八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第13章 軸對(duì)稱 13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形同步練習(xí) 新人教版.doc

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13.3.1 等腰三角形 學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________ 一．選擇題（共12小題） 1．已知等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為2和3，則它的周長(zhǎng)為（　?。? A．7 B．8 C．5 D．7或8 2．已知等腰三角形的頂角為40，則這個(gè)等腰三角形的底角為（　　） A．40 B．70 C．100 D．140 3．如圖，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125，則∠C的度數(shù)是（　?。? A．55 B．45 C．35 D．65 4．如圖，△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30，且AD=AE，則∠EDC等于（　?。? A．10 B．12.5 C．15 D．20 5．已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為3，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（　?。? A．5條 B．6條 C．7條 D．8條 6．如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的格點(diǎn)（頂點(diǎn)）上，請(qǐng)?jiān)趫D中找一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC是以AB為腰的等腰三角形，這樣的格點(diǎn)C有（　　） A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7 7．如圖，A、B兩點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，每個(gè)方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，且△ABC是等腰三角形，則符合條件是點(diǎn)C共有（　　）個(gè)． A．8 B．9 C．10 D．11 8．已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為3，5，7，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中有一個(gè)邊長(zhǎng)為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（　?。? A．5條 B．4條 C．3條 D．2條 9．如圖，∠AOB=45，點(diǎn)M，N在邊OA上，OM=2，ON=4，點(diǎn)P是邊OB上的點(diǎn)，則能使點(diǎn)P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有（　　） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 10．如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，則BD的長(zhǎng)為（　?。? A．1 B．1.5 C．2 D．4 11．如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，則CD的長(zhǎng)是（　?。? A．2 B．2.5 C．2 D． 12．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，則下列四個(gè)結(jié)論：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正確的有（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 　 二．填空題（共6小題） 13．等腰三角形的一個(gè)底角為50，則它的頂角的度數(shù)為　 ?。? 14．我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”，記作k，若k=，則該等腰三角形的頂角為　 　度． 15．已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為3，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫　 　條． 16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2，﹣2），在坐標(biāo)軸上確定一點(diǎn)B，使△AOB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)B有　 　個(gè)． 17．如圖，下列4個(gè)三角形中，均有AB=AC，則經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線不能夠?qū)⑦@個(gè)三角形分成兩個(gè)小等腰三角形的是　 ?。ㄌ钚蛱?hào)）． 18．已知：如圖，△ABC中，BO，CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，過O點(diǎn)的直線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，且DE∥BC．若AB=6cm，AC=8cm，則△ADE的周長(zhǎng)為　 ?。? 　 三．