2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用課件 理.ppt

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第2講數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 高考定位1 高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn) 通過分組轉(zhuǎn)化 錯(cuò)位相減 裂項(xiàng)相消等方法求數(shù)列的和 難度中檔偏下 2 在考查數(shù)列運(yùn)算的同時(shí) 將數(shù)列與不等式 函數(shù)交匯滲透 解 1 因?yàn)閍1 3a2 2n 1 an 2n 故當(dāng)n 2時(shí) a1 3a2 2n 3 an 1 2 n 1 真題感悟 又S2n 1 bnbn 1 bn 1 0 所以bn 2n 1 考點(diǎn)整合 2 數(shù)列求和 3 數(shù)列與函數(shù) 不等式的交匯 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景 給出數(shù)列所滿足的條件 通常利用點(diǎn)在曲線上給出Sn的表達(dá)式 還有以曲線上的切點(diǎn)為背景的問題 解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系 將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化 數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體 考查最值問題 不等關(guān)系或恒成立問題 解 1 因?yàn)閍n 5Sn 1 n N 所以an 1 5Sn 1 1 2 bn 1 log2 an 2n 1 數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和Tn n2 因此 An 是單調(diào)遞增數(shù)列 探究提高1 給出Sn與an的遞推關(guān)系求an 常用思路是 一是利用Sn Sn 1 an n 2 轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系 再求其通項(xiàng)公式 二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系 先求出Sn與n之間的關(guān)系 再求an 2 形如an 1 pan q p 1 q 0 可構(gòu)造一個(gè)新的等比數(shù)列 1 解2 Sn 1 n 3 an 當(dāng)n 2時(shí) 2 Sn 1 1 n 2 an 1 得 n 1 an n 2 an 1 熱點(diǎn)二數(shù)列的求和考法1分組轉(zhuǎn)化求和 例2 1 2018 合肥質(zhì)檢 已知等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且滿足S4 24 S7 63 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 若bn 2an 1 n an 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和Tn 因此 an 的通項(xiàng)公式an 2n 1 2 bn 2an 1 n an 22n 1 1 n 2n 1 2 4n 1 n 2n 1 探究提高1 在處理一般數(shù)列求和時(shí) 一定要注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想 把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和 在利用分組求和法求和時(shí) 常常根據(jù)需要對項(xiàng)數(shù)n的奇偶進(jìn)行討論 最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個(gè)表達(dá)式 2 分組求和的策略 1 根據(jù)等差 等比數(shù)列分組 2 根據(jù)正號 負(fù)號分組 1 證明 Sn 2n2 5n 當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 4n 3 又當(dāng)n 1時(shí) a1 S1 7也滿足an 4n 3 故an 4n 3 n N 數(shù)列 3an 是公比為81的等比數(shù)列 2 解 bn 4n2 7n 探究提高1 裂項(xiàng)相消法求和就是將數(shù)列中的每一項(xiàng)裂成兩項(xiàng)或多項(xiàng) 使這些裂開的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消 要注意消去了哪些項(xiàng) 保留了哪些項(xiàng) 2 消項(xiàng)規(guī)律 消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng) 后邊就剩幾項(xiàng) 前邊剩第幾項(xiàng) 后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng) 解 1 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q q 0 所以an a1qn 1 3n 2 由 1 得bn log332n 1 2n 1 解 1 設(shè) an 的公差為d 由題設(shè) 解之得a1 1 且d 1 因此an n 探究提高1 一般地 如果數(shù)列 an 是等差數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 求數(shù)列 an bn 的前n項(xiàng)和時(shí) 可采用錯(cuò)位相減法求和 一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列 bn 的公比 然后作差求解 2 在寫 Sn 與 qSn 的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式 錯(cuò)項(xiàng)對齊 以便下一步準(zhǔn)確地寫出 Sn qSn 的表達(dá)式 解 1 由題意知 當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 6n 5 當(dāng)n 1時(shí) a1 S1 11 符合上式 所以an 6n 5 設(shè)數(shù)列 bn 的公差為d 所以bn 3n 1 又Tn c1 c2 cn 得Tn 3 2 22 3 23 n 1 2n 1 2Tn 3 2 23 3 24 n 1 2n 2 兩式作差 得 Tn 3 2 22 23 24 2n 1 n 1 2n 2 所以Tn 3n 2n 2 an 1 f an 且a1 1 an 1 an 2則an 1 an 2 因此數(shù)列 an 是公差為2 首項(xiàng)為1的等差數(shù)列 an 1 2 n 1 2n 1 等比數(shù)列 bn 中 b1 a1 1 b2 a2 3 q 3 bn 3n 1 又n N n 1 或n 2故適合條件Tn Sn的所有n的值為1和2 探究提高1 求解數(shù)列與函數(shù)交匯問題注意兩點(diǎn) 1 數(shù)列是一類特殊的函數(shù) 其定義域是正整數(shù)集 或它的有限子集 在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時(shí)要特別重視 2 解題時(shí)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù) 利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)注意限制條件 2 數(shù)列為背景的不等式恒成立 不等式證明 多與數(shù)列的求和相聯(lián)系 最后利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性處理 解 1 由已知Sn 2an a1 有an Sn Sn 1 2an 2an 1 n 2 即an 2an 1 n 2 從而a2 2a1 a3 2a2 4a1 又因?yàn)閍1 a2 1 a3成等差數(shù)列 即a1 a3 2 a2 1 所以a1 4a1 2 2a1 1 解得a1 2 所以數(shù)列 an 是首項(xiàng)為2 公比為2的等比數(shù)列 故an 2n 即2n 1000 又 n N 因?yàn)?9 512 1000 1024 210 所以n 10 1 錯(cuò)位相減法的關(guān)注點(diǎn) 1 適用題型 等差數(shù)列 an 乘以等比數(shù)列 bn 對應(yīng)項(xiàng)得到的數(shù)列 an bn 求和 2 步驟 求和時(shí)先乘以數(shù)列 bn 的公比 把兩個(gè)和的形式錯(cuò)位相減 整理結(jié)果形式 2 裂項(xiàng)求和的常見技巧 3 數(shù)列與不等式綜合問題 1 如果是證明不等式 常轉(zhuǎn)化為數(shù)列和的最值問題 同時(shí)要注意比較法 放縮法 基本不等式的應(yīng)用 2 如果是解不等式 注意因式分解的應(yīng)用