高中數(shù)學 1.4.3 幾何法　反證法課件 北師大版選修4-5.ppt

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4 3幾何法反證法 1 幾何法通過構造幾何圖形 利用幾何圖形的性質(zhì)來證明不等式的方法稱為幾何法 點撥利用幾何法的關鍵是根據(jù)不等式的結構特點構造相應的幾何圖形 2 反證法反證法證不等式是先假設所要證的不等式不成立 也就是說不等式的反面成立 以此為出發(fā)點 結合已知條件 進行推理論證 最后推出矛盾的結果 從而斷定假設錯誤 因而確定要證的不等式成立 它的步驟是 1 作出否定結論的假設 2 進行推理 導出矛盾 3 否定假設 肯定結論 點撥反證法適宜證明 存在性問題 唯一性問題 帶有 至少有一個 或 至多有一個 等字樣的問題 或者說 正難則反 直接證明有困難時 常采用反證法 下面我們列舉一些常見的涉及反證法的文字語言及其相對應的否定假設 對某些數(shù)學語言的否定假設要準確 以免造成原則性的錯誤 有時在使用反證法時 對假設的否定也可以舉一定的特例來說明矛盾 尤其在一些選擇題中 更是如此 做一做2用反證法證明命題 三角形的內(nèi)角至多有一個鈍角 時 假設正確的是 A 假設至少有一個鈍角B 假設沒有一個鈍角C 假設至少有兩個鈍角D 假設沒有一個鈍角或至少有兩個鈍角解析 由于命題 三角形的內(nèi)角至多有一個鈍角 的否定為 三角形的內(nèi)角至少有兩個鈍角 故用反證法證明命題 三角形的內(nèi)角至多有一個鈍角 時 應假設至少有兩個鈍角 故選C 答案 C 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究二用反證法證明不等式1 用反證法證明 就是從結論的反面出發(fā) 要求結論反面的情況只有有限多種 然后證明這種反面的結論都是不可能的 是與已知條件 已知事實或已證明過的定理相矛盾的 2 要證不等式M N 先假設M N 由題設及其他性質(zhì)推出矛盾 從而肯定M N成立 凡涉及的證明不等式為否定性命題 唯一性命題或是含 至多 至少 等字句時 可考慮使用反證法 探究一 探究二 探究三 3 用反證法證明不等式要把握三點 1 必須先否定結論 對于結論的反面出現(xiàn)的多種可能要逐一論證 缺少任何一種可能 證明都是不完全的 2 反證法必須從否定結論進行推理 且必須根據(jù)這一條件進行論證 否則 僅否定結論 不從結論的反面出發(fā)進行論證 就不是反證法 3 推導出來的矛盾可以是多種多樣的 有的與已知條件相矛盾 有的與假設相矛盾 有的與定理 公理相違背 有的與已知的事實相矛盾等 但推導出的矛盾必須是明顯的 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 變式訓練2已知函數(shù)f x x2 x x R 若正數(shù)m n滿足mn 1 證明 f m f n 至少有一個不小于零 證明 假設f m 0 n 0 m 11矛盾 假設不成立 即f m f n 至少有一個不小于零 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 12345 1 用反證法證明 如果整系數(shù)一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有有理根 那么a b c中至少有一個偶數(shù) 下列假設中正確的是 A 假設a b c都是偶數(shù)B 假設a b c都不是偶數(shù)C 假設a b c至多有一個偶數(shù)D 假設a b c至多有兩個偶數(shù)答案 B 12345 12345 12345 4 設a b R 給出下列條件 a b 1 a b 2 a b 2 a2 b2 2 ab 1 其中能推出 a b中至少有一個實數(shù)大于1 的條件是 填序號 解析 對于 a b均可小于1 對于 a b均可等于1 對于 a b均可為負數(shù) 對于 若a b都不大于1 則a b 2 與 矛盾 故若 成立 則 a b中至少有一個實數(shù)大于1 成立 答案 12345 5 已知x y z 0 1 求證 x 1 y y 1 z z 1 x S BDF S DCE S AEF 得1 1 sin60 x 1 y sin60 y 1 z sin60 z 1 x sin60 整理 得x 1 y y 1 z z 1 x 1 即得證