高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.2.2 反證法課件 新人教版選修2-2.ppt

《高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.2.2 反證法課件 新人教版選修2-2.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.2.2 反證法課件 新人教版選修2-2.ppt（27頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2 2 2反證法 第二章 2 2直接證明與間接證明 1 了解反證法是間接證明的一種方法 2 理解反證法的思考過程 會用反證法證明數(shù)學問題 學習目標 欄目索引 知識梳理自主學習 題型探究重點突破 當堂檢測自查自糾 知識梳理自主學習 知識點一間接證明 答案 間接 不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立 像這種不是直接證明的方法通常稱為證明 常見的間接證明的方法是 反證法 知識點二反證法 答案 不成立 1 反證法定義假設原命題 經(jīng)過正確的推理 最后得出矛盾 因此說明 從而證明了 這種證明方法叫做反證法 2 反證法常見的矛盾類型反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾 這個矛盾可以是與矛盾 或與矛盾 或與 矛盾等 假設錯誤 原命題成立 已知條件 假設 定義 公理 定理 事實 答案 3 反證法中常用的 結(jié)論詞 與 反設詞 如下 至多有一個 n 一個也沒有 n 1 任意 某個 一定是 且 不都是 且 思考 1 有人說反證法就是通過證明逆否命題來證明原命題 這種說法對嗎 為什么 答案這種說法是錯誤的 反證法是先否定命題 然后再證明命題的否定是錯誤的 從而肯定原命題正確 不是通過逆否命題證題 命題的否定與原命題是對立的 原命題正確 其命題的否定一定不對 2 反證法主要適用于什么情形 答案要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯 直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰 如果從正面證明 需要分成多種情形進行分類討論 而從反面進行證明 只要研究一種或很少的幾種情形 返回 答案 題型探究重點突破 題型一用反證法證明結(jié)論否定的問題 解析答案 反思與感悟 例1如圖所示 AB CD為圓的兩條相交弦 且不全為直徑 求證 AB CD不能互相平分 反思與感悟 證明連接AC CB BD DA 假設AB CD互相平分 則四邊形ACBD為平行四邊形 ACB ADB CAD CBD 四邊形ACBD為圓的內(nèi)接四邊形 ACB ADB 180 CAD CBD 180 ACB 90 CAD 90 對角線AB CD均為圓的直徑 與已知條件矛盾 AB CD不能互相平分 反思與感悟 對于結(jié)論否定型命題 正面證明需要考慮的情況很多 過程煩瑣且容易遺漏 故可以考慮采用反證法 一般當題目中含有 不可能 都不 沒有 等否定性詞語時 宜采用反證法證明 跟蹤訓練1已知正整數(shù)a b c滿足a2 b2 c2 求證a b c不可能都是奇數(shù) 解析答案 證明假設a b c都是奇數(shù) 則a2 b2 c2都是奇數(shù) 左邊 奇數(shù) 奇數(shù) 偶數(shù) 右邊 奇數(shù) 得偶數(shù) 奇數(shù) 矛盾 假設不成立 a b c不可能都是奇數(shù) 題型二用反證法證明唯一性問題 解析答案 例2用反證法證明 過已知直線a外一點A只有一條直線b與已知直線a平行 證明假設過點A還有一條直線b 與已知直線a平行 即b b A b a 又b a 由平行公理知b b 這與b b A矛盾 故假設錯誤 所以過已知直線a外一點A只有一條直線b與已知直線a平行 反思與感悟 證明 唯一性 問題的方法 唯一性 包含 有一個 和 除了這個沒有另外一個 兩層意思 證明后一層意思時 采用直接證法往往會相當困難 因此一般情況下都采用間接證法 