2019高中數學 第二章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法課件 新人教A版選修1 -2.ppt

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2 2 2反證法 1 反證法 1 反證法是間接證明的一種基本方法 2 一般地 假設原命題不成立 即在原命題的條件下 結論不成立 經過正確的推理 最后得出矛盾 因此說明假設錯誤 從而證明了原命題成立 這種證明方法叫做反證法 名師點撥反證法的實質用反證法證明命題 若p 則q 的過程可以用以下框圖表示 肯定條件p 否定結論q 導致邏輯矛盾 p且q為假 若p則q 為真特別提醒反證法不是通過證明逆否命題來證明原命題 反證法是先否定命題 然后再證明命題的否定是錯誤的 從而肯定原命題正確 做一做1 用反證法證明命題 已知實數x y滿足x3 y3 2 求證 x y 2 時 應作的假設是 解析 命題的結論是x y 2 其否定是x y 2 故應假設 x y 2 答案 x y 2 2 反證法常見的矛盾類型反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾 這個矛盾可以是與已知條件矛盾 或與假設矛盾 或與定義 公理 定理 事實矛盾等 3 反證法的一般步驟用反證法證明命題時 要從否定結論開始 經過正確的推理 導出邏輯矛盾 從而達到新的否定 即肯定原命題 的過程 這個過程包括下面三個步驟 1 反設 假設命題的結論不成立 即假設原結論的反面為真 2 歸謬 由 反設 作為條件 經過一系列正確的推理 得出矛盾 3 存真 由矛盾結果斷定反設錯誤 從而肯定原結論成立 做一做2 用反證法證明命題 若直線AB CD是異面直線 則直線AC BD也是異面直線 的過程歸納為以下三個步驟 則A B C D四點共面 所以AB CD共面 這與AB CD是異面直線矛盾 所以假設錯誤 即直線AC BD也是異面直線 假設直線AC BD是共面直線 則正確的序號順序為 A B C D 解析 結合反證法的證明步驟可知 其正確步驟為 答案 B 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內打 錯誤的打 1 反證法是間接證明的一種基本方法 2 反證法與 證明逆否命題法 是同一種方法 3 否定性命題 唯一性命題等只能用反證法進行證明 4 反證法證明的第一步是對原命題的結論進行否定 5 反證法的證明過程既可以是合情推理 也可以是一種演繹推理 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 思維辨析 用反證法證明否定性命題 思路分析 這是否定性命題 可用反證法證明 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟用反證法證明否定性命題的適用類型所謂否定性命題 就是指所證問題中 含有 不 不是 不相等 不存在 不可能 都不 沒有 等否定性詞語的命題 這類命題 其結論的反面比較具體 適合采用反證法證明 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 用反證法證明 至少 至多 命題 思路分析 本題為 至少 至多 型問題 反設其結論 容易導出矛盾 故用反證法證明 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟1 對于 至少 至多 型問題 直接證明時分類情況較多 證明過程繁瑣 而如果運用反證法證明 則分類情況單一 證明過程簡單 這體現了 正難則反 的思想方法 2 證明 至少 至多 型問題時 常見的 結論詞 與 反設詞 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 用反證法證明唯一性命題 例3 求證 經過平面 外一點A只能有一條直線和平面 垂直 思路分析 本題為唯一性命題 可用反證法證明 即假設經過點A有兩條直線都與平面 垂直 然后根據空間以及平面中的有關定理推出矛盾 探究一 探究二 探究三 思維辨析 證明 如圖 點A在平面 外 假設經過點A至少有平面 的兩條垂線AB AC B C為垂足 那么AB AC是兩條相交直線 它們確定一個平面 平面 和平面 相交于直線BC 因為AB 平面 AC 平面 且BC 所以AB BC AC BC 在平面 內經過點A有兩條直線都和BC垂直 這與平面幾何中經過直線外一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾 因此假設錯誤 即經過平面外一點A只能有一條直線和平面 垂直 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟用反證法證明唯一性命題的注意點 1 當所證命題的結論是以 有且只有 只有一個 唯一一個 存在唯一 等形式出現時 反設其結論易于導出矛盾 因此可用反證法證明該類命題 2 用反證法證明唯一性命題時 如果其結論的反面呈現多樣性 必須羅列出所有可能的各種情況 缺少任何一種情況時 反證都是不完全的 3 證明 有且只有 等形式的問題時 需要證明兩個方面 即證明存在性和唯一性 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練3已知函數f x 在區(qū)間 m n 上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線 且f x 在 m n 上單調遞減 若f m f n x1 則有f x0 f x1 即0 0 矛盾 故假設錯誤 即方程f x 0在 m n 上的根是唯一的 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反證法證明過程中未用反設致誤 典例 已知實數k滿足2k2 3k 1 0 運用反證法證明 關于x的方程x2 2x 5 k2 0沒有實數根 錯解分析 本題常見錯解是雖然對命題的結論進行了反設 但后面的證明過程中 沒有將這一 反設 作為條件進行推理 因此沒有推出矛盾 故這種證明過程不是利用反證法進行的 是錯誤的 證明 假設方程x2 2x 5 k2 0有實數根 則其判別式 4 4 5 k2 4k2 16 0 解得k 2或k 2 又因為實數k滿足2k2 3k 1 0 所以 1 k k 2或k 2 與 1 k 矛盾 故假設錯誤 即關于x的方程x2 2x 5 k2 0沒有實數根 探究一 探究二 探究三 思維辨析 糾錯心得在反證法的證明過程中 必須首先對結論進行否定 然后在后面的推理過程中真正用上這一 反設 才是真正利用反證法證明問題 探究一 探究二 探究三 思維辨析 跟蹤訓練已知直線a b相交 求證 直線a與b有且只有一個交點 證明 假設結論不成立 則有兩種情況 直線a與b沒有交點 直線a與b有不止一個交點 1 假設直線a與b沒有交點 則a b或a b是異面直線 這與已知矛盾 2 假設直線a與b有不止一個交點 則至少有兩個交點 設為P P 這樣經過點P P 就有兩條直線a b 這與兩點確定一條直線矛盾 由 1 和 2 可知假設不成立 所以直線a與b有且只有一個交點 1 用反證法證明一個命題時 下列說法正確的是 A 將結論與條件同時否定 推出矛盾B 肯定條件 否定結論 推出矛盾C 將否定的結論作為條件 原題中的條件不能用D 肯定結論 否定條件 推出矛盾解析 反證法中只能將結論否定 條件不能否定 答案 B2 用反證法證明命題 已知m n N 若mn能被3整除 則m n中至少有一個能被3整除 時 假設的內容是 A m n都能被3整除B m n都不能被3整除C m n不都能被3整除D m n中有一個能被3整除解析 結論 m n中至少有一個能被3整除 的否定是 m n都不能被3整除 故應假設m n都不能被3整除 答案 B 3 若實數x y z滿足x y z 9 則x y z中至少有一個大于 解析 假設x y z都不大于3 即x 3 y 3 z 3 則x y z 9 這與x y z 9相矛盾 故x y z中至少有一個大于3 答案 34 命題 關于x的方程ax b 0 a 0 的解是唯一的 的結論的否定是 答案 無解或至少有兩個解 證明 假設a b c都小于1 即a 1 b 1 c 1 則a b c 3 這與a b c 3矛盾 因此假設錯誤 即a b c中至少有一個不小于1