高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十四章 系列4選講 14.4 課時(shí)2 不等式的證明課件 理.ppt

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14 4不等式選講 課時(shí)1不等式的證明 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 1 不等式證明的方法 1 比較法 作差比較法 知道a b a b 0 ab只要證明即可 這種方法稱為作差比較法 作商比較法 由a b 0 1且a 0 b 0 因此當(dāng)a 0 b 0時(shí) 要證明a b 只要證明即可 這種方法稱為作商比較法 a b 0 知識(shí)梳理 1 答案 2 綜合法 從已知條件出發(fā) 利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理 經(jīng)過(guò)推理論證 最終推導(dǎo)出所要證明的不等式成立 這種證明方法叫綜合法 即 的方法 3 分析法 從待證不等式出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式 已知條件 定理等 從而得出要證的不等式成立 這種證明方法叫分析法 即 的方法 由因?qū)Ч?執(zhí)果索因 答案 4 反證法和放縮法 先假設(shè)要證的命題不成立 以此為出發(fā)點(diǎn) 結(jié)合已知條件 應(yīng)用公理 定義 定理 性質(zhì)等 進(jìn)行正確的推理 得到和命題的條件 或已證明的定理 性質(zhì) 明顯成立的事實(shí)等 矛盾的結(jié)論 以說(shuō)明假設(shè)不正確 從而證明原命題成立 這種方法叫做反證法 在證明不等式時(shí) 有時(shí)要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小 此利于化簡(jiǎn)并使它與不等式的另一邊的關(guān)系更為明顯 從而得出原不等式成立 這種方法稱為放縮法 5 數(shù)學(xué)歸納法 一般地 當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí) 可以用以下兩個(gè)步驟 證明當(dāng)n n0時(shí)命題成立 假設(shè)當(dāng)n k k N 且k n0 時(shí)命題成立 證明n k 1時(shí)命題也成立 在完成了這兩個(gè)步驟后 就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立 這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法 2 幾個(gè)常用基本不等式 1 柯西不等式 柯西不等式的代數(shù)形式 設(shè)a b c d均為實(shí)數(shù) 則 a2 b2 c2 d2 當(dāng)且僅當(dāng)ad bc時(shí) 等號(hào)成立 柯西不等式的向量形式 設(shè) 為平面上的兩個(gè)向量 則 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 共線時(shí)成立 ac bd 2 答案 2 算術(shù) 幾何平均不等式 答案 解根據(jù)柯西不等式 ma nb 2 a2 b2 m2 n2 考點(diǎn)自測(cè) 2 解析答案 1 2 3 12 12 12 a b c 3 解析答案 1 2 3 解 x 0 y 0 1 2 3 解析答案 返回 題型分類深度剖析 證明因?yàn)閤 0 y 0 x y 0 題型一用綜合法與分析法證明不等式 解析答案 只需證明 a b c 2 3 即證 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 而ab bc ca 1 故需證明 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 ab bc ca 即證 a2 b2 c2 ab bc ca 所以原不等式成立 解析答案 思維升華 用綜合法證明不等式是 由因?qū)Ч?用分析法證明不等式是 執(zhí)果索因 它們是兩種思路截然相反的證明方法 綜合法往往是分析法的逆過(guò)程 表述簡(jiǎn)單 條理清楚 所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí) 往往用分析法找思路 用綜合法寫步驟 由此可見(jiàn) 分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化 互相滲透 互為前提 充分利用這一辯證關(guān)系 可以增加解題思路 開(kāi)闊視野 思維升華 設(shè)a b c均為正數(shù) 且a b c 1 證明 證明由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac得a2 b2 c2 ab bc ca 由題設(shè)得 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 所以3 ab bc ca 1 解析答案 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 證明當(dāng) a b 0時(shí) 不等式顯然成立 當(dāng) a b 0時(shí) 題型二放縮法證明不等式 解析答案 思維升華 1 在不等式的證明中 放 和 縮 是常用的推證技巧 