即用反證法 假設 有另外一個 推出矛盾 或同一法 假設 有另外一個 推出它就是 已知那一個 證明 而用反證法比用同一法更方便 反思與感悟 解析答案 跟蹤訓練2求證 過一點只有一條直線與已知平面垂直 已知 平面 和一點P 求證 過點P與 垂直的直線只有一條 證明如圖所示 不論點P在 內(nèi)還是在 外 設PA 垂足為A 或P 假設過點P不止有一條直線與 垂直 如還有另一條直線PB 設PA PB確定的平面為 且 a 于是在平面 內(nèi)過點P有兩條直線PA PB垂直于a 這與過一點有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾 假設不成立 原命題成立 題型三用反證法證明結(jié)論中含有 至多 至少 都 等詞語的問題 解析答案 反思與感悟 例3用反證法證明 如果函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上是增函數(shù) 那么方程f x 0在區(qū)間 a b 上至多有一個實數(shù)根 不考慮重根 證明假設方程f x 0在區(qū)間 a b 上至少有兩個實數(shù)根 設 為它的兩個實數(shù)根 則f f 0 因為 不妨設 又因為函數(shù)f x 在 a b 上是增函數(shù) 所以f f 這與f f 0矛盾 所以方程f x 0在區(qū)間 a b 上至多有一個實數(shù)根 用反證法證明 至少 至多 型命題 否定結(jié)論時 需弄清楚結(jié)論的否定是什么 以免出現(xiàn)錯誤 還應仔細體會 至少有一個 至多有一個 等表達的意義 反思與感悟 解析答案 x 0且y 0 1 x 2y 且1 y 2x 兩式相加 得2 x y 2x 2y x y 2 這與已知條件x y 2相矛盾 解析答案 因反證法中的反設不當致誤 防范措施 返回 易錯易混 解析答案 防范措施 防范措施 故假設不成立 防范措施 在利用反證法證明問題時 往往要假設命題結(jié)論的反面成立 而問題結(jié)論的反面一定要全面 漏掉任何一種情況 證明都是不正確的 返回 當堂檢測 1 2 3 4 5 1 證明 在 ABC中至多有一個直角或鈍角 第一步應假設 A 三角形中至少有一個直角或鈍角B 三角形中至少有兩個直角或鈍角C 三角形中沒有直角或鈍角D 三角形中三個角都是直角或鈍角 B 答案 1 2 3 4 5 2 用反證法證明 三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60 應先假設這個三角形中 A 有一個內(nèi)角小于60 B 每一個內(nèi)角都小于60 C 有一個內(nèi)角大于60 D 每一個內(nèi)角都大于60 B 答案 1 2 3 4 5 3 abC a bD a b或a b D 答案 1 2 3 4 5 4 用反證法證明 在同一平面內(nèi) 若a c b c 則a b 時 應假設 A a不垂直于cB a b都不垂直于cC a bD a與b相交 D 答案 1 2 3 4 5 解析答案 5 已知a是整數(shù) a2是偶數(shù) 求證a也是偶數(shù) 證明 反證法 假設a不是偶數(shù) 即a是奇數(shù) 設a 2n 1 n Z 則a2 4n2 4n 1 4 n2 n 是偶數(shù) 4n2 4n 1是奇數(shù) 這與已知a2是偶數(shù)矛盾 由上述矛盾可知 a一定是偶數(shù) 課堂小結(jié) 返回 1 反證法的證題步驟 反設 推理歸謬 存真 即假設不成立 原命題成立 2 用反證法證明問題時要注意以下三點 1 必須先否定結(jié)論 即肯定結(jié)論的反面 當結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時 必須羅列出各種可能性結(jié)論 缺少任何一種可能 反證都是不完全的 2 反證法必須從否定結(jié)論進行推理 即應把結(jié)論的反面作為條件 且必須根據(jù)這一條件進行推證 否則 僅否定結(jié)論 不從結(jié)論的反面出發(fā)進行推理 就不是反證法 3 推導出的矛盾可能多種多樣 有的與已知矛盾 有的與假設矛盾 有的與事實矛盾等 推導出的矛盾必須是明顯的