高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 蘇教版選修2-2.doc

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2.3　數(shù)學(xué)歸納法 學(xué)習(xí)目標(biāo) 重點(diǎn)難點(diǎn) 1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理． 2．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題. 重點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的原理． 難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用. 數(shù)學(xué)歸納法 一般地，對(duì)于某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們有__________公理： 如果(1)當(dāng)n取第一個(gè)值__________時(shí)結(jié)論正確； (2)假設(shè)當(dāng)________(k∈N*，且k≥n0)時(shí)__________，證明當(dāng)__________時(shí)結(jié)論也正確． 那么，命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立． 預(yù)習(xí)交流1 做一做：用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n＝(n∈N*)，從k到k＋1時(shí)，左端增加的式子為_(kāi)_______． 預(yù)習(xí)交流2 用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意哪些步驟？ 在預(yù)習(xí)中還有哪些問(wèn)題需要你在聽(tīng)課時(shí)加以關(guān)注？請(qǐng)?jiān)谙铝斜砀裰凶鰝€(gè)備忘吧！ 我的學(xué)困點(diǎn) 我的學(xué)疑點(diǎn) 答案： 預(yù)習(xí)導(dǎo)引 數(shù)學(xué)歸納法　(1)n0(例如n0＝1,2等)　(2)n＝k 結(jié)論正確　n＝k＋1 預(yù)習(xí)交流1：提示：k＋1 預(yù)習(xí)交流2：提示：兩個(gè)步驟缺一不可，只完成步驟(1)而缺少步驟(2)，就作出判斷可能得出不正確的結(jié)論．因?yàn)閱慰坎襟E(1)無(wú)法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)時(shí)命題是否正確，我們無(wú)法判定．同樣，只有步驟(2)而缺少步驟(1)，也可能得出不正確的結(jié)論，缺少步驟(1)這個(gè)基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟(2)也就沒(méi)有意義了． 用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵在于第二步，即n＝k＋1時(shí)為什么成立．n＝k＋1時(shí)成立是利用假設(shè)n＝k時(shí)成立，根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出n＝k＋1時(shí)成立，而不是直接代入，否則n＝k＋1時(shí)也成假設(shè)了，命題并沒(méi)有得到證明． 用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問(wèn)題，但并不是所有的正整數(shù)問(wèn)題都可用數(shù)學(xué)歸納法證明，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問(wèn)題具體分析． 一、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式或不等式 證明12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)． 思路分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)要注意等式兩邊的項(xiàng)數(shù)隨n怎樣變化，即由n＝k到n＝k＋1時(shí)，左右兩邊各增添哪些項(xiàng)． 用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋…＋＝＋＋…＋. 可用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明關(guān)于自然數(shù)n的恒等式，證明時(shí)兩步缺一不可，第一步必須驗(yàn)證，證明n＝k＋1時(shí)成立，必須用到假設(shè)n＝k成立的結(jié)論． 二、用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題 有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓把平面分成f(n)＝n2－n＋2個(gè)部分． 思路分析：由k到k＋1時(shí)，研究第k＋1個(gè)圓與其他k個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題． 證明：凸n邊形的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)f(n)＝n(n－3)(n≥4)． (1)幾何問(wèn)題常常是先探索出滿(mǎn)足條件的公式，然后加以證明，探索的方法是由特殊猜出一般結(jié)論． (2)關(guān)鍵步驟的證明可以先用f(k＋1)－f(k)得出結(jié)果，再結(jié)合圖形給予嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f(shuō)明． (3)幾何問(wèn)題的證明一要注意數(shù)形結(jié)合，二要注意要有必要的文字說(shuō)明． 三、歸納—猜想—證明 已知等差數(shù)列{an}，等比數(shù)列{bn}，且a1＝b1，a2＝b2(a1≠a2)，an＞0(n∈N*)． (1)比較a3與b3，a4與b4的大小，并猜想an與bn(n≥3)的大小關(guān)系； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的正確性． 思路分析：數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)注意由n＝k到n＝k＋1時(shí)的變化情況，增加哪些項(xiàng)是難點(diǎn)，注意觀(guān)察尋找規(guī)律． 數(shù)列{an}滿(mǎn)足Sn＝2n－an，n∈N*. (1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想． 觀(guān)察、歸納、猜想、證明是一個(gè)完整的思維過(guò)程，既需要探求和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又需要證明所得結(jié)論的正確性，是一種十分重要的思維方法．觀(guān)察特殊事例時(shí)要細(xì)，要注意所研討特殊事例的特征及相互關(guān)系，關(guān)系不明時(shí)應(yīng)適當(dāng)變形，由觀(guān)察、歸納、猜想得到的結(jié)論，可能是正確的也可能是錯(cuò)誤的，需要由數(shù)學(xué)歸納法證明． 1．設(shè)f(n)＝1＋＋＋＋…＋，則f(k＋1)－f(k)＝________. 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊所得的項(xiàng)為_(kāi)_________． 3．已知數(shù)列，，，…，，…的前n項(xiàng)和為Sn，計(jì)算得S1＝，S2＝，S3＝，…，由此可猜測(cè)Sn＝________. 4．