解答題（共4小題） 19．?dāng)?shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題： 例1 等腰三角形ABC中，∠A=110，求∠B的度數(shù)．（答案：35） 例2 等腰三角形ABC中，∠A=40，求∠B的度數(shù)，（答案：40或70或100） 張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式，小敏編了如下一題： 變式 等腰三角形ABC中，∠A=80，求∠B的度數(shù)． （1）請(qǐng)你解答以上的變式題． （2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到∠B的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，設(shè)∠A=x，當(dāng)∠B有三個(gè)不同的度數(shù)時(shí)，請(qǐng)你探索x的取值范圍． 20．如圖，將一塊三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直尺的一邊PQ上，直尺的另一邊MN與三角板的兩邊AC、BC分別交于兩點(diǎn)E、D，且AD為∠BAC的平分線，∠B=30，∠ADE=15． （1）求∠BDN的度數(shù)； （2）求證：CD=CE． 21．如圖，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，交AC于點(diǎn)E． （1）求證：DE=CE． （2）若∠CDE=35，求∠A的度數(shù)． 22．（1）操作實(shí)踐：△ABC中，∠A=90，∠B=22.5，請(qǐng)畫出一條直線把△ABC分割成兩個(gè)等腰三角形，并標(biāo)出分割成兩個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)；（要求用兩種不同的分割方法） （2）分類探究：△ABC中，最小內(nèi)角∠B=24，若△ABC被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)畫出相應(yīng)示意圖并寫出△ABC最大內(nèi)角的所有可能值； （3）猜想發(fā)現(xiàn)：若一個(gè)三角形能被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，需滿足什么條件？（請(qǐng)你至少寫出兩個(gè)條件，無(wú)需證明） 　  參考答案與試題解析 　 一．選擇題（共12小題） 1． 解：①2是腰長(zhǎng)時(shí)，能組成三角形，周長(zhǎng)=2+2+3=7， ②3是腰長(zhǎng)時(shí)，能組成三角形，周長(zhǎng)=3+3+2=8， 所以，它的周長(zhǎng)是7或8． 故選：D． 　 2． 解：∵等腰三角形的頂角為50， ∴這個(gè)等腰三角形的底角為：（180﹣40）2=70， 故選：B． 　 3． 解：∵∠1=125， ∴∠ADE=180﹣125=55， ∵DE∥BC，AB=AC， ∴AD=AE，∠C=∠AED， ∴∠AED=∠ADE=55， 又∵∠C=∠AED， ∴∠C=55． 故選：A． 　 4． 解：∵△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30， ∴∠DAC=∠BAD=30（等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合）， ∵AD=AE（已知）， ∴∠ADE=75 ∴∠EDC=90﹣∠ADE=15． 故選：C． 　 5． 解：如圖所示： 當(dāng)BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7時(shí)都能得到符合題意的等腰三角形． 故選：C． 　 6． 解：當(dāng)AB為腰時(shí)，分別以A、B點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AB為半徑作圓，可找出格點(diǎn)點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有6個(gè)； 當(dāng)AB為底時(shí)，作AB的垂直平分線，可找出格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有2個(gè)， 使△ABC是以AB為腰的等腰三角形，這樣的格點(diǎn)C有6個(gè)． 故選：C． 　 7． 解：①點(diǎn)C以點(diǎn)A為標(biāo)準(zhǔn)，AB為底邊，符合點(diǎn)C的有5個(gè)； ②點(diǎn)C以點(diǎn)B為標(biāo)準(zhǔn)，AB為等腰三角形的一條邊，符合點(diǎn)C的有4個(gè)． 所以符合條件的點(diǎn)C共有9個(gè)． 故選：B． 　 8． 解：如圖所示，當(dāng)AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3，BG=AG，都能得到符合題意的等腰三角形． 故選：B． 　 9． 解：如右圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上時(shí)，PM=PN，此時(shí)點(diǎn)P，M，N構(gòu)成等腰三角形； 如右圖2所示，當(dāng)MN=MP時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P，M，N構(gòu)成等腰三角形； ∵∠AOB=45，OM=2，ON=4， ∴點(diǎn)N到OB的距離是4sin45=2＞2， ∴不存在NM=NP的情況， 故選B． 　 10． 解：延長(zhǎng)BD與AC交于點(diǎn)E， ∵∠A=∠ABD， ∴BE=AE， ∵BD⊥CD， ∴BE⊥CD， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ECD， ∴∠EBC=∠BEC， ∴△BEC為等腰三角形， ∴BC=CE， ∵BE⊥CD， ∴2BD=BE， ∵AC=5，BC=3， ∴CE=3， ∴AE=AC﹣EC=5﹣3=2， ∴BE=2， ∴BD=1． 