2019高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹證明 2.1.1 合情推理（第2課時）類比推理課件 新人教A版選修1 -2.ppt

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第2課時類比推理 1 類比推理 名師點撥類比推理與歸納推理的比較 做一做1 魯班發(fā)明鋸子 的思維過程為 帶齒的草葉能割破行人的腿 鋸子 能 鋸 開木材 它們在功能上是類似的 因此 它們在形狀上也應(yīng)該類似 鋸子 應(yīng)該是齒形的 該過程體現(xiàn)了 A 歸納推理B 類比推理C 沒有推理D 以上說法都不對解析 推理是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程 上述過程是推理 由性質(zhì)類比可知是類比推理 答案 B 2 合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實 經(jīng)過觀察 分析 比較 聯(lián)想 再進(jìn)行歸納 類比 然后提出猜想的推理 我們把它們統(tǒng)稱為合情推理 通俗地說 合情推理是指 合乎情理 的推理 做一做2 下列說法正確的是 A 合情推理的結(jié)論一定正確B 合情推理的結(jié)論一定不正確C 歸納推理和類比推理都屬于合情推理D 合情推理是由一般到特殊的推理答案 C 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內(nèi)打 錯誤的打 1 類比推理是由一般到特殊的推理 2 由直線與圓相切時 圓心與切點的連線和直線垂直 想到平面與球相切時 球心與切點連線與平面垂直 這是運用了類比推理 3 類比推理得到的結(jié)論可以作為定理使用 4 合情推理在數(shù)學(xué)證明和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中具有重要作用 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思維辨析 平面與空間的類比 思路分析 由平面向空間類比推廣時 等邊三角形與正四面體是類比對象 BC的中點與 BCD的重心是類比對象 外接圓與外接球是類比對象 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟平面與空間的類比是最常見的一種類比 一般地 進(jìn)行平面與空間的類比時 常見的對象如下 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比 例2 在等差數(shù)列 an 中 如果m n p r N 且m n p 3r 那么必有am an ap 3ar 類比該結(jié)論 寫出在等比數(shù)列 bn 中類似的結(jié)論 并用數(shù)列知識加以證明 思路分析 從等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義與性質(zhì)出發(fā) 尋找兩種數(shù)列的聯(lián)系點進(jìn)行類比 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟1 等差數(shù)列與等比數(shù)列是一對重要的類比對象 二者在很多方面可以進(jìn)行類比 例如 等差數(shù)列中項的加 減 倍數(shù)運算與等比數(shù)列中的乘 除 開方運算相對應(yīng) 2 進(jìn)行類比推理時 要注意比較兩個對象的相同點和不同點 找到可以進(jìn)行類比的兩個量 然后加以推測 得到類比結(jié)果 最好能夠結(jié)合相關(guān)的知識進(jìn)行證明 以確保類比結(jié)果的合理性 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練2設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 若存在正整數(shù)m n m n 使得Sm Sn 則Sm n 0 類比上述結(jié)論 設(shè)正項等比數(shù)列 bn 的前n項積為Tn 若存在正整數(shù)m n m n 使得Tm Tn 則Tm n 解析 在由等差數(shù)列的運算性質(zhì)類比推理到等比數(shù)列的運算性質(zhì)時 加減運算類比推理到乘除運算 累加類比推理到累乘 故若正項等比數(shù)列 bn 的前n項積為Tn 若存在正整數(shù)m n m n 使得Tm Tn 則Tm n 1 答案 1 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解題方法的類比 例3 我們知道 12 1 22 1 1 2 