平面內(nèi)原有k條直線(xiàn)，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)，則增加一條直線(xiàn)后，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為_(kāi)_______． 5．求證：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*)． 提示：用最精練的語(yǔ)言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫(xiě)下來(lái)并進(jìn)行識(shí)記. 知識(shí)精華 技能要領(lǐng) 答案： 活動(dòng)與探究1：證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12－22＝－3， 右邊＝－1(21＋1)＝－3， ∴左邊＝右邊，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立， 即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立． 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋[2(k＋1)－1]2－[2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝(2k＋1)(k＋1)－4(k＋1)2 ＝(k＋1)[2k＋1－4(k＋1)]＝(k＋1)(－2k－3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]＝右邊， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立． 由(1)(2)可知對(duì)于任意正整數(shù)n，等式都成立． 遷移與應(yīng)用： 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝，右邊＝，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立，即＋＋…＋＝＋＋…＋， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立． 根據(jù)(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N*，等式成立． 活動(dòng)與探究2：證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，即一個(gè)圓把平面分成2個(gè)部分f(1)＝2，又n＝1時(shí)，n2－n＋2＝2， ∴命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2個(gè)部分，那么設(shè)第k＋1個(gè)圓記作⊙O，由題意，它與k個(gè)圓中每個(gè)圓交于兩點(diǎn)，又無(wú)三圓交于同一點(diǎn)，于是它與其他k個(gè)圓相交于2k個(gè)點(diǎn)．把⊙O分成2k條弧，而每條弧把原區(qū)域分成2部分，因此這個(gè)平面的總區(qū)域增加2k個(gè)部分，即f(k＋1)＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.即n＝k＋1時(shí)命題成立． 由(1)(2)可知，對(duì)任何n∈N*命題均成立． 遷移與應(yīng)用： 證明：(1)當(dāng)n＝4時(shí)，f(4)＝4(4－3)＝2， 四邊形有兩條對(duì)角線(xiàn)，命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立，即凸k邊形的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)f(k)＝k(k－3)(k≥4)， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，凸k＋1邊形是在k邊形基礎(chǔ)上增加了一邊，增加了一個(gè)頂點(diǎn)Ak＋1，增加的對(duì)角線(xiàn)是以頂點(diǎn)Ak＋1為一個(gè)端點(diǎn)的所有對(duì)角線(xiàn)，再加上原k邊形的一邊A1Ak，共增加的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)(k＋1－3)＋1＝k－1. f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2) ＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]， 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立． 由(1)(2)可知，對(duì)于n≥4，n∈N*命題都成立． 活動(dòng)與探究3：(1)解：設(shè)a1＝b1＝a，公差為d，公比為q，由a2＝b2，得a＋d＝aq.① ∵a1≠a2，an＞0，∴a＞0，d＞0. 由①，得d＝aq－a，q＝1＋＞1. ∴b3－a3＝aq2－(a＋2d)＝aq2－a－2a(q－1)＝a(q－1)2＞0. ∴b3＞a3. ∵b4－a4＝aq3－(a＋3d)＝a(q－1)(q2＋q－2)＝a(q－1)2(q＋2)＞0， ∴b4＞a4.猜想出bn＞an(n≥3，n∈N*)． (2)證明：①當(dāng)n＝3時(shí)，由(1)可知已證得b3＞a3， ∴n＝3時(shí)猜想成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(n∈N*，k≥3)時(shí)，bk＞ak成立． 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，∵bk＋1＝bkq，ak＋1＝ak＋d， ∴bk＋1－ak＋1＝bkq－ak－d＝bk－ak－d ＝(bk－ak)＋－d＝(bk－ak)＋. ∵q＝1＋＞1，且b1＝a＞0， ∴{bn}為遞增數(shù)列．∴bk＞a. ∴bk－a＞0.又bk－ak＞0， ∴(bk－ak)＋＞0. ∴bk＋1－ak＋1＞0.∴bk＋1＞ak＋1. ∴n＝k＋1時(shí)，猜想也成立． 由①和②可知，對(duì)于n∈N*，n≥3猜想成立． 遷移與應(yīng)用： (1)解：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1. 當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋a2＝S2＝22－a2，∴a2＝. 當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝S3＝23－a3，∴a3＝. 當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝24－a4， ∴a4＝.由此猜想an＝(n∈N*)． (2)證明：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，結(jié)論成立． 假設(shè)n＝k時(shí)，結(jié)論成立，即ak＝，那么n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak.∴ak＋1＝＝＝. 這表明n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立，∴an＝. 當(dāng)堂檢測(cè) 1．＋　2．1＋a＋a2　3．　4.f(k)＋k 5．證明：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝＋＋＋＞，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)命題成立，即 ＋＋…＋＞， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋＞＋＞＋＝，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立． 由(1)(2)可知，原不等式對(duì)一切n≥2，n∈N*均成立．