故選：A． 　 11． 解：延長(zhǎng)BD，與AC交于點(diǎn)E， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∵BD⊥CD， ∴∠BDC=∠EDC=90， 在△BCD和△ECD中， ， ∴△BCD≌△ECD（ASA）， ∴BC=EC=3，BD=DE， ∵∠A=∠ABE， ∴AE=BE=AC﹣EC=AC﹣BC=5﹣3=2， ∴BD=1， 在Rt△BDC中，BD=1，BC=3， 根據(jù)勾股定理得：CD==2． 故選：C． 　 12． 解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC ∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD=CD，∠BED=∠DFC=90 ∴DE=DF ∴AD垂直平分EF ∴（4）錯(cuò)誤； 又∵AD所在直線是△ABC的對(duì)稱軸， ∴（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF． 故選：C． 　 二．填空題（共6小題） 13． 解：∵等腰三角形底角相等， ∴180﹣502=80， ∴頂角為80． 故填80． 　 14． 解： ∵△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”，記作k，若k=， ∴∠A：∠B=1：2， 即5∠A=180， ∴∠A=36， 故答案為：36． 　 15． 解：如圖所示： 當(dāng)BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7時(shí)，都能得到符合題意的等腰三角形． 故答案為：7． 　 16． 8解：（1）若AO作為腰時(shí)，有兩種情況，當(dāng)A是頂角頂點(diǎn)時(shí)，B是以A為圓心，以O(shè)A為半徑的圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，共有2個(gè)（除O點(diǎn)）； 當(dāng)O是頂角頂點(diǎn)時(shí)，B是以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，有4個(gè)； （2）若OA是底邊時(shí)，B是OA的中垂線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，有2個(gè)． 以上8個(gè)交點(diǎn)沒有重合的．故符合條件的點(diǎn)有8個(gè)． 故答案為：8． 　 17． 解：由題意知，要求“被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形”， ①中分成的兩個(gè)等腰三角形的角的度數(shù)分別為：36，36，108和36，7272，能； ②不能； ③顯然原等腰直角三角形的斜邊上的高把它還分為了兩個(gè)小等腰直角三角形，能； ④中的為36，72，72和36，36，108，能． 故答案為：② 　 18． 解：∵DE∥BC ∴∠DOB=∠OBC， 又∵BO是∠ABC的角平分線， ∴∠DBO=∠OBC， ∴∠DBO=∠DOB， ∴BD=OD， 同理：OE=EC， ∴△ADE的周長(zhǎng)=AD+OD+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm． 故答案是：14cm． 　 三．解答題（共4小題） 19． 解：（1）若∠A為頂角，則∠B=（180﹣∠A）2=50； 若∠A為底角，∠B為頂角，則∠B=180﹣280=20； 若∠A為底角，∠B為底角，則∠B=80； 故∠B=50或20或80； （2）分兩種情況： ①當(dāng)90≤x＜180時(shí)，∠A只能為頂角， ∴∠B的度數(shù)只有一個(gè)； ②當(dāng)0＜x＜90時(shí)， 若∠A為頂角，則∠B=（）； 若∠A為底角，∠B為頂角，則∠B=（180﹣2x）； 若∠A為底角，∠B為底角，則∠B=x． 當(dāng)≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x， 即x≠60時(shí)，∠B有三個(gè)不同的度數(shù)． 綜上所述，可知當(dāng)0＜x＜90且x≠60時(shí)，∠B有三個(gè)不同的度數(shù)． 　 20． （1）解：在直角三角形ABC中，∠ACB=90，∠B=30， ∴∠BAC=60，又AD平分∠BAC， ∴∠CAD=30，又∠ACD=90， ∴∠CDA=60 又∠ADE=15， ∴∠CDE=∠CDA﹣∠ADE=60﹣15=45 ∴∠BDN=∠CDE=45； （2）證明：在△CED中，∠ECD=90，∠CDE=45 ∴∠CED=45 ∴CD=CE． 　 21． （1）證明：∵CD是∠ACB的平分線， ∴∠BCD=∠ECD． ∵DE∥BC， ∴∠EDC=∠BCD， ∴∠EDC=∠ECD， ∴DE=CE． （2）解：∵∠ECD=∠EDC=35， ∴∠ACB=2∠ECD=70． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70， ∴∠A=180﹣70﹣70=40． 　 22． 解：（1）如圖所示： （4分） （2）設(shè)分割線為AD，相應(yīng)用的角度如圖所示： （8分） 圖1的最大角=39+78=117，圖2的最大角=24+180﹣248=108， 圖3的最大角=24+66=90，圖4的最大角=84， 故△ABC的最大內(nèi)角可能值是117或108或90或84；（10分） （3）若一個(gè)三角形能被一直線分割成兩個(gè)等腰三角形，需滿足的條件如下： ①該三角形是直角三角形； ②該三角形有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍； ③該三角形有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍．（14分）