2019-2020年高中數(shù)學(xué)學(xué)科會議專題講座 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 新人教版.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)學(xué)科會議專題講座 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 新人教版 一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容 主要內(nèi)容：函數(shù)圖象與性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識。切線、零點、恒成立、函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式、函數(shù)與數(shù)列等。 能力方面：構(gòu)造函數(shù)能力；運(yùn)算（估算）能力；畫圖、看圖、用圖能力；分類討論；化歸轉(zhuǎn)化能力。 思想方面：函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，分類與整合思想，整體思想， 特殊與一般思想，極端化思想，建模思想。 二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的主要考點 近幾年高考對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)這部分的考查,在客觀題中考查函數(shù)的概念、性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識,而在解答題中通常綜合考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,有時會與不等式等綜合考查?；A(chǔ)題以考查基本概念與運(yùn)算為主,主要考查函數(shù)性質(zhì)及圖象,同時考查導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識, 高考考查函數(shù)單一性質(zhì)的簡單題目不多，大多是函數(shù)性質(zhì)之間的綜合考查。知識載體主要是三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及分式函數(shù)。 綜合題主要題型: (1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題; (2)以函數(shù)為載體的實際應(yīng)用題; (3)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式等綜合題。 涉及到的主要思想方法有: 數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想. 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在高考試卷中選擇題、填空題，解答題都有考題。 近四年福建省高考（理科）數(shù)學(xué)“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”內(nèi)容： 年 份 xx年福建高考 xx年福建高考 xx年福建高考 xx年福建高考 備注 知識點 題號 分值 題號 分值 題號 分值 題號 分值 集合、充要條件 2 5 9 5 1、2 10 3 5 年年考 函數(shù)解析式、定義域、值域 4、15 9 7 5 函數(shù)單調(diào)性 5、20（1） 9 15、20（1） 9 10、 5 7、20（1） 9 年年考 函數(shù)奇偶性 7 5 函數(shù)周期性 7 5 參數(shù)取值范圍 14、 20（2） 9 18（1） 4 15、20（2） 9 3年 函數(shù)零點 4 5 最值、極值 20（1） 5 18（2） 5 10 5 3年 導(dǎo)數(shù)、切線問題 20、 20 18 13 20 14 年年考 定積分 4 5 20 5 5 6 5 年年考 函數(shù)對稱性 10 5 函數(shù)圖象 10 5 函數(shù)新定義 10、 5 15 4 10 5 3年 把 關(guān) 選擇題 10 5 10 5 10 5 10 5 年年考 填空題 15、 4 15 4 15 4 3年 解答題 20 20 20 14 3年 合 計 共6題 共38分 共5題 共34分 共6題 共38分 共6題 共38分 說明： ? 函數(shù)奇偶性、函數(shù)周期性、函數(shù)圖象結(jié)合在其它題目上考。 ? 函數(shù)單調(diào)性、定積分年年考。 ? 選擇題的壓軸題，函數(shù)問題年年出現(xiàn)。 ? 解答題壓軸題有三年是以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題。 ? 在簡易題和中檔題中，文理差異不大。在較難題中，文、理試題差異相對要大一些。 在近幾年的高考中, 函數(shù)類試題在試題中所占分值一般為34---38分.一般為2個選擇題、1個填空題,1個解答題。 ⑴．函數(shù)的概念和性質(zhì) 函數(shù)的基礎(chǔ)知識涉及函數(shù)的三要素、函數(shù)的表示方法、單調(diào)性、奇偶性、周期性等內(nèi)容．在解答題中主要與多個知識點交匯命題，難度中． 思考1：在函數(shù)基礎(chǔ)知識的考查中，主要考什么函數(shù)？ 1.（xx年福建文9）設(shè),,則的值為（　B　） A．1 B．0 C． D． 2.（xx年福建理7）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（ C ） A．的值域為 B．是偶函數(shù) C．不是周期函數(shù) D．不是單調(diào)函數(shù) 3.（xx年福建理10、文10）已知函數(shù)，對于曲線上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個點A，B，C，給出以下判斷： ①△ABC一定是鈍角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正確的判斷是( B ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4.（xx年福建理4、文7）函數(shù)的零點個數(shù)為 ( C ) A.0 B.1 C.2 D.3 說明：函數(shù)基礎(chǔ)知識的考查主要以客觀題為主，難度中等偏下，多數(shù)以分段函數(shù)形式出現(xiàn)。 ⑵. 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù) ①重點是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及函數(shù)的應(yīng)用問題． ②冪函數(shù)應(yīng)重點掌握五種常用冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)． ③對數(shù)函數(shù)重點考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及其應(yīng)用． ④文科與理科的差別主要體現(xiàn)在復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)（文科不要求）. ⑤函數(shù)自定義類型問題是考試形式和內(nèi)容革新的試驗田，題型不斷更新。 思考2：在近幾年的高考試題中，對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是否含參數(shù)？ 