2018高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.1.1 合情推理（2）學(xué)案 蘇教版選修1 -2.doc

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2.1.1　合情推理 課時(shí)目標(biāo)　1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.2.了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用． 1．推理：從一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出________________________過(guò)程稱為推理． 2．歸納推理和類比推理 歸納推理 類比推理 定義 從個(gè)別事實(shí)中推 演出一般性的結(jié)論 根據(jù)兩個(gè)(或兩類)對(duì)象 之間在某些方面的相似或相同， 推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤? 思維 過(guò)程 實(shí)驗(yàn)、觀察→概 括、推廣→猜測(cè)一 般性結(jié)論 觀察、比較→聯(lián)想、類推→猜測(cè)新的結(jié)論 一、填空題 1．下列說(shuō)法正確的是________． ①由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的 ②合情推理必須有前提有結(jié)論 ③合情推理不能猜想 ④合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤 2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2an－1＋1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的一個(gè)表達(dá)式是____________． 3．已知A＝1＋2x4，B＝x2＋2x3，x∈R，則A與B的大小關(guān)系為_(kāi)_______． 4．給出下列三個(gè)類比結(jié)論： ①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是________． 5．觀察圖示圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫(huà)上合適的圖形為_(kāi)_______． 6．已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的 結(jié)論是____________________________． 7．觀察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為_(kāi)___________________． 8．觀察下列等式： ①cos 2α＝2cos2α－1； ②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1； ③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1； ④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推測(cè)，m－n＋p＝________. 二、解答題 9．觀察等式sin220＋sin240＋sin 20sin 40＝； sin228＋sin232＋sin 28sin 32＝.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)與以上兩個(gè)等式規(guī)律相同的一個(gè)等式． 10．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝ (n∈N*)，求出a1，a2，a3，并推測(cè)an的表達(dá)式． 能力提升 11．若Rt△ABC中兩直角邊為a、b，斜邊c上的高為h，則＝＋，在正方體的一角上截取三棱錐P—ABC，PO為棱錐的高，記M＝，N＝＋＋，那么M、N的大小關(guān)系是M________N．(填“<、>、＝、≤、≥”中的一種) 12．已知橢圓C：＋＝1 (a>b>0)具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在時(shí)，記為kPM、kPN，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線C：－＝1寫(xiě)出具有類似的特性的性質(zhì)，并加以證明． 1．歸納推理具有由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能，歸納推理的一般步驟： (1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)． (2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題(猜想)． 2．運(yùn)用類比推理必須尋找合適的類比對(duì)象，充分挖掘事物的本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系．在應(yīng)用類比推理時(shí)，其一般步驟為：(1)找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似性(或一致性)．(2)用一類對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì)，從而得出一個(gè)猜想．(3)檢驗(yàn)這個(gè)猜想． 第2章　推理與證明 2.1　合情推理與演繹推理 2．1.1　合情推理 答案 知識(shí)梳理 1．另一個(gè)新命題的思維 作業(yè)設(shè)計(jì) 1．② 解析　合情推理的結(jié)論不一定正確，但必須有前提有結(jié)論． 2．2n－1 解析　a2＝2a1＋1＝21＋1＝3，a3＝2a2＋1＝23＋1＝7，a4＝2a3＋1＝27＋1＝15，利用歸納推理，猜想an＝2n－1. 3．A≥B 解析　∵A－B＝2x4－2x3－x2＋1＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)≥0，∴A≥B. 4．1 5．■ 解析　圖形涉及□、○、三種符號(hào)；其中○與各有3個(gè)，且各自有兩黑一白，所以缺一個(gè)□符號(hào)，即應(yīng)畫(huà)上■才合適． 6．正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的 解析　原問(wèn)題的解法為等面積法，即S＝ah＝3ar?r＝h，類比問(wèn)題的解法應(yīng)為等體積法，V＝Sh＝4Sr?r＝h，即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的. 7．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212 8．962 解析　觀察各式容易得m＝29＝512，注意各等式右面的表達(dá)式各項(xiàng)系數(shù)和均為1，故有m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，將m＝512代入得n＋p＋350＝0. 對(duì)于等式⑤，令α＝60，則有 cos 600＝512－1 280＋1 120＋n＋p－1，化簡(jiǎn)整理得n＋4p＋200＝0， 聯(lián)立方程組得 ∴m－n＋p＝962. 9．解　∵20＋40＝60，28＋32＝60， ∴由此題的條件猜想，若α＋β＝60， 則sin2α＋sin2β＋sin αsin β＝. 10．解　由a1＝S1＝得，a1＝， 又a1>0，所以a1＝1. 當(dāng)n≥2時(shí)，將Sn＝， Sn－1＝的左右兩邊分別相減得 an＝－， 整理得an－＝－， 所以a2－＝－2，即a＋2a2＋1＝2， 又a2>0，所以a2＝－1. 同理a3－＝－2，即a＋2a3＋2＝3， 又a3>0，所以a3＝－. 可推測(cè)an＝－. 11．＝ 12．證明　類似性質(zhì)為：若M、N為雙曲線－＝1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與P點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的定值．其證明如下： 設(shè)P(x，y)，M(m，n)，則N(－m，－n)， 其中－＝1，即n2＝(m2－a2)． ∴kPM＝，kPN＝， 又－＝1，即y2＝(x2－a2)， ∴y2－n2＝(x2－m2)． ∴kPMkPN＝＝. 故kPMkPN是與P點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的定值．