12 2 1 1 32 2 1 2 22 2 2 1 42 3 1 2 32 2 3 1 n2 n 1 2 2 n 1 1 將以上各式的左右兩邊分別相加 整理得n2 2 1 2 3 n 1 n 所以1 2 3 n 1 類比上述推理方法寫出求12 22 32 n2的表達(dá)式的過程 探究一 探究二 探究三 思維辨析 思路分析 這是解題方法上的類比問題 分析已經(jīng)給出的問題的解題方法與步驟可知 應(yīng)將13 23 33 n3等進(jìn)行改寫 然后兩邊相加 通過變形整理得出結(jié)論 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解 已知 13 1 23 1 1 3 13 3 12 3 1 1 33 2 1 3 23 3 22 3 2 1 43 3 1 3 33 3 32 3 3 1 n3 n 1 3 3 n 1 2 3 n 1 1 將以上各式的左右兩邊分別相加 得 13 23 n3 13 23 n 1 3 3 12 22 n 1 2 3 1 2 n 1 n 整理得n3 3 12 22 n2 3n2 3 1 2 n 1 n 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟借助類比推理可以推測未知 可以發(fā)現(xiàn)新結(jié)論 可以探索和提供解決問題的思路和方法 這是類比推理的重要作用 因此在解決一個未知的問題時 如果能夠發(fā)現(xiàn)未知問題與已知問題的相似之處 它們之間具有可類比性 就可以根據(jù)已知問題的求解方法類比解決未知問題 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 盲目類比致誤 典例 平面幾何中有結(jié)論 若一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊 則這兩個角相等或互補 類比這一結(jié)論 在立體幾何中 若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面 則這兩個二面角 A 互補B 相等C 互補或相等D 大小關(guān)系不定錯解分析 本題的錯誤在于盲目將空間問題與平面問題類比 不注意結(jié)合實際問題進(jìn)行分析 解析 如右圖所示 當(dāng)一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面時 這兩個二面角沒有任何大小關(guān)系 故選D 答案 D 探究一 探究二 探究三 思維辨析 糾錯心得類比推理雖然是一種很好 很重要的推理 利用類比推理可以獲得一些重要結(jié)論 但它的結(jié)論不一定是正確的 因此為了使這種推理更嚴(yán)謹(jǐn) 更完美 我們還要注意結(jié)合類比所涉及的實際問題進(jìn)行分析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 跟蹤訓(xùn)練已知 an 為等比數(shù)列 a7 6 則a1a2 a13 613 類比該結(jié)論 若 bn 為等差數(shù)列 b7 6 則 bn 中的類似結(jié)論為 解析 等比數(shù)列中 乘積 類比到等差數(shù)列中 和 故應(yīng)有結(jié)論為b1 b2 b13 6 13 答案 b1 b2 b13 6 13 1 由 若a b 則a c b c 得到 若a b 則ac bc 采用的是 A 歸納推理B 演繹推理C 類比推理D 數(shù)學(xué)證明解析 由加法類比乘法 是運用了類比推理 答案 C2 已知扇形的弧長為l 半徑為r 類比三角形的面積公式 可推知扇形面積公式S扇等于 解析 我們將扇形的弧類比為三角形的底邊 則扇形的半徑r類比為三角形底邊上的高 所以 答案 C 3 在平面上 若兩個正三角形的邊長比為1 2 則它們的面積比為1 4 類似地 在空間中 若兩個正四面體的棱長比為1 2 則它們的體積比為 解析 因為兩個正三角形是相似三角形 所以它們的面積之比是相似比的平方 同理 兩個正四面體是兩個相似的幾何體 它們的體積之比為相似比的立方 故體積比為1 8 答案 1 8 4 我們知道 在平面中 如果一個平行四邊形的兩條對角線相等 那么這個平行四邊形是矩形 將這一結(jié)論類比推廣到空間中 我們可以得到怎樣的結(jié)論 如何證明該結(jié)論的準(zhǔn)確性 解 空間中 類似的結(jié)論是 如果一個平行六面體的體對角線相等 那么這個平行六面體是直平行六面體 證明如下 如圖 在平行六面體ABCD A1B1C1D1中 若對角線A1C與AC1相等 則四邊形ACC1A1是矩形 因此A1A AC 同理 由BD1 B1D可得四邊形BB1D1D是矩形 因此D1D DB 即A1A DB 又因為AC與BD相交 所以A1A 底面ABCD 故平行六面體是直平行六面體