1.（xx年福建理4、文7）函數(shù)的零點個數(shù)為 ( C ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.（xx年福建理10、文10）已知函數(shù)，對于曲線上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個點A，B，C，給出以下判斷： ①△ABC一定是鈍角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正確的判斷是( B ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3.（xx年福建理數(shù)14）.若曲線存在垂直于軸的切線，則實數(shù)取值范圍是_____________.答： 4.(xx年福建文數(shù)15)若曲線存在垂直于軸的切線，則實數(shù)取值范圍是____________答： 5.（xx年福建理20）已知函數(shù) （Ⅰ）若曲線在點處的切線平行于軸，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）試確定的取值范圍，使得曲線上存在唯一的點，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點。 ⑶. 函數(shù)的綜合應(yīng)用 函數(shù)的應(yīng)用歷來是高考重視的考點，新高考更是把這個考點放到了一個重要的位置． 思考3：“自定義”類型問題如何解決？ 1.（xx年福建理15）對于實數(shù)，定義運(yùn)算“”：， 設(shè)，且關(guān)于的方程為恰有三個互不相等的實數(shù) 根，則的取值范圍是___ __。答： 2.（xx年福建理10）函數(shù)在上有定義，若對任意，有，則稱在上具有性質(zhì)。設(shè)在[1,3]上具有性質(zhì)，現(xiàn)給出如下命題： ①在上的圖像時連續(xù)不斷的； ②在上具有性質(zhì)； ③若在處取得最大值1，則，； ④對任意，有。 其中真命題的序號是（ D ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 3.（xx年福建理數(shù)10） 對于具有相同定義域的函數(shù)和，若存在函數(shù)（ 為常數(shù)），對任給的正數(shù)，存在相應(yīng)的，使得當(dāng)且時，總有，則稱直線為曲線與的“分漸近線”。 給出定義域均為的四組函數(shù)如下： ①，； ②，； ③，； ④，. 其中，曲線與存在“分漸近線”的是( C ) A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 4. (xx年福建理數(shù)15)設(shè)是全體平面向量構(gòu)成的集合，若映射:滿足： 對任意向量，，以及任意，均有 ，則稱映射具有性質(zhì). 現(xiàn)給出如下映射： ①； ②； ③； 其中具有性質(zhì)的映射的序號為 .（寫出所有具有性質(zhì)的映射的序號）. 答：①③ 說明：“自定義”類型問題解題的關(guān)鍵是在“理解題意”，可通過舉反例，結(jié)合函數(shù)的圖象等加以解決。 思考4：“抽象函數(shù)、半抽象函數(shù)”問題如何應(yīng)對？ 1.（xx年福建理15）已知定義域（0，）的函數(shù)滿足：對任意恒有 成立，當(dāng)時， 給出如下結(jié)論： 對任意，有； 函數(shù)的值域為， ③存在， ④“函數(shù)”的充要條件是“存在使得”。 其中所有正確結(jié)論的序號是 。 解：由，可得，， 從而知除③不正確外，其余均正確。 2.（xx年福建理10）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。據(jù)此可推測，對任意的非零實數(shù)a，b，c，m，n，p，關(guān)于x的方程的解集都不可能是( D ) A. B. C. D. 3.（xx年福建理10）函數(shù)在上有定義，若對任意，有，則稱在上具有性質(zhì)。設(shè)在[1,3]上具有性質(zhì)，現(xiàn)給出如下命題： ①在上的圖像時連續(xù)不斷的； ②在上具有性質(zhì)； ③若在處取得最大值1，則，； ④對任意，有。 其中真命題的序號是（ D ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 4. （xx年福建理數(shù)10） 對于具有相同定義域的函數(shù)和，若存在函數(shù)（ 為常數(shù)），對任給的正數(shù)，存在相應(yīng)的，使得當(dāng)且時，總有，則稱直線為曲線與的“分漸近線”。給出定義域均為的四組函數(shù)如下： ①，； ②，； ③，； ④，. 其中，曲線與存在“分漸近線”的是( C ) A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 說明：將抽象問題具體化，用數(shù)形結(jié)合法解決。 函數(shù)的實際應(yīng)用主要體現(xiàn)在結(jié)合實際問題得到相關(guān)的函數(shù)模型,然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解。一般與最優(yōu)化問題聯(lián)系,主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、導(dǎo)數(shù)等知識，通常是解答題。 思考5：函數(shù)的應(yīng)用題主要考什么函數(shù)模型？ 1.（xx福建文21）某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口北偏西30且與該港口相距20海里的處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過小時與輪船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ (Ⅱ)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值； (Ⅲ)是否存在，使得小艇以海里/小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定的取值范圍；若不存在，請說明理由。 注：(Ⅰ) (Ⅱ) 2.（xx年福建理18）某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量(單位：千克)與銷售價格(單位：元/千克)滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù)，已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克． (Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 若該商品的成品為3元/千克, 試確定銷售價格的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大． 解：(Ⅰ)因為時，所以； (Ⅱ)由(Ⅰ)知該商品每日的銷售量，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤： ； ，令得 函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時函數(shù)取得最大值 答：當(dāng)銷售價格時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42. 說明：函數(shù)的應(yīng)用題主要考的函數(shù)模型有“二次函數(shù)類、三次函數(shù)以及分式類型”。 