2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.2.1 第一課時(shí) 排列與排列數(shù)公式學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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第一課時(shí)　排列與排列數(shù)公式 [教材研讀] 預(yù)習(xí)教材P14～20，思考以下問題 1．排列的概念是什么？ 2．排列數(shù)的定義是什么？什么是排列數(shù)公式？ 3．排列數(shù)公式有哪些性質(zhì)？ [要點(diǎn)梳理] 1．排列的概念 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列． 2．相同排列的兩個(gè)條件 (1)元素相同． (2)順序相同． 3．排列數(shù)及排列數(shù)公式 [自我診斷] 判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) 1．1,2,3與3,2,1為同一排列．(　　) 2．在一個(gè)排列中，同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn)．(　　) 3．從1,2,3,4中任選兩個(gè)元素，就組成一個(gè)排列．(　　) 4．從5個(gè)同學(xué)中任選2個(gè)同學(xué)分別參加數(shù)學(xué)和物理競(jìng)賽的所有不同的選法是一個(gè)排列問題．(　　) [答案]　1.　2.√　3.　4.√ 思考：如何判斷一個(gè)問題是否為排列問題？ 提示：判斷一個(gè)具體問題是否為排列問題，就看取出元素后排列是有序的還是無序的，而檢驗(yàn)它是否有序的依據(jù)就是變換元素的“位置”(這里的“位置”應(yīng)視具體問題的性質(zhì)和條件來決定)，看其結(jié)果是否有變化，有變化就是排列問題，無變化就不是排列問題． 下列問題是排列問題的為________(只填序號(hào))． ①選2個(gè)小組分別去植樹和種菜； ②選2個(gè)小組分別去種菜； ③某班40名同學(xué)在假期互發(fā)短信； ④由1,2,3三個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ ⑤從40人中選5人組成籃球隊(duì)，有多少種不同的選法？ ⑥從1,2,3,4中取兩個(gè)數(shù)可以組成多少個(gè)不同的集合？ [解析]?、偈牵矘浜头N菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．②不是．選2個(gè)小組分別去種菜，不存在順序問題，不是排列問題．③是．A給B發(fā)短信與B給A發(fā)短信是不同的，所以存在順序問題，是排列問題．④由1,2,3組成的三位數(shù)與順序有關(guān)，是排列問題．⑤，⑥不存在順序問題，不是排列問題． [答案]　①③④ [變式] 將典例中③的“互發(fā)短信”改為“互通電話”，則此問題是排列問題嗎？ [解]　不是，互通電話與互發(fā)短信不同，與順序無關(guān)，故不是排列問題． 判斷一個(gè)具體問題是否為排列問題的思路 [跟蹤訓(xùn)練] 判斷下列問題是否為排列問題： (1)某班共有50名同學(xué)，現(xiàn)要投票選舉正、副班長(zhǎng)各一人，共有多少種可能的選舉結(jié)果？ (2)從2,3,5,7,9五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，有多少個(gè)不同的對(duì)數(shù)值？ (3)有12個(gè)車站，共需準(zhǔn)備多少種車票？ (4)從集合M＝{x|1≤x≤9，x∈N}中任取相異的兩個(gè)元素作為a，b，可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓＋＝1? [解]　(1)是．選出的2人，擔(dān)任正、副班長(zhǎng)，職務(wù)不同，與順序有關(guān)，所以是排列問題； (2)是．對(duì)數(shù)值與底數(shù)和真數(shù)的取值的不同有關(guān)系，與順序有關(guān)； (3)是．起點(diǎn)站或終點(diǎn)站不同，則車票就不同，與順序有關(guān)． (4)不是．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，方程中的a，b必須a>b，a，b的大小一定，選出的兩數(shù)較大的只能作a，較小的只能作b，與順序無關(guān)，所以不是排列問題． 題型二　排列數(shù)公式及應(yīng)用 思考：你認(rèn)為“排列”和“排列數(shù)”是同一個(gè)概念嗎？它們有什么區(qū)別？ 提示：“排列”與“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念，排列是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事．