2018高中數(shù)學 第2章 推理與證明 2.2.1 直接證明課件 蘇教版選修1 -2.ppt

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第2章 推理與證明 2 2直接證明與間接證明2 2 1直接證明 學習目標 1 了解直接證明的兩種基本方法 綜合法和分析法 2 理解綜合法和分析法的思考過程 特點 會用綜合法和分析法證明數(shù)學問題 1 預習導學挑戰(zhàn)自我 點點落實 2 課堂講義重點難點 個個擊破 3 當堂檢測當堂訓練 體驗成功 知識鏈接 1 綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理 答綜合法與分析法的推理過程是演繹推理 因為綜合法與分析法的每一步推理都是嚴密的邏輯推理 從而得到的每一個結(jié)論都是正確的 不同于合情推理中的 猜想 預習導引 1 直接證明直接逐步推得的證明通常稱為直接證明 是直接證明中最基本的兩種證明方法 也是解決數(shù)學問題時常用的思維方式 從原命題的條件 命題成立 綜合法和分析法 2 綜合法從出發(fā) 以已知的定義 公理 定理為依據(jù) 逐步下推 直到推出為止 這種證明方法通常稱為綜合法 已知條件 要證明的結(jié)論 3 分析法從出發(fā) 追溯導致結(jié)論成立的條件 逐步上溯 直到使結(jié)論成立的條件和吻合為止 這種證明方法通常稱為分析法 問題的結(jié)論 已知條件或已知事實 要點一綜合法的應用例1已知a b是正數(shù) 且a b 1 證明方法一 a b是正數(shù)且a b 1 方法二 a b是正數(shù) 又a b 1 當且僅當a b時 取 規(guī)律方法利用綜合法證明問題的步驟 1 分析條件選擇方向 仔細分析題目的已知條件 包括隱含條件 分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別 選擇相關(guān)的公理 定理 公式 結(jié)論 確定恰當?shù)膬?yōu)化解法 2 轉(zhuǎn)化條件組織過程 把題目的已知條件 轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言 主要是文字 符號 圖形三種語言之間的轉(zhuǎn) 化 組織過程時要有嚴密的邏輯 簡潔的語言 清晰的思路 3 適當調(diào)整回顧反思 解題后回顧解題過程 可對部分步驟進行調(diào)整 并對一些語言進行適當?shù)男揎?反思總結(jié)優(yōu)化解法 跟蹤演練1在 ABC中 三個內(nèi)角A B C對應的邊分別為a b c 且A B C成等差數(shù)列 a b c成等比數(shù)列 求證 ABC為等邊三角形 證明由A B C成等差數(shù)列 有2B A C 因為A B C為 ABC的內(nèi)角 所以A B C 由 得B 由a b c成等比數(shù)列 有b2 ac 由余弦定理及 可得b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac 再由 得a2 c2 ac ac 即 a c 2 0 因此a c 從而有A C 由 得A B C 所以 ABC為等邊三角形 要點二分析法的應用例2設(shè)a b為實數(shù) 證明當a b 0時 當a b 0時 用分析法證明如下 即證a2 b2 2ab a2 b2 2ab對一切實數(shù)恒成立 綜上所述 不等式得證 規(guī)律方法分析法格式與綜合法正好相反 它是從要求證的結(jié)論出發(fā) 倒著分析 由未知想需知 由需知逐漸地靠近已知 已知條件 已經(jīng)學過的定義 定理 公理 公式 法則等 這種證明的方法關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可以逆推的 它的常見書寫表達式是 要證 只需 或 跟蹤演練2如圖所示 SA 平面ABC AB BC 過A作SB的垂線 垂足為E 過E作SC的垂線 垂足為F 求證 AF SC 證明要證AF SC 只需證SC 平面AEF 只需證AE SC 因為EF SC 只需證AE 平面SBC 只需證AE BC 因為AE SB 只需證BC 平面SAB 只需證BC SA 因為AB BC 由SA 平面ABC可知上式成立 所以AF SC 要點三綜合法和分析法的綜合應用例3已知a b c是不全相等的正數(shù) 且0 x 1 由已知0 x 1 規(guī)律方法綜合法推理清晰 易于書寫 分析法從結(jié)論入手 易于尋找解題思路 在實際證明命題時 常把分析法與綜合法結(jié)合起來使用 稱為分析綜合法 其結(jié)構(gòu)特點是 根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論 得到中間結(jié)論Q 根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件 得到中間結(jié)論P 若由P可推出Q 即可得證 證明由已知條件得b2 ac 2x a b 2y b c 只要證ay cx 2xy 只要證2ay 2cx 4xy 由 得2ay 2cx a b c c a b ab 2ac bc 4xy a b b c ab b2 ac bc ab 2ac bc 所以2ay 2cx 4xy 命題得證 1 下列表述 綜合法是由因?qū)Ч?綜合法是順推法 分析法是執(zhí)果索因法 分析法是間接證明法 分析法是逆推法 其中正確的語句有 個 解析 正確 1 2 3 4 4 1 2 3 4 2 設(shè)a b是兩個正實數(shù) 且a b 則下列式子一定成立的是 1 2 3 4 所以左邊 log195 2log193 3log192 log195 log1932 log1923 1 2 3 4 log19 5 32 23 log19360 因為log19360 log19361 2 求證 cos sin 3 cos sin 證明要證cos sin 3 cos sin 1 2 3 4 1 2 3 4 只需證1 tan 3 1 tan 1 2 3 4 1 tan 2 tan 即2tan 1 結(jié)論得證 課堂小結(jié)1 綜合法證題是從條件出發(fā) 由因?qū)Ч?分析法是從結(jié)論出發(fā) 執(zhí)果索因 2 分析法證題時 一定要恰當?shù)剡\用 要證 只需證 即證 等詞語 3 在實際證題過程中 分析法與綜合法是統(tǒng)一運用的 把分析法和綜合法孤立起來運用是脫離實際的 沒有分析就沒有 綜合 沒有綜合也沒有分析 問題僅在于 在構(gòu)建命題的證明路徑時 有時分析法居主導地位 綜合法伴隨著它 有時卻恰恰相反 是綜合法居主導地位 而分析法伴隨著它