高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列、推理與證明 第8講 數(shù)學(xué)歸納法課件 理.ppt

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第8講 數(shù)學(xué)歸納法 1 掌握 歸納 猜想 證明 這一基本思路 2 了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理 3 能利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題 1 運用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步 第一步是歸納奠基 或遞推基礎(chǔ) 第二步是歸納遞推 或歸納假設(shè) 兩步缺一不可 2 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題 其中包括恒等式 不等式 數(shù)列通項公式 整除性問題 幾何問題等 條時 第一步檢驗第一個值n0等于 A 1 B 2 C 3 D 4 且n 1 時 在第二步證明從n k到n k 1成立時 左邊增加 的項數(shù)是 A 2kB 2k 1C 2k 1D 2k 1 C A 3 凸n邊形有f n 條對角線 則凸n 1邊形有對角線數(shù)f n 1 為 C 5 A f n n 1C f n n 1 B f n nD f n n 2 4 若不等式2n n2 1對于n n0的正整數(shù)n都成立 則n0的最小值為 考點1 對數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟的認(rèn)識 上述證法 A 過程全都正確B n 1驗得不正確C 歸納假設(shè)不正確D 從n k到n k 1的推理不正確解析 上述證明過程中 在由n k變化到n k 1時 不等式的證明使用的是放縮法而沒有使用歸納假設(shè) 故選D 答案 D 答案 B 規(guī)律方法 用數(shù)學(xué)歸納法證明時 要注意觀察下列幾個方面 n的范圍以及遞推的起點 觀察首末兩項的次數(shù) 或其他 確定n k時命題的形式f k 從f k 1 和f k 的差異 尋找由k到k 1遞推中 左邊要加 或乘 的式子 互動探究 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明1 a a2 an 1 an 1 a 1 1 a n N 時 在驗證n 1時 左邊計算所得的式子是 B A 1C 1 a a2 B 1 aD 1 a a2 a4 解析 n 1時 左邊的最高次數(shù)為1 即最后一項為a 左邊是1 a 的 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 11n 1n 2 113n n24 過程中 由k推導(dǎo)到k 1時 不等式左邊增加的式子是 答案 n n 1 an2 bn c 對一切正整數(shù)n都成立 證明你 考點2 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式命題 例2 是否存在常數(shù)a b c 使等式1 22 2 32 2 n n 1 12 的結(jié)論 思維點撥 從特殊入手 探求a b c的值 考慮到有3個未知數(shù) 先取n 1 2 3 列方程組求得 然后用數(shù)學(xué)歸納法對一切n N 等式都成立 3n2 11n a b c 24 解 把n 1 2 3代入得方程組4a 2b c 44 9a 3b c 70 a 3 解得b 11 c 10 猜想 等式1 22 2 32 n n 1 2 n n 1 12 10 對一切n N 都成立 3k2 11k 10 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 當(dāng)n 1時 由上面可知等式成立 2 假設(shè)n k時等式成立 即1 22 2 32 k k 1 2 k k 1 12 k k 1 k k 1 則1 22 2 32 k k 1 2 k 1 k 2 2 12 3k2 11k 10 k 1 k 2 2 12 3k 5 k 2 k 1 k 2 2 k 1 k 2 12 k 3k 5 12 k 2 k 1 k 2 12 3 k 1 2 11 k 1 10 當(dāng)n k 1時 等式也成立 綜合 1 2 對n N 等式都成立 規(guī)律方法 這是一個探索性命題 歸納 猜想 證明 是一個完整的發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思維模式 對于探索命題特別有效 要求善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律 敢于提出更一般的結(jié)論 最后進(jìn)行嚴(yán)密的論證 從特殊入手 探求a b c的值 考慮到有3個未知數(shù) 先取n 1 2 3 列方程組求得 然后用數(shù)學(xué)歸納法對一切n N 等式都成立 左邊 右邊 所以等式成立 互動探究 3 用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)n N 時 11 3 13 5 1n 2n 1 2n 1 2n 1 證明 1 當(dāng)n 1時 左邊 111 33 右邊 12 1 1 13 k 1k 1 2 假設(shè)當(dāng)n k k N 時等式成立 即有 11 3 13 5 1 2k 1 2k 1 k2k 1 則當(dāng)n k 1時 11 3 13 5 1 2k 1 2k 1 1 2k 1 2k 3 k12k 1 2k 1 2k 3 k 2k 3 1 2k 1 2k 3 2k2 3k 1 2k 1 2k 3 2k 32 k 1 1 所以當(dāng)n k 1時 等式也成立 由 1 2 可知 對一切n N 等式都成立 考點3用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性命題 例3 試證 當(dāng)n為正整數(shù)時 f n 32n 2 8n 9能被64 整除 證明 方法一 1 當(dāng)n 1時 f 1 34 8 9 64 命題顯然成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k 1 k N 時 f k 32k 2 8k 9能被64整除 由于32 k 1 2 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 9 8k 9 9 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 64 k 1 即f k 1 9f k 64 k 1 n k 1時命題也成立 根據(jù) 1 2 可知 對任意的n N 命題都成立 方法二 1 當(dāng)n 1時 f 1 34 8 9 64 命題顯然成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k 1 k N 時 f k 32k 2 8k 9能被64整除 由歸納假設(shè) 設(shè)32k 2 8k 9 64m m為大于1的自然數(shù) 將32k 2 64m 8k 9代入到f k 1 中 得f k 1 9 64m 8k 9 8 k 1 9 64 9m k 1 當(dāng)n k 1時命題成立 根據(jù) 1 2 可知 n N 命題都成立 互動探究 4 求證 二項式x2n y2n n N 能被x y整除 證明 1 當(dāng)n 1時 x2 y2 x y x y 能被x y整除 命題成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k 1 k N 時 x2k y2k能被x y整除 那么當(dāng)n k 1時 x2k 2 y2k 2 x2 x2k y2 y2k x2x2k x2y2k x2y2k y2y2k x2 x2k y2k y2k x2 y2 顯然x2k 2 y2k 2能被x y整除 即當(dāng)n k 1時命題成立 由 1 2 知 對任意的正整數(shù)n命題均成立 難點突破 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 例題 2014年廣東 設(shè)數(shù)列 an 的前n和為Sn 滿足Sn 2nan 1 3n2 4n n N 且S3 15 1 求a1 a2 a3的值 2 求數(shù)列 an 的通項公式 則Sk 3 5 7 2k 1 3 2k 1 2 k k k 2 解 S2 4a3 20 S3 S2 a3 5a3 20 又S3 15 a3 7 S2 4a3 20 8 又S2 S1 a2 2a2 7 a2 3a2 7 a2 5 a1 S1 2a2 7 3 綜上所述 a1 3 a2 5 a3 7 2 由 1 猜想an 2n 1 當(dāng)n 1時 結(jié)論顯然成立 假設(shè)當(dāng)n k k 1 時 ak 2k 1 又Sk 2kak 1 3k2 4k k k 2 2kak 1 3k2 4k 解得ak 1 2k 3 ak 1 2 k 1 1 即當(dāng)n k 1時 結(jié)論成立 由 知 n N an 2n 1 規(guī)律方法 猜想an 2n 1 根據(jù)猜想求出Sk 再利用Sk 2kak 1 3k2 4k求出ak 1 驗證ak 1也滿足猜想 得出結(jié)論