2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 課后綜合提升練 1.5.2 橢圓、雙曲線、拋物線 文.doc

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第二講橢圓、雙曲線、拋物線(40分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.拋物線y=14x2的焦點(diǎn)到雙曲線y2-x23=1的漸近線的距離為()A.12B.32C.1D.3【解析】選B.因?yàn)閽佄锞€y=14x2的焦點(diǎn)為(0,1),雙曲線y2-x23=1的漸近線的方程為y=33x,即x-3y=0,所以拋物線y=14x2的焦點(diǎn)到雙曲線y2-x23=1的漸近線的距離為d=|-3|4=32.2.已知橢圓mx2+4y2=1的離心率為22,則實(shí)數(shù)m等于()A.2B.2或83C.2或6D.2或8【解析】選D.焦點(diǎn)在x軸時,a2=1m,b2=14,根據(jù)e=ca=22c2a2=12a2-b2a2=12b2a2=12,即1m=24m=2,焦點(diǎn)在y軸時,a2=14,b2=1m,即14=2mm=8,所以m等于2或8.3.設(shè)F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦點(diǎn),B為虛軸的上端點(diǎn),若直線FB與雙曲線C的一條漸近線垂直,則C的離心率為()A.2B.5+12C.5-1D.5-12【解析】選B.因?yàn)橹本€FB的斜率為-bc,雙曲線C的一條漸近線的斜率為ba,又因?yàn)橹本€FB與雙曲線C的一條漸近線垂直,所以-bcba=-1,所以c2-a2=b2=ac,兩邊都除以a2,得e2-e-1=0,因?yàn)閑1,所以e=1+52.4.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一個焦點(diǎn)為F(22,0),且雙曲線的漸近線與圓(x-2)2+y2=3相切,則雙曲線的方程為()A.x29-y213=1B.x213-y29=1C.x26-y22=1D.x22-y26=1【解析】選D.由已知可得c=22,雙曲線漸近線方程為y=bax,即aybx=0,a2+b2=c2=8,(x-2)2+y2=3的圓心為(2,0),半徑r=3,若雙曲線漸近線與圓方程相切,則d=|2b|a2+b2=2|b|8=b2=3,所以b=6,所以b2=6,c2=8,a2=2,所以雙曲線方程為x22-y26=1.5.已知拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)P是拋物線C上一點(diǎn),過點(diǎn)P作l的垂線,垂足為A,準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)設(shè)為B,若BAF=30,且APF的面積為123,則以PF為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.(x-23)2+(y+3)2=12或(x-23)2+(y-3)2=12B.(x-3)2+(y+23)2=12或(x-3)2+(y-23)2=12C.(x-23)2+(y+3)2=8或(x-23)2+(y-3)2=8D.(x-3)2+(y+23)2=8或(x-3)2+(y-23)2=8【解析】選A.作出輔助圖形如圖所示,因?yàn)锽AF=30,故AFB=60=PAF,由拋物線的定義可知|PA|=|PF|,故APF為等邊三角形,因?yàn)锳PF的面積為123,故|PF|=|PA|=|AF|=43,而|BF|=12|AF|=23=p,故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為|PA|-|BF|2=33,代入y2=43x中,解得y=6,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-23)2+(y3)2=12.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知點(diǎn)F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦點(diǎn),若橢圓C上存在兩點(diǎn)P,Q滿足=2,則橢圓C的離心率的取值范圍是_.【解析】設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),F(-c,0),直線PF:y=k(x+c).因?yàn)镻,Q滿足=2,所以y1=-2y2.由y=k(x+c),b2x2+a2y2=a2b2,得(b2+a2k2)y2-2kcb2y-b4k2=0,y1+y2=2kcb2b2+a2k2,y1y2=-b4k2b2+a2k2,由得y1=4kcb2b2+a2k2,y2=-2kcb2b2+a2k2,代入得b2+a2k2=8c28c2b2=a2-c29c2a2ca13,所以橢圓C的離心率的取值范圍是13,1.答案:13,17.設(shè)F1,F2為橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn),經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),若F2AB是面積為43的等邊三角形,則橢圓C的方程為_.【解析】由題意,知|AF2|=|BF2|=|AB|=|AF1|+|BF1|,又由橢圓的定義知,|AF2|+|AF1|=|BF2|+|BF1|=2a,聯(lián)立,解得|AF2|=|BF2|=|AB|=43a,|AF1|=|BF1|=23a,所以SF2AB=12|AB|AF2|sin 60=43,所以a=3,|F1F2|=32|AB|=23,所以c=3,所以b2=a2-c2=6,所以橢圓C的方程為x29+y26=1.答案:x29+y26=18.已知拋物線C:x2=2py(p0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=8,則線段MN的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為_.【解析】分別過點(diǎn)M,N作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為P,Q,由拋物線的定義知,|MP|=|MF|,|NQ|=|NF|,則|MP|+|NQ|=|MN|=8.線段MN的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為梯形MNQP的中位線的長度,即12(|MP|+|NQ|)=4.答案:4三、解答題(每小題10分,共30分)9.如圖,已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A,B,|AB|=5,離心率為32.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)過點(diǎn)A作斜率為k(k0)的直線l與橢圓交于另外一點(diǎn)C,求ABC面積的最大值,并求此時直線l的方程.【解析】(1)由題意得ca=32,a2+b2=5,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=3.所以,橢圓方程為x24+y2=1.