廣東省廉江市2018屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法課件 理 新人教A版選修4-5.ppt

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第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一數(shù)學(xué)歸納法 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 理解并掌握數(shù)學(xué)歸納法的概念 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題 2 學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 證明整除性等問題 課堂互動(dòng)講練 知能優(yōu)化訓(xùn)練 一數(shù)學(xué)歸納法 課前自主學(xué)案 學(xué)習(xí)目標(biāo) 課前自主學(xué)案 1 數(shù)學(xué)歸納法適用于證明一個(gè)與 有關(guān)的命題 2 數(shù)學(xué)歸納法的步驟是 1 歸納奠基 2 歸納遞推 假設(shè)當(dāng)n k k N 且k n0 時(shí)命題成立 3 結(jié)論 由 1 2 可知 命題對(duì)一切n n0的自然數(shù)都成立 無(wú)限多個(gè)正整數(shù) 推導(dǎo)n k 1時(shí)命題也成立 思考感悟在數(shù)學(xué)歸納法中的n0是什么樣的數(shù) 提示 n0是適合命題的正整數(shù)中的最小值 有時(shí)是n0 1或n0 2 有時(shí)n0值也比較大 不一定是從1開始取值 課堂互動(dòng)講練 名師點(diǎn)評(píng) 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí) 兩個(gè)步驟缺一不可 步驟 1 是證明的歸納基礎(chǔ) 步驟 2 是證明的主體 它反映了無(wú)限遞推關(guān)系 變式訓(xùn)練1求證 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n N 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) 等式左邊 2 等式右邊 2 1 2 等式成立 2 假設(shè)n k k N 等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 5 2k 1 成立 那么n k 1時(shí) k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 2 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 1 1 3 5 2k 1 2 k 1 1 即n k 1時(shí)等式也成立 由 1 2 可知對(duì)任何n N 等式均成立 平面上有n個(gè)圓 其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn) 并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn) 求證 這n個(gè)圓把平面分成了f n n2 n 2部分 思路點(diǎn)撥 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 主要是搞清楚當(dāng)n k 1時(shí)比n k時(shí)分點(diǎn)增加了多少 區(qū)域增加了幾塊 本題中第k 1個(gè)圓被原來(lái)的k個(gè)圓分成2k條弧 而每一條弧把它所在部分分成了兩部分 此時(shí)共增加了2k個(gè)部分 問題就得到了解決 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) 一個(gè)圓把平面分成兩部分 且f 1 1 1 2 2 因此 n 1時(shí)命題成立 2 假設(shè)n k k 1 時(shí) 命題成立 即k個(gè)圓把平面分成f k k2 k 2部分 如果增加一個(gè)滿足條件的任一個(gè)圓 則這個(gè)圓必與前k個(gè)圓交于2k個(gè)點(diǎn) 這2k個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓分成2k段弧 每段弧把它所在的原有平面分成為兩部分 因此 這時(shí)平面被分割的總數(shù)在原來(lái)的基礎(chǔ)上又增加了2k部分 即有 f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 即當(dāng)n k 1時(shí) f n n2 n 2也成立 根據(jù) 1 2 可知n個(gè)圓把平面分成了f n n2 n 2部分 名師點(diǎn)評(píng) 有關(guān)諸如此類問題的論證 關(guān)鍵在于分析清楚n k與n k 1時(shí)二者的差異 這時(shí)常常借助于圖形的直觀性 然后用數(shù)學(xué)式子予以描述 建立起f k 與f k 1 之間的遞推關(guān)系 則當(dāng)n k 1時(shí) 即增加一條直線l 因?yàn)槿魏蝺蓷l直線不平行 所以l與k條直線都相交 有k個(gè)交點(diǎn) 又因?yàn)槿魏稳龡l直線不共點(diǎn) 所以這k個(gè)交點(diǎn)不同于k條直線的交點(diǎn) 且k個(gè)交點(diǎn)也互不相同 如此k個(gè)交點(diǎn)把直線l分成k 1段 每一段把它所在的平面區(qū)域分為兩部分 故新增加了k 1個(gè)平面部分 用數(shù)學(xué)歸納法證明 x 1 n 1 x 2 2n 1 n N 能被x2 3x 3整除 思路點(diǎn)撥 證明多項(xiàng)式的整除問題 關(guān)鍵是在 x 1 n 1 x 2 2n 1中湊出x2 3x 3 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) x 1 1 1 x 2 2 1 1 x2 3x 3能被x2 3x 3整除 命題成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k 1 時(shí) x 1 k 1 x 2 2k 1能被x2 3x 3整除 那么 x 1 k 1 1 x 2 2 k 1 1 x 1 x 1 k 1 x 2 2 x 2 2k 1 x 1 x 1 k 1 x 1 x 2 2k 1 x 1 x 2 2k 1 x 2 2 x 2 2k 1 x 1 x 1 k 1 x 2 2k 1 x2 3x 3 x 2 2k 1 因?yàn)?x 1 k 1 x 2 2k 1和x2 3x 3都能被x2 3x 3整除 所以上面的式子也能被x2 3x 3整除 這就是說 當(dāng)n k 1時(shí) x 1 k 1 1 x 2 2 k 1 1也能被x2 3x 3整除 根據(jù) 1 2 可知 命題對(duì)任何n N 都成立 名師點(diǎn)評(píng) 用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)或式的整除性問題時(shí) 常采取加項(xiàng) 減項(xiàng)的配湊法 而配湊的方法很多 關(guān)鍵是湊成n k時(shí)假設(shè)的形式 變式訓(xùn)練3求證 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 n N 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) a1 1 a 1 2 1 1 a2 a 1 命題顯然成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k 1 時(shí) ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 則當(dāng)n k 1時(shí) ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由歸納假設(shè) 以上兩項(xiàng)均能被a2 a 1整除 故當(dāng)n k 1時(shí) 命題也成立 由 1 2 可知 對(duì)n N 命題都成立 1 數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可 第一步中驗(yàn)證n的初始值至關(guān)重要 它是遞推的基礎(chǔ) 但n的初始值不一定是1 而是n的取值范圍內(nèi)的最小值 2 第二步證明的關(guān)鍵是運(yùn)用歸納假設(shè) 在使用歸納假設(shè)時(shí) 應(yīng)分析p k 與p k 1 的差異與聯(lián)系 利用拆 添 并 放 縮等手段 或從歸納假設(shè)出發(fā) 從p k 1 中分離出p k 再進(jìn)行局部調(diào)整 3 在研究探索性問題時(shí) 由特例歸納猜想的結(jié)論不一定是真命題 這時(shí)需要使用數(shù)學(xué)歸納法證明 其一般解題步驟是 歸納 猜想 證明