2019版高中數學 第一章 統計 1.8 最小二乘估計課件 北師大版必修3.ppt

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8最小二乘估計 1 最小二乘法如果有n個點 x1 y1 x2 y2 xn yn 可以用下面的表達式來刻畫這些點與直線y a bx的接近程度 y1 a bx1 2 y2 a bx2 2 yn a bxn 2 使得上式達到最小值的直線y a bx就是我們所要求的直線 這種方法稱為最小二乘法 2 回歸直線方程 做一做1 已知x與y之間的一組數據如下表 則y與x的線性回歸方程y bx a 必過點 A 2 3 B 1 5 3 C 1 5 3 25 D 2 3 25 答案 C 3 線性回歸分析利用最小二乘法估計時 要先作出數據的散點圖 如果散點圖呈現一定的規(guī)律性 我們再根據這個規(guī)律進行擬合 如果散點圖呈現出線性關系 我們可以用最小二乘法估計出線性回歸方程 如果散點圖呈現出其他的曲線關系 我們就要利用其他的曲線進行擬合 規(guī)律總結線性回歸分析的步驟 1 作散點圖 判斷兩個變量是否線性相關 若是 再執(zhí)行以下步驟 4 代入公式計算b a的值 5 寫出線性回歸方程 6 根據回歸系數的意義進行估計和判斷 做一做2 設有一個回歸方程為 1 5x 2 則變量x增加一個單位時 A y平均增加1 5個單位B y平均增加2個單位C y平均減少1 5個單位D y平均減少2個單位解析 兩個變量線性負相關 變量x增加一個單位 y平均減少1 5個單位 答案 C 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號里畫 錯誤的畫 1 散點圖能直觀地反映數據的相關程度 2 任意一組數據都有一個對應的線性回歸方程 3 散點圖中的點越集中 兩個變量的相關性越強 4 線性回歸方程最能代表線性相關的兩個變量之間的關系 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 求線性回歸方程 例1 某市近5年的煤氣消耗量與使用煤氣戶數如下表 1 檢驗變量x y是否線性相關 2 求y對x的線性回歸方程 分析 根據表中的數據 作出散點圖 判斷是否線性相關 若是 則根據公式求得a b 得線性回歸方程 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 解 1 作出散點圖 由散點圖知變量x y線性相關 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 變式訓練1若在一次試驗中 測得 x y 的四組數值分別是A 1 3 B 2 3 8 C 3 5 2 D 4 6 則y與x之間的線性回歸方程是 A y x 1 9B y 1 04x 1 9C y 0 95x 1 04D y 1 05x 0 9答案 B 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 回歸直線的性質 例2 下表提供了某種產品投入的廣告費用x 單位 萬元 與相應銷售金額y 單位 十萬元 的幾組數據 根據上表提供的數據 求出y關于x的線性回歸方程是y 0 25x 1 75 后來表中的某個數據被污染 則被污染的數據最有可能是 A 2 8B 2 5C 2 6D 3 6 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 答案 B反思感悟回歸直線y bx a一定經過樣本點的中心 根據這一性質可以快速地確定回歸直線系數的值或者根據回歸系數的值確定未知數據 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 變式訓練2已知x y的取值如下表所示 答案 B 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 利用線性回歸方程對總體進行估計 例3 對具有線性相關關系的變量x y 測得一組數據如下 根據上表 利用最小二乘法得它們的回歸直線方程為y 10 5x a 據此模型來預測當x 20時 y的估計值為 A 210B 210 5C 211 5D 212 5解析 由數據可知 代入回歸直線方程得a 1 5 所以y 10 5x 1 5 當x 20時 y 10 5 20 1 5 211 5 答案 C反思感悟1 利用線性回歸方程對總體進行估計 關鍵在于正確地求出線性回歸方程 2 利用線性回歸方程進行預測和估計時 所得到的結果只是一個估計值 而不是精確值 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 變式訓練3 1 根據下表樣本數據 得到的回歸方程為y bx a 若a 7 9 則x每增加1個單位 y就 A 增加1 4個單位B 減少1 4個單位C 增加1 2個單位D 減少1 2個單位 2 從某一行業(yè)隨機抽取12家企業(yè) 它們的生產量與生產費用的數據如表所示 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 繪制生產量x和生產費用y相應數據對應的散點圖 如果兩個變量之間是線性相關關系 請用最小二乘法求出其線性回歸方程 如果一個企業(yè)的生產量是120臺 請預測它的生產費用 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 答案 B 2 解 散點圖如圖所示 根據散點圖可知 兩個變量x和y之間的關系是線性相關關系 下面用最小二乘法求線性回歸方程 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 