(2)kAB=-12,設(shè)與AB平行的橢圓的切線方程為y=-12x+m,聯(lián)立方程組得y=-12x+m,x2+4y2=4消去y得x2-2mx+2m2-2=0,=4m2-4(2m2-2)=0,解得m=2.因?yàn)閗0,所以m=-2.代入到中得x=-2,代入到y(tǒng)=-12x-2得y=-22,所以當(dāng)取C的坐標(biāo)是-2,-22時,ABC的面積最大.此時C點(diǎn)到AB的距離為d=22+25,SABC=12522+25=2+1.此時,直線l的方程是y=2-12x-2+1.10.已知點(diǎn)M(1,m)在拋物線C:y2=2px(p0)上,點(diǎn)M到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為52.(1)求m的值.(2)若直線y=kx+2與x軸交于點(diǎn)N,與拋物線C交于A,B,且=2,求k的值.【解析】(1)由已知:1+p2=52,所以p=3.所以拋物線方程:y2=6x,把M(1,m)代入,得:m=6.(2)由已知k0,N-2k,0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y2=6x,y=kx+2消去x,得:ky2-6y+12=0,由=36-48k0,得k34且k0,且y1+y2=6k,y1y2=12k,因?yàn)?2,所以-2k-x1,-y1=-4k-2x2,-2y2.即y1=2y2由聯(lián)立可得:k=23,滿足kb0)的左頂點(diǎn)為A(-2,0),且過點(diǎn)1,32.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率.(2)若直線l:x=ty-1交橢圓C于P(x1,y1),Q(x2,y2).求證:y1y2=-3t2+4;若APQ的面積為45,求t的值.【解析】(1)由題意得:a=2,又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)1,32,所以14+34b2=1,所以b=1.因?yàn)閏2=a2-b2,所以c=3,所以離心率e=ca=32,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.(2)由題意,聯(lián)立x=ty-1,x24+y2=1整理得:(t2+4)y-2ty-3=0,所以y1+y2=2tt2+4,y1y2=-3t2+4,所以y1y2=-3t2+4成立.由題意得,直線l:x=ty-1恒過(-1,0).設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)M,則M(-1,0),所以|AM|=1.因?yàn)閨y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=2tt2+42+12t2+4,所以SAPQ=12|AM|y1-y2|=122tt2+42+12t2+4=45,所以4t4+7t2-11=0,所以t2=1,或t2=-114(舍),所以t=1.(20分鐘20分)1.(10分)雙曲線x2-y2b2=1(b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線l過F2且與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)(1)若l的傾斜角為2,F1AB是等邊三角形,求雙曲線的漸近線方程.(2)設(shè)b=3,若l的斜率存在,且(+)=0,求l的斜率.【解析】(1)方法一:設(shè)A(xA,yA).由題意,F2(c,0),c=1+b2,yA2=b2(c2-1)=b4,因?yàn)镕1AB是等邊三角形,所以2c=3|yA|,即4(1+b2)=3b4,解得b2=2,故雙曲線的漸近線方程為y=2x.方法二:由題可知A(c,b2),因?yàn)镕1AB是等邊三角形,所以tan 30=b22c=33.即4(1+b2)=3b4,解得b2=2,故雙曲線的漸近線方程為y=2x.(2)由已知,b=3,所以c2=1+b2=4,所以F1(-2,0),F2(2,0).由題意可得,直線l的方程為y=k(x-2),顯然k0.由x2-y23=1,y=k(x-2)得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0.因?yàn)閘與雙曲線交于兩點(diǎn),所以k2-30,且=36(1+k2)0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=4k2k2-3,x1x2=4k2+3k2-3.方法一:設(shè)AB的中點(diǎn)為M(xM,yM).由(+)=0,即=0,知F1MAB,故kF1Mk=-1.而xM=x1+x22=2k2k2-3,yM=k(xM-2)=6kk2-3,kF1M=3k2k2-3,所以3k2k2-3k=-1,得k2=35,顯然符合題意,故l的斜率為155.方法二:因?yàn)?(x1+2,y1),=(x2+2,y2),=(x2-x1,y2-y1)由(+)=0得(x1+x2+4)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=0整理得(1+k2)(x1+x2)+4-4k2=0,即20k2=12 所以k2=35,顯然符合題意,故l的斜率為155.2.(10分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的長軸長為4,焦距為22.(1)求橢圓C的方程.(2)過動點(diǎn)M(0,m)(m0)的直線交x軸于點(diǎn)N,交C于點(diǎn)A,P(P在第一象限),且M是線段PN的中點(diǎn).過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q,延長QM交C于點(diǎn)B.設(shè)直線PM,QM的斜率分別為k,k,證明kk為定值.求直線AB的斜率的最小值.【解題指南】(1)由長軸長為4,焦距為22,可得a=2,c=2,方程易得.(2)設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo),易得點(diǎn)Q坐標(biāo),表示出直線PM,QM的斜率分別為k與k,它們之比易得;借助上述關(guān)系可以方便計算直線AB的斜率,此外理清直線截距與斜率k之間的關(guān)系是解決問題的又一關(guān)鍵.【解析】(1)由題意a=2,c=2,所以b2=2,所以橢圓方程為x24+y22=1.(2)由題意,設(shè)Pp,2m02m2,0p2,則Q(p,-2m),直線PA的斜率 k=mp=m4-8m2=14m2-8,其中0m20.將直線y=Kx+m與橢圓方程聯(lián)立,可得,2K2+1x2+4Kmx+2m2-4=0.設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2,直線PA:y=kx+m,直線QB:y=-3kx+m,分別令K=k,K=-3k可得:x1p=2m2-42k2+1,x2p=2m2-418k2+1,所以,kAB=y1-y2x1-x2=kx1+m-3kx2+mx1-x2=kx1p+3kx2px1p-x2p=k2m2-42k2+1+3k2m2-418k2+12m2-42k2+1-2m2-418k2+1=146k+1k62(當(dāng)且僅當(dāng)k=66時取等號).所以,直線AB的斜率的最小值為66.