常見(jiàn)的放縮變換有 利用函數(shù)的單調(diào)性 2 在用放縮法證明不等式時(shí) 放 和 縮 均需把握一個(gè)度 思維升華 證明由2n n k n k 1 2 n 跟蹤訓(xùn)練2 原不等式成立 解析答案 例3已知x y z均為實(shí)數(shù) 12 12 12 3x 1 3y 2 3z 3 27 題型三柯西不等式的應(yīng)用 解析答案 2 若x 2y 3z 6 求x2 y2 z2的最小值 解析答案 思維升華 1 使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形 化為符合它的結(jié)構(gòu)形式 當(dāng)一個(gè)式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時(shí) 就可使用柯西不等式進(jìn)行證明 思維升華 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 返回 證明由柯西不等式及題意得 返回 思想方法感悟提高 證明不等式的方法和技巧 1 如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯 可考慮用分析法 如果待證的命題以 至少 至多 等方式給出或否定性命題 唯一性命題 則考慮用反證法 如果待證不等式與自然數(shù)有關(guān) 則考慮用數(shù)學(xué)歸納法等 2 在必要的情況下 可能還需要使用換元法 構(gòu)造法等技巧簡(jiǎn)化對(duì)問(wèn)題的表述和證明 尤其是對(duì)含絕對(duì)值不等式的解法或證明 其簡(jiǎn)化的基本思路是去絕對(duì)值號(hào) 轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式 組 求解 多以絕對(duì)值的幾何意義或 找零點(diǎn) 分區(qū)間 逐個(gè)解 并起來(lái) 為簡(jiǎn)化策略 而絕對(duì)值三角不等式 往往作為不等式放縮的依據(jù) 3 在使用基本不等式時(shí) 等號(hào)成立的條件是一直要注意的事情 特別是連續(xù)使用時(shí) 要求分析每次使用時(shí)等號(hào)是否成立 4 柯西不等式使用的關(guān)鍵是出現(xiàn)其結(jié)構(gòu)形式 也要注意等號(hào)成立的條件 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 已知x y 1 求2x2 3y2的最小值 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 解由柯西不等式可得 x2 y2 z2 12 22 32 x 2y 3z 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 又a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 6 已知a b c R 且2a 2b c 8 求 a 1 2 b 2 2 c 3 2的最小值 解由柯西不等式得 4 4 1 a 1 2 b 2 2 c 3 2 2 a 1 2 b 2 c 3 2 9 a 1 2 b 2 2 c 3 2 2a 2b c 1 2 2a 2b c 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 證明 1 a b 2 2 a2 a 2與b2 b 2不可能同時(shí)成立 2 假設(shè)a2 a 2與b2 b 2同時(shí)成立 則由a2 a 2及a 0得0 a 1 同理 0 b 1 從而ab 1 這與ab 1矛盾 故a2 a 2與b2 b 2不可能同時(shí)成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 1 關(guān)于x的不等式 x 3 x 4 a的解集不是空集 求a的取值范圍 解 x 3 x 4 x 3 x 4 1 且 x 3 x 4 1 即a的取值范圍是 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 解由柯西不等式 得 即25 1 x y z 2 5 x y z 5 x y z 5 x y z的取值范圍是 5 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 10 已知a b 0 a b 1 x1 x2 0 解因?yàn)閍 b 0 a b 1 x1 x2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 2 求證 ax1 bx2 ax2 bx1 x1x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 返回 證明方法一由a b 0 a b 1 x1 x2 0 及柯西不等式可得 所以 ax1 bx2 ax2 bx1 x1x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 方法二因?yàn)閍 b 0 a b 1 x1 x2 0 所以 ax1 bx2 ax2 bx1 x1x2 a2 b2 ab 2x1x2 x1x2 a2 b2 2ab x1x2 a b 2 x1x2 當(dāng)且僅當(dāng)x1 x2時(shí) 取得等號(hào) 所以 ax1 bx2 ax2 bx1 x1x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回