4.（xx年福建理19）某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元（）的管理費(fèi)，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為元（）時，一年的銷售量為萬件． （1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值． 解：（Ⅰ）分公司一年的利潤（萬元）與售價的函數(shù)關(guān)系式為：． （Ⅱ）． 令得或（不合題意，舍去）． ，． 在兩側(cè)的值由正變負(fù)．所以（1）當(dāng)即時， ． （2）當(dāng)即時， ， 所以 答：若，則當(dāng)每件售價為9元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）；若，則當(dāng)每件售價為元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）． 對比：xx年福建理18題與xx年福建理19題。 ⑷. 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程是高考的熱點問題，強(qiáng)調(diào)切點既在切線上又在曲線上． 定積分問題考基礎(chǔ)知識。 1.（xx福建理數(shù)5）等于（ C ） A. 1 B. C. D. 2.（xx福建理6）如圖所示，在邊長為1的正方形中任取一點， 則點恰好取自陰影部分的概率為（ C ） A． B． C． D． ⑸. 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值。 導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點，導(dǎo)函數(shù)在零點兩側(cè)變號才是函數(shù)的極值點； 求單調(diào)區(qū)間時一定要注意函數(shù)的定義域； 求最值時需要把極值和端點值逐一求出，比較即可。 思考6：在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合題中參數(shù)問題？ ．（xx年福建文12）已知,且. 現(xiàn)給出如下結(jié)論:①;②;③;④. 其中正確結(jié)論的序號是 （　C　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2.（xx年福建理20）已知函數(shù) （Ⅰ）若曲線在點處的切線平行于軸，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）試確定的取值范圍，使得曲線上存在唯一的點，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點。 3．（xx年福建文22）已知函數(shù)且在上的最大值為. (1)求函數(shù)的解析式; (2)判斷函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù),并加以證明. 4.（xx年福建理數(shù)20） （Ⅰ）已知函數(shù),。 （i）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （ii）證明：若對于任意非零實數(shù)，曲線C與其在點處的切線交于另一點，曲線C與其在點處的切線交于另一點，線段 （Ⅱ）對于一般的三次函數(shù),請給出類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明。 5.（xx年福建文數(shù)22） 已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為. (Ⅰ)求實數(shù),的值； (Ⅱ)設(shè)是上的增函數(shù). （i）求實數(shù)的最大值； (ii)當(dāng)取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 6.（xx年福建文數(shù)21） 已知函數(shù)且 （I）試用含的代數(shù)式表示； （Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點，證明：線段與曲線存在異于、的公共點； 7.（xx年福建理數(shù)20）已知函數(shù),且 (1) 試用含的代數(shù)式表示b,并求的單調(diào)區(qū)間； （2）令,設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點M (,)，N(,)，P(), ,請仔細(xì)觀察曲線在點P處的切線與線段MP的位置變化趨勢，并解釋以下問題： （I）若對任意的(, )，線段MP與曲線均有異于M,P的公共點，試確定的最小值，并證明你的結(jié)論； （II）若存在點Q(n ,f(n)), x n<,使得線段PQ與曲線有異于P、Q的公共點，請直接寫出的取值范圍（不必給出求解過程） 說明：在導(dǎo)數(shù)的綜合題中參數(shù)主要是出現(xiàn)在“系數(shù)”位置。 三、函數(shù)和導(dǎo)數(shù)專題的復(fù)習(xí)建議 1.基本初等函數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用： 函數(shù)概念的復(fù)習(xí)要到位而不越位，一般出現(xiàn)在客觀題中，屬于中、低檔題，因此復(fù)習(xí)時不宜拓展。 在掌握好基本知識的前提下重點解決函數(shù)性質(zhì)在解決問題中的綜合應(yīng)用、函數(shù)性質(zhì)在判斷函數(shù)零點中的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。 2.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用： 要掌握好導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性與極值的關(guān)系，由于函數(shù)的極值和最值的解決是以函數(shù)的單調(diào)性為前提的，因此要重點解決導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，特別是系數(shù)中含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性。要注意把不等式問題、方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值進(jìn)行研究性訓(xùn)練。 對于基本函數(shù)、函數(shù)性質(zhì)的復(fù)習(xí)要全面而突出重點，并注重橫向聯(lián)系。歷年高考中考查對函數(shù)知識的應(yīng)用，試題多數(shù)圍繞函數(shù)的概念，性質(zhì)，圖象等方面命題。圍繞二次函數(shù)，分段函數(shù)，指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等幾個基本函數(shù)來進(jìn)行。因此在復(fù)習(xí)中，應(yīng)該全面夯實基礎(chǔ)，突出對上面所講重點內(nèi)容的復(fù)習(xí)。另外，對函數(shù)性質(zhì)單調(diào)性，奇偶性，周期性和圖象對稱性等內(nèi)容的考查，多以整合形式出現(xiàn)。在解答題中，對函數(shù)性質(zhì)的考查中涉及到分類討論，數(shù)形結(jié)合等，思維層次要求較高。因此在復(fù)習(xí)中例題的選擇及訓(xùn)練題的配備一定要放在學(xué)科整體高度上把握函數(shù)及其他模塊知識的橫向關(guān)系。