“排列數(shù)”是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù)． (1)用排列數(shù)表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)； (2)計(jì)算2A＋A； (3)求證：A＋mA＝A. [思路導(dǎo)引]　(1)(2)應(yīng)是排列數(shù)公式的正、逆用；(3)中證明常采用排列數(shù)公式的階乘形式． [解]　(1)∵55－n,56－n，…，69－n中的最大數(shù)為69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15個(gè)元素， ∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝A. (2)2A＋A＝2432＋4321＝48＋24＝72. (3)證明：A＋mA＝＋m＝＝＝A. (1)排列數(shù)的第一個(gè)公式A＝n(n－1)…(n－m＋1)適用于具體計(jì)算以及解當(dāng)m較小時(shí)的含有排列數(shù)的方程和不等式，在運(yùn)用該公式時(shí)要注意它的特點(diǎn)； (2)排列數(shù)的第二個(gè)公式A＝適用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程、解不等式等，在具體運(yùn)用時(shí)，應(yīng)注意先提取公因式，再計(jì)算，同時(shí)還要注意隱含條件“m≤n且n∈N*，m∈N*”的運(yùn)用． [跟蹤訓(xùn)練] 1．計(jì)算. [解]?。剑剑? 2．求3A＝4A中的x. [解]　原方程3A＝4A可化為＝，即＝，化簡(jiǎn)，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 由題意知解得x≤8. 所以原方程的解為x＝6. (1)從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成兩位不同的數(shù)，一共可以組成多少個(gè)？ (2)寫出從4個(gè)元素a，b，c，d中任取3個(gè)元素的所有排列． [思路導(dǎo)引]　可采用樹形圖的方法列舉，也可以直接利用排列數(shù)公式． [解]　(1)解法一：把1,2,3,4中任意一個(gè)數(shù)字排在第一個(gè)位置上，有4種排法；第一個(gè)位置排好后，第二個(gè)位置上的數(shù)字就有3種排法． 由題意作樹形圖，如下． 故組成的所有兩位數(shù)為12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12個(gè)． 解法二：從4個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)，其排列個(gè)數(shù)為A＝43＝12. (2)由題意作樹形圖，如下． 故所有的排列為abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 利用“樹形圖”法解決簡(jiǎn)單排列問題的適用范圍及策略 (1)適用范圍：“樹形圖”在解決排列元素個(gè)數(shù)不多的問題時(shí)，是一種比較有效的表示方式． (2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個(gè)元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，再安排第二個(gè)元素，并按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一個(gè)排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹形圖寫出排列． [跟蹤訓(xùn)練] 1．寫出A，B，C，D四名同學(xué)站成一排照相，A不站在兩端的所有可能站法． [解]　如圖所示的樹形圖： 故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12種． 2．(1)有5個(gè)不同的科研小課題，從中選3個(gè)由高二(6)班的3個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行研究，每組一個(gè)課題，共有多少種不同的安排方法？ (2)12名選手參加校園歌手大獎(jiǎng)賽，比賽設(shè)一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)各一名，每人最多獲得一種獎(jiǎng)項(xiàng)，共有多少種不同的獲獎(jiǎng)情況？ [解]　(1)從5個(gè)不同的科研小課題中選出3個(gè)，由3個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行研究，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的一個(gè)排列． 因此共有A＝543＝60種不同的安排方法． (2)從12名選手中選出3名獲獎(jiǎng)并安排獎(jiǎng)次，共有A＝121110＝1320種不同的獲獎(jiǎng)情況． 1.本節(jié)課的重點(diǎn)是排列的概念、排列數(shù)公式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用．難點(diǎn)是排列數(shù)公式的計(jì)算與證明問題． 2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法 (1)對(duì)排列概念的理解，見典例1； (2)利用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算或證明，見典例2； (3)簡(jiǎn)單排列問題的解決方法，見典例3. 3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是利用排列數(shù)公式A解決問題時(shí)，易忽視條件m≤n，且m∈N*，n∈N*.