3）且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線l的方程。 思路分析：要求直線方程，可結(jié)合題中的截距的絕對值相等來求，或求出直線的斜率獲得直線方程。 答案：法1：設(shè)直線在x軸、y軸上的截距分別為a、b。 ①當(dāng)a≠0，b≠0時，設(shè)l的方程為＋＝1。 ∵點(diǎn)（4，－3）在直線上，∴＋＝1， 若a＝b，則a＝b＝1，直線方程為x＋y＝1。 若a＝－b，則a＝7，b＝－7，此時直線的方程為x－y＝7。 ②當(dāng)a＝b＝0時，直線過原點(diǎn)，且過點(diǎn)（4，－3）， ∴直線的方程為3x＋4y＝0。 綜上知，所求直線方程為x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0。 法2：設(shè)直線l的方程為y＋3＝k（x－4）， 令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝。 又∵直線在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等， ∴|－4k－3|＝||，解得k＝1或k＝－1或k＝－。 技巧點(diǎn)撥： 1. 由于直線的截距式方程不表示過原點(diǎn)的直線，因此解法1首先考慮過原點(diǎn)的特殊情況，截距為0的直線很容易被遺忘，應(yīng)引起重視。 2. 求直線在坐標(biāo)軸上的截距的方法是：令x＝0，所得y值是在y軸上的截距，令y＝0，所得x值是在x軸上的截距。 3. 直線方程的確定只需兩個量，一點(diǎn)一斜或兩點(diǎn)，確定方程時，要選擇合適的形式，且最后結(jié)果要轉(zhuǎn)化為直線的一般式方程。 4. 在把其他形式的方程化為一般式方程時，一般是將x的系數(shù)化為正數(shù)。 例題2 （直線方程間的綜合應(yīng)用） 設(shè)直線l的方程為（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）。 （1）若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程； （2）是否存在實(shí)數(shù)a，使直線l不經(jīng)過第二象限？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由。 思路分析：（1）分直線“過原點(diǎn)”和“不過原點(diǎn)”兩類分別求解。 （2）分“斜率為零”和“斜率不為零”兩類分別求解。 答案：（1） 直線l 可化為a （x－1） ＋x＋y＋2＝0，令x－1=0，x＋y＋2＝0 則 x=1，y＝－3，所以直線l恒過（1，－3）。 當(dāng)直線過原點(diǎn)時，該直線在x軸和y軸上的截距為零，即截距相等， ∴a＝2時滿足條件，此時l的方程為3x＋y＝0； 當(dāng)a＝－1時，直線平行于x軸，在x軸無截距，不合題意； 當(dāng)a≠－1，且a≠2時，由＝a－2，即a＋1＝1，即a＝0。 此時直線在x軸、y軸上的截距都為－2，l的方程為x＋y＋2＝0。 綜上，直線l的方程為3x＋y＝0或x＋y＋2＝0時，l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等。 （2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使直線l不經(jīng)過第二象限。將l的方程化為y＝－（a＋1）x＋a－2， 則有或，解得a≤－1。 技巧點(diǎn)撥： 1. 本題（1）在求解過程中，常因忽略直線l過原點(diǎn)的情況而產(chǎn)生漏解；本題（2）在求解過程中，常因漏掉“－（a＋1）＝0”的情形而漏解。 2. 解答此類綜合問題，常采用分類討論（或數(shù)形結(jié)合）的思想求解。解題時應(yīng)結(jié)合具體問題選好切入點(diǎn)，以防增（漏）解。　 坐標(biāo)法在實(shí)際問題中的應(yīng)用 【滿分訓(xùn)練】如圖所示，某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE上劃出一塊長方形土地（不改變方向）建造一幢8層的公寓，如何設(shè)計(jì)才能使公寓占地面積最大？并求出最大面積。（精確到1 m2） 思路分析：本題考查坐標(biāo)法的應(yīng)用和二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是確定點(diǎn)P的位置，可建立坐標(biāo)系，運(yùn)用直線的知識求解。 答案：建立如上圖所示坐標(biāo)系，則B（30,0），A（0,20）， ∴由直線的截距式方程得到線段AB的方程為＋＝1（0≤x≤30）。 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則有y＝20－。 ∴公寓占地面積為S＝（100－x）（80－y）＝（100－x）（80－20＋） ＝－x2＋x＋6 000（0≤x≤30）。 ∴當(dāng)x＝5，y＝時，S取最大值，最大值為 S＝－52＋5＋6 000≈6 017（m2）。 即當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，）時，公寓占地面積最大，最大面積約為6 017 m2。 技巧點(diǎn)撥： 本題是利用坐標(biāo)法解決生活問題，P點(diǎn)的位置由兩個條件確定，一是A、P、B三點(diǎn)共線，二是矩形的面積最大。借三點(diǎn)共線尋求x與y的關(guān)系，利用二次函數(shù)知識，探求最大值是處理這類問題的常用方法。