2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第8節(jié) 立體幾何中的向量方法(二)——求空間角課件 北師大版.ppt

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第8節(jié)立體幾何中的向量方法 二 求空間角 最新考綱1 能用向量方法解決直線與直線 直線與平面 平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題 2 了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用 1 異面直線所成的角設(shè)a b分別是兩異面直線l1 l2的方向向量 則 知識(shí)梳理 2 求直線與平面所成的角設(shè)直線l的方向向量為a 平面 的法向量為n 直線l與平面 所成的角為 則sin 3 求二面角的大小 1 如圖 AB CD是二面角 l 的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線 則二面角的大小 cos a n 2 如圖 n1 n2分別是二面角 l 的兩個(gè)半平面 的法向量 則二面角的大小 滿足 cos 二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角 或其補(bǔ)角 cos n1 n2 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1 線面角 的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對(duì)值 即sin cos a n 不要誤記為cos cos a n 2 二面角與法向量的夾角 利用平面的法向量求二面角的大小時(shí) 當(dāng)求出兩半平面 的法向量n1 n2時(shí) 要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向 來(lái)確定二面角與向量n1 n2的夾角是相等 還是互補(bǔ) 診斷自測(cè) 解析 1 兩直線的方向向量所成的角是兩條直線所成的角或其補(bǔ)角 2 直線的方向向量a 平面的法向量n 直線與平面所成的角為 則sin cosa n 3 兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角或其補(bǔ)角 答案 1 2 3 4 2 教材練習(xí)改編 已知兩平面的法向量分別為m 0 1 0 n 0 1 1 則兩平面所成的二面角為 A 45 B 135 C 45 或135 D 90 答案C 答案30 4 已知正方體ABCD A1B1C1D1如圖所示 則直線B1D和CD1所成的角為 答案90 5 2018 鄭州預(yù)測(cè) 過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA 平面ABCD 若AB PA 則平面ABP與平面CDP所成的二面角為 解析如圖 建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)AB PA 1 則A 0 0 0 D 0 1 0 P 0 0 1 由題意 AD 平面PAB 設(shè)E為PD的中點(diǎn) 連接AE 則AE PD 又CD 平面PAD 故平面PAB與平面PCD所成的二面角為45 答案45 解析 1 法一以B為原點(diǎn) 建立如圖 1 所示的空間直角坐標(biāo)系 圖 1 圖 2 則B 0 0 0 B1 0 0 1 C1 1 0 1 法二如圖 2 設(shè)M N P分別為AB BB1 B1C1中點(diǎn) 則PN BC1 MN AB1 AB1與BC1所成的角是 MNP或其補(bǔ)角 AB 2 BC CC1 1 法三將直三棱柱ABC A1B1C1補(bǔ)形成直四棱柱ABCD A1B1C1D1 如圖 3 連接AD1 B1D1 則AD1 BC1 圖 3 2 設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2 取BC的中點(diǎn)O 連接OA OD 等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直 OA OC OD兩兩垂直 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 解析法一取BC的中點(diǎn)Q 連接QN AQ 易知BM QN 則 ANQ或其補(bǔ)角即為所求 設(shè)BC CA CC1 2 法二以C1為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 答案C 1 證明作PG BD交CD于G 連接AG 在Rt ADC中 AC2 AD2 CD2 4 12 16 AC 4 又E為AC的中點(diǎn) DE AE 2 又AD 2 ADE 60 AG DE AD 平面BCD AD BD 又 BD CD AD CD D BD 平面ADC PG 平面ADC PG DE 又 AG PG G DE 平面AGP 又AP 平面AGP AP DE 2 解以D為坐標(biāo)原點(diǎn) 直線DB DC DA所在直線分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系D xyz 設(shè)平面DEF的法向量為n x y z 