3 在線性回歸方程y 0 42x 124 22中 常數項124 22可以認為是固定費用 它不隨生產量的變化而變化 0 42可以認為是可變費用的增長系數 即每增加1個單位的生產量就增加0 42個單位的費用 將x 120代入線性回歸方程得y 0 42 120 124 22 174 62 即如果一個企業(yè)的生產量是120臺 它的生產費用約為174 62萬元 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 線性回歸方程的求法與應用 典例 一個車間為了規(guī)定工時定額 需要確定加工零件所花費的時間 為此進行了10次實驗 收集數據如下 1 畫出散點圖 2 求線性回歸方程 3 關于加工零件的個數與加工時間 你能得出什么結論 分析 1 橫坐標表示加工零件個數 縱坐標表示加工時間 建立平面直角坐標系即可繪制散點圖 2 利用散點圖中點的走勢即可得出變量之間是否線性相關 然后利用最小二乘法求出線性回歸方程 利用方程得出 3 中的預測結論 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 解 1 散點圖如圖所示 由散點圖知二者呈線性相關關系 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 2 設線性回歸方程為y bx a 列表并利用科學計算器進行有關計算 故所求線性回歸方程為y 0 668x 54 96 3 由線性回歸方程可以得出每多加工10個零件 就多花費6 68時 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 方法點睛1 解決此類問題 因為已知y與x線性相關 所以只需代入公式進行求解 鑒于代入很煩瑣 因此要分步來求解 并且要注意運算結果的正確性 2 根據線性回歸方程來進行預測或估計時 要注意明確方程中的各個量在實際問題的含義 不要混淆 做到有的放矢 3 線性回歸方程中的回歸系數b代表x每增加一個單位 y平均增加的單位數 而不是增加單位數 也就是說 此時對y的預測是平均預測 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 變式訓練下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x 單位 噸 與相應的生產能耗y 單位 噸標準煤 的幾組對應數據 1 請畫出表中數據的散點圖 2 請根據上表提供的數據 用最小二乘法求出y關于x的回歸直線方程y bx a 3 已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤 試根據 2 求出的回歸直線方程 預測技改后生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 解 1 由題設所給數據可得散點圖 如圖所示 因此 所求的回歸直線方程為y 0 7x 0 35 3 由 2 的回歸直線方程及技改前生產100噸甲產品的生產能耗 得降低的生產能耗為90 0 7 100 0 35 19 65 噸標準煤 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 1 工人月工資y 單位 元 依勞動生產率x 單位 千元 變化的線性回歸方程為y 50 80 x 下列判斷正確的是 A 勞動生產率為1000元時 工資為130元B 勞動生產率提高1000元 則工資平均提高80元C 勞動生產率提高1000元 則工資平均提高130元D 當月工資為210元時 勞動生產率為2000元答案 B2 下列命題 線性回歸方法就是尋找一條貼近已知樣本點的直線的數學方法 利用樣本點的散點圖可以直觀判斷兩個變量的關系是否可以用線性關系來表示 通過線性回歸方程y bx a可以估計和預測變量的取值和變化趨勢 其中正確的命題是 A B C D 答案 D 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 3 下表是x與y之間的一組數據 則y關于x的回歸直線必過點 A 2 2 B 1 5 2 C 1 2 D 1 5 4 答案 D 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 4 登山族為了了解某山高y 單位 km 與氣溫x 單位 之間的關系 隨機統計了4次山高與相應的氣溫 并制作了對照表 由表中數據 得到線性回歸方程y 0 2x a a R 由此估計出山高為7 2km處的氣溫為 A 10 B 8 C 6 D 4 答案 C 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 5 正常情況下 年齡在18歲到38歲的人 體重y kg 對身高x cm 的回歸方程為 0 72x 58 2 張明同學 20歲 身高178cm 他的體重應該在kg左右 解析 用回歸方程對身高為178cm的人的體重進行預測 當x 178時 0 72 178 58 2 69 96 kg 答案 69 96 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 6 某車間為了規(guī)定工時定額 需要確定加工某零件所花費的時間 為此做了四次實驗 得到的數據如下 1 求出y關于x的線性回歸方程 2 試預測加工10個零件需要多少時間 故a 2 75 0 8 3 5 0 05 所以y 0 8x 0 05 2 將x 10代入回歸直線方程 得y 0 8 10 0 05 7 95 所以預測加工10個零件需要7 95時