規(guī)律方法利用向量法求線面角的方法 1 分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量 轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角 或其補(bǔ)角 2 通過(guò)平面的法向量來(lái)求 即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角 取其余角就是斜線和平面所成的角 訓(xùn)練2 如圖 在六面體ABCD HEFG中 四邊形ABCD為菱形 AE BF CG DH都垂直于平面ABCD 若DA DH DB 4 AE CG 3 1 求證 EG DF 2 求BE與平面EFGH所成角的正弦值 1 證明連接AC 由AE綊CG可知四邊形AEGC為平行四邊形 所以EG AC 而AC BD AC BF 所以EG BD EG BF 因?yàn)锽D BF B BD BF 平面BDHF 所以EG 平面BDHF 又DF 平面BDHF 所以EG DF 2 解設(shè)AC BD O EG HF P 由已知可得 平面ADHE 平面BCGF 所以EH FG 同理可得 EF HG 所以四邊形EFGH為平行四邊形 所以P為EG的中點(diǎn) O為AC的中點(diǎn) 所以O(shè)P綊AE 從而OP 平面ABCD 又OA OB 所以O(shè)A OB OP兩兩垂直 由平面幾何知識(shí) 得BF 2 考點(diǎn)三用空間向量求二面角 多維探究 命題角度1計(jì)算二面角的大小 例3 1 2017 全國(guó) 卷 如圖 在四棱錐P ABCD中 AB CD 且 BAP CDP 90 1 證明 平面PAB 平面PAD 2 若PA PD AB DC APD 90 求二面角A PB C的余弦值 1 證明 BAP CDP 90 PA AB PD CD 又 AB CD PD AB 又 PD PA P PD PA 平面PAD AB 平面PAD 又AB 平面PAB 平面PAB 平面PAD 2 解取AD中點(diǎn)O BC中點(diǎn)E 連接PO OE AB綊CD 四邊形ABCD為平行四邊形 OE綊AB 由 1 知 AB 平面PAD OE 平面PAD 又PO AD 平面PAD OE PO OE AD 又 PA PD PO AD PO OE AD兩兩垂直 設(shè)n x y z 為平面PBC的法向量 APD 90 PD PA 又知AB 平面PAD PD 平面PAD PD AB 又PA AB A PA AB 平面PAB PD 平面PAB 命題角度2已知二面角的大小求值 因?yàn)樗倪呅蜛DNM是矩形 MA AD 平面ADNM 平面ABCD且交線為AD 所以MA 平面ABCD 又DE 平面ABCD 所以DE AM 又AM AB A AM AB 平面ABM 所以DE 平面ABM 又DE 平面DEM 所以平面DEM 平面ABM 2 解在線段AM存在點(diǎn)P 理由如下 由DE AB AB CD 得DE CD 因?yàn)樗倪呅蜛DNM是矩形 平面ADNM 平面ABCD且交線為AD 所以ND 平面ABCD 以D為原點(diǎn) DE DC DN所在直線分別為x軸 y軸 z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系 規(guī)律方法1 利用空間向量計(jì)算二面角大小的常用方法 1 找法向量 分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量 然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小 但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小 2 找與棱垂直的方向向量 分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量 則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小 2 利用向量法求二面角大小的注意點(diǎn) 1 建立空間直角坐標(biāo)系時(shí) 若垂直關(guān)系不明確 應(yīng)先給出證明 2 對(duì)于某些平面的法向量 要結(jié)合題目條件和圖形多觀察 判斷該法向量是否已經(jīng)隱含著 不用單獨(dú)求 3 注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角 可結(jié)合圖形進(jìn)行 以防結(jié)論失誤 2 一題多解 當(dāng)AB 3 AD 2時(shí) 求二面角E AG C的大小 解 1 因?yàn)锳P BE AB BE AB AP 平面ABP AB AP A 所以BE 平面ABP 又BP 平面ABP 所以BE BP 又 EBC 120 因此 CBP 30 圖1 因?yàn)?EBC 120 所以四邊形BEHC為菱形 所以AE GE AC GC 取AG中點(diǎn)M 連接EM CM EC 則EM AG CM AG 所以 EMC為所求二面角的平面角 在 BEC中 由于 EBC 120 由余弦定理得EC2 22 22 2 2 2 cos120 12 法二以B為坐標(biāo)原點(diǎn) 分別以BE BP BA所在的直線為x y z軸 建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系 圖2 設(shè)m x1 y1 z